【数学】2018届一轮复习北师大版 函数与方程 教案 11页

第七讲 函数与方程 项目 内容 课题 函数与方程（共 3 课时）‎ 修改与创新 教学目标 ‎1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；‎ ‎2．根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。‎ 命题走向 函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关。‎ 预计2017年高考对本讲的要求是：以二分法为重点、以二次函数为载体、以考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力。‎ ‎（1）题型可为选择、填空和解答；‎ ‎（2）高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题，同时考察函数方程的思想。‎ 教学准备 多媒体 教学过程 要点精讲：‎ ‎1．方程的根与函数的零点 ‎（1）函数零点 概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。‎ 函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。‎ 二次函数的零点：‎ ‎１）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点；‎ ‎２）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；‎ ‎３）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点。‎ 零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点。既存在，使得，这个也就是方程的根。‎ ‎2.二分法 二分法及步骤：‎ 对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．‎ 给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：‎ ‎（1）确定区间，，验证·，给定精度；‎ ‎（2）求区间，的中点；‎ ‎（3）计算：‎ ‎①若=，则就是函数的零点；‎ ‎②若·<，则令=（此时零点）；‎ 结合二次函数的图像，复习掌握函数零点的概念，并具备利用图像判断零点情况的能力。‎ ‎[ 学§科§网Z§X§X§K]‎ ‎[ 学&科&网]‎ ‎③若·<，则令=（此时零点）；‎ ‎（4）判断是否达到精度；‎ 即若，则得到零点零点值（或）；否则重复步骤2~4。‎ 注：函数零点的性质 从“数”的角度看：即是使的实数；‎ 从“形”的角度看：即是函数的图象与轴交点的横坐标；‎ 若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为不变号零点；‎ 若函数的图象在处与轴相交，则零点通常称为变号零点。‎ 注：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件·表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。‎ ‎3．二次函数的基本性质 ‎（1）二次函数的三种表示法：y=ax2+bx+c；y=a(x－x1)(x－x2)；y=a(x－x0)2+n。‎ ‎（2）当a>0，f(x)在区间［p，q］上的最大值M，最小值m，令x0= (p+q)。‎ 若－0.∴函数f(x)在R上单调递增．f(－1)＝e－1＋(－1)－4＝－5＋e－1<0，f(0)＝－3<0，f(1)＝e＋1－4＝e－3<0，f(2)＝e2＋2－4＝e2－2>0，f(1)f(2)<0，故零点x0∈(1,2)．‎ ‎[答案]　C 由题悟法 利用函数零点的存在性定理判断零点所在的区间时，首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续不断，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．‎ 以题试法 ‎1．设函数y＝x3与y＝x－2的图象交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是(　　)‎ A．(0,1) B．(1,2)‎ C．(2,3) D．(3,4)‎ 解析：选B　设函数f(x)＝x3－x－2，f(1)·f(2)<0，且f(x)为单调函数，则x0∈(1,2)．‎ 考点二：判断函数零点个数 典题导入 ‎[例2]　(1)函数f(x)＝x－x的零点的个数为(　　)‎ A．0　　　　　　　　　 B．1‎ C．2 D．3‎ ‎(2)已知函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))＋1的零点个数是(　　)‎ A．4 B．3‎ C．2 D．1‎ ‎[自主解答]　(1)在同一平面直角坐标系内作出y1＝x与y2＝x的图象如图所示，易知，两函数图象只有一个交点，因此函数f(x)＝x－x只有1个零点．‎ ‎(2)由f(f(x))＋1＝0可得f(f(x))＝－1，‎ 又由f(－2)＝f＝－1.