【数学】2018届一轮复习人教A版第四章三角函数、解三角形第7讲解三角形应用举例学案 6页

第7讲　解三角形应用举例 最新考纲　能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题.‎ 知 识 梳 理 ‎1.仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).‎ ‎2.方位角 从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).‎ ‎3.方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.‎ ‎4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)东北方向就是北偏东45°的方向.(　　)‎ ‎(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　　)‎ ‎(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(　　)‎ ‎(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.(　　)‎ 解析　(2)α＝β.(3)俯角是视线与水平线所构成的角.‎ 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2.若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的(　　)‎ A.北偏东15° B.北偏西15°‎ C.北偏东10° D.北偏西10°‎ 解析　如图所示，∠ACB＝90°，‎ 又AC＝BC，‎ ‎∴∠CBA＝45°，而β＝30°，‎ ‎∴α＝90°－45°－30°＝15°.‎ ‎∴点A在点B的北偏西15°.‎ 答案　B ‎3.如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔‎18 km，速度为1 ‎000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到‎0.1 km，参考数据：≈1.732)(　　)‎ A.‎11.4‎ km‎ B.‎‎6.6 km C.‎6.5 km D.‎‎5.6 km 解析　∵AB＝1 000×＝(km)，∴BC＝·sin 30°＝(km).‎ ‎∴航线离山顶h＝×sin 75°＝×sin(45°＋30°)≈11.4(km).∴山高为18－11.4＝6.6(km).‎ 答案　B ‎4.(必修5P11例1改编)如图，设A，B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是m米，∠BAC＝α，∠ACB＝β，则A，B两点间的距离为(　　)‎ A. B. C. D. 解析　在△ABC中，∠ABC＝π－(α＋β)，AC＝m，‎ 由正弦定理，得＝，‎ 所以AB＝＝.‎ 答案　C ‎5.轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h，15 n mile/h，则下午2时两船之间的距离是______n mile.‎ 解析　设两船之间的距离为d，‎ 则d2＝502＋302－2×50×30×cos 120°＝4 900，‎ ‎∴d＝70，即两船相距70 n mile.‎ 答案　70‎ ‎6.(2017·湖州调研)一缉私艇发现在北偏东45°方向，距离12 n mile的海上有一走私船正以10 n mile/h的速度沿南偏东75°方向逃窜，若缉私艇的速度为14 n mile/h，缉私艇沿北偏东45°＋α的方向追去，若要在最短的时间内追上走私船，则追上所需的时间为________h，‎ α角的正弦值为________.‎ 解析　如图所示，A，C分别表示缉私艇、走私船的位置，设经x小时后在B处追上走私船.则AB＝14x，BC＝10x，∠ACB＝120°，在△ABC中，由余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240·x·cos 120°，解得x＝2.故AB＝28，sin α＝＝，即所需时间为2小时，sin α＝.‎ 答案　2　 考点一　测量高度问题 ‎【例1】 (2015·湖北卷)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶‎600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.‎ 解析　在△ABC中，AB＝600，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，由正弦定理得＝，即＝，所以BC＝300(m).在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，‎ CD＝BCtan∠CBD＝300·tan 30°＝100(m).‎ 答案　100 规律方法　(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键.‎ ‎(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.‎ ‎(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.‎ ‎【训练1】 (2017·郑州一中月考)如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，求山高CD.‎ 解　由已知得，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠CAD＝β.‎ 在△ABC中，由正弦定理得＝，‎ 即＝，‎ ‎∴AC＝＝.‎ 在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsin β＝.‎ 故山高CD为.‎ 考点二　测量距离问题 ‎【例2】 如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出AB的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.‎ 若测得CD＝ km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离.‎ 解　∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，‎ ‎∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝(km).‎ 在△BCD中，∠DBC＝45°，‎ 由正弦定理，得BC＝·sin∠BDC＝·sin 30°＝(km).‎ 在△ABC中，由余弦定理，得 AB2＝AC2＋BC2－‎2AC·BCcos 45°‎ ‎＝＋－2×××＝.‎ ‎∴AB＝(km).‎ ‎∴A，B两点间的距离为 km.‎ 规律方法　(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.‎ ‎(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.‎ ‎【训练2】 如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离，即AB＝.‎ 若测得CA＝‎400 m，CB＝‎600 m，∠ACB＝60°，试计算AB的长.‎ 解　在△ABC中，由余弦定理得 AB2＝AC2＋BC2－‎2AC·BCcos∠ACB，‎ ‎∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000，‎ ‎∴AB＝200(m)，‎ 即A，B两点间的距离为‎200 m.‎ 考点三　测量角度问题 ‎【例3】 如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的________方向.‎ 解析　由已知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，‎ 又AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝50°，60°－50°＝10°，‎ ‎∴灯塔A处于灯塔B的北偏西10°.‎ 答案　北偏西10°‎ 规律方法　解决测量角度问题的注意事项 ‎(1)首先应明确方位角或方向角的含义.‎ ‎(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步.‎ ‎(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的结合使用.‎ ‎【训练3】 如图，两座相距‎60 m的建筑物AB，CD的高度分别为‎20 m，‎50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于(　　)‎ A.30° B.45°‎ C.60° D.75°‎ 解析　依题意可得AD＝‎20m，AC＝‎30m，‎ 又CD＝‎50 m，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝＝ ‎＝＝，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，‎ 所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.‎ 答案　B ‎[思想方法]‎ ‎1.利用解三角形解决实际问题时：(1)要理解题意，整合题目条件，画出示意图，建立一个三角形模型；(2)要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念；(3)三角函数模型中，要确定相应参数和自变量范围，最后还要检验问题的实际意义.‎ ‎2.在三角形和三角函数的综合问题中，要注意边角关系相互制约，推理题中的隐含条件.‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.‎ ‎2.在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易出现错误. ‎