‎ 可得f(x)＝－2或f(x)＝.‎ 若f(x)＝－2，则x＝－3或x＝；‎ 若f(x)＝，则x＝－或x＝，‎ 综上可得函数y＝f(f(x))＋1有4个零点．‎ ‎[答案]　(1)B　(2)A 由题悟法 判断函数零点个数的常用方法 ‎(1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．‎ ‎(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要判断函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．‎ ‎(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．‎ 以题试法 ‎2．函数f(x)＝xcos x2在区间[0,4]上的零点个数为(　　)‎ A．4 B．5‎ C．6 D．7‎ 把两个函数图像交点转化为一个函数的零点，再由根的存在性定理判断，由于转了几个弯子，学生难以开启思路。教师应做好引导工作。‎ 解析：选C　令xcos x2＝0，则x＝0，或x2＝kπ＋，又x∈[0,4]，因此xk＝ (k＝0,1,2,3,4)，共有6个零点．‎ 考点三：函数零点的应用 典题导入 ‎[例3]　已知函数f(x)＝ex－x＋a有零点，则a的取值范围是________．‎ ‎[自主解答]　∵f(x)＝ex－x＋a，‎ ‎∴f′(x)＝ex－1.令f′(x)＝0，得x＝0.‎ 当x<0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－∞，0)上是减函数；‎ 当x>0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数．‎ 故f(x)min＝f(0)＝1＋a.‎ 若函数f(x)有零点，则f(x)min≤0，‎ 即1＋a≤0，得a≤－1.‎ ‎[答案]　(－∞，－1]‎ 若函数变为f(x)＝ln x－2x＋a，其他条件不变，求a的取值范围．‎ 解：∵f(x)＝ln x－2x＋a，∴f′(x)＝－2.‎ 令f′(x)＝0，得x＝.‎ 当0时，f′(x)<0，∴f(x)为减函数．‎ ‎∴f(x)max＝f＝ln－1＋a.‎ 若f(x)有零点，则f(x)max≥0，即ln－1＋a≥0.‎ 解得a≥1－ln，a的取值范围为.‎ 由题悟法 已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法 ‎(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．‎ ‎(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．‎ ‎(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎ 以题试法 ‎3．已知函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)是偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，若在区间[－1,3]上函数g(x)＝f(x)－kx－k有4个零点，则实数k的取值范围是______．‎ 解析：由f(x＋1)＝f(x－1)得，f(x＋2)＝f(x)，则f(x)是周期为2的函数．∵f(x)是偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，∴当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x，易得当x∈[1,2]时，f(x)＝－x＋2，当x∈[2,3]时，f(x)＝x－2.‎ 在区间[－1,3]上函数g(x)＝f(x)－kx－k有4个零点，即函数y＝f(x)与y＝kx＋k的图象在区间[－1,3]上有4个不同的交点．作出函数y＝f(x)与y＝kx＋k的图象如图所示，结合图形易知，k∈.‎ 答案： 此题不能画图，怎么办？按定义，通过解方程，求出根即可。‎ ‎ ‎ ‎[ ]‎ 板书设计 函数与方程 ‎1．方程的根与函数的零点 ‎（1）函数零点 概念：对于函数，把使 例1‎ 成立的实数叫做函数 的零点。‎ 方程有实数根函数的图象 例2‎ 与轴有交点函数有零点。‎ ‎(2) 零点存在性定理：如果函数在 例3‎ 区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且 有，那么函数在区间 内有零点。既存在，使得，‎ 这个也就是方程的根。‎ ‎2.二分法 二分法及步骤：‎ 给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：‎ ‎（1）确定区间，，验证·，给定精度；‎ ‎（2）求区间，的中点；‎ ‎（3）计算：‎ ‎①若=，则就是函数的零点；‎ ‎②若·<，则令=（此时零点）；‎ ‎③若·<，则令=（此时零点）；‎ ‎（4）判断是否达到精度；‎ 即若，则得到零点零点值（或）；否则重复步骤2~4。‎ 教学反思 函数与方程，高考要求不高，主要是通过图像判断根的情况。但有时需要合理的转化，学生在转化时往往会遇到困难。再利用适当机会，增加一点练习，学生基本上能过关。‎ ‎ ‎