【数学】重庆市渝中区重庆复旦中学2019-2020学年高二上学期第一次月考试题（解析版） 11页

www.ks5u.com 重庆市渝中区重庆复旦中学2019-2020学年 高二上学期第一次月考试题 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.直线的倾斜角为（ ）‎ A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°‎ ‎【答案】C ‎【解析】直线的斜率，倾斜角为，则，‎ ‎．故选：C．‎ ‎2.若三点（2，2），（，0），（0，），（）共线，则的值为（ ）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为三点（2，2），（，0），（0，），（）共线，所以，即，所以=，故选C．‎ ‎3.若方程表示一个圆,则的取值范围是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】方程x2+y2+x+y+k=0表示一个圆，需满足 ‎1+1﹣4k＞0，∴，故选D．‎ ‎4.若直线与直线平行，则（ ）‎ A. B. C. 或2 D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】因为直线与直线平行，所以，‎ 解得：或，检验：当时，两直线重合，不成立，所以.‎ 故答案为B.‎ ‎5.方程（m+2）x+（m﹣2）y+4＝0（m∈R）所表示的直线恒过定点（ ）‎ A. （﹣2，2） B. （2，﹣2） C. （1，﹣1） D. （﹣1，1）‎ ‎【答案】D ‎【解析】方程化为，‎ ‎， ，解得．‎ 方程所表示的直线恒过定点．‎ 故选：D．‎ ‎6.点F（，0）到直线y＝0的距离为（ ）‎ A. B. m C. 3 D. 3m ‎【答案】A ‎【解析】点，到直线的距离 ‎．‎ 故选：A．‎ ‎7.若点是圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】圆心为，与点连线的斜率为，‎ 所以直线AB的斜率为1，所以直线方程为 ‎8.直线x﹣y+1＝0与直线2x﹣2y﹣1＝0是圆C的两条切线，则圆C的面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】直线可化为，‎ 则直线与是平行线，‎ 所以平行线之间的距离就是圆的直径，‎ ‎，．‎ 所求圆的面积为：．‎ 故选：C．‎ ‎9.已知直线ax+by+c=0的图象如图，则　(　　)‎ A. 若c>0，则a>0，b>0 B. 若c>0，则a<0，b>0‎ C. 若c<0，则a>0，b<0 D. 若c<0，则a>0，b>0‎ ‎【答案】D ‎【解析】由ax+by+c=0，得斜率k=-，直线在x，y轴上截距分别为-，-.如图，k<0，即-<0，所以ab>0，因为->0，->0，所以ac<0，bc<0.若c<0，则a>0，b>0；若c>0，则a<0，b<0;故选D.‎ ‎10.若直线y＝x+b与曲线有两个不同的公共点，则实数b的取值范围为（ ）‎ A. [1，2） B. [1，2] C. [2，1） D. [2，1]‎ ‎【答案】C ‎【解析】曲线即，‎ 表示以为圆心、半径等于1的半圆，如图所示：‎ 当直线过点时，可得，‎ 满足直线与曲线有两个不同的公共点．‎ 当直线和半圆相切时，由 解得，或 （舍去），‎ 故直线与曲线有两个不同的公共点时，‎ 实数的取值范围为，故选：C．‎ ‎11.已知实数x，y满足x2+y2﹣4x+2＝0，则x2+（y﹣2）2的最小值是（ ）‎ A B. C. 2 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】表示一个以点为圆心，以为半径的圆，‎ 表示圆上动点到点点的距离的平方，‎ 故的最小值是，‎ 故选：C．‎ ‎12.过原点O作圆x2+y2﹣6x﹣8y+20＝0的两个切线，设切点分别为M、N，则线段MN的长度为（ ）‎ A. 2 B. 4 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】圆 可化为，‎ 圆心到原点的距离为5．故，‎ ‎，‎ ‎．．‎ 故选：B.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.把直线绕（1，2）旋转30°，所得的直线的一般方程为_____‎ ‎【答案】x﹣1＝0或xy+21＝0.‎ ‎【解析】直线的斜率为，倾斜角为，‎ 绕点逆时针旋转所得到的直线的倾斜角为，‎ 所得直线的方程为，化成一般式为；‎ 绕点顺时针旋转所得到的直线的倾斜角为，所得直线的斜率直线方程为，化成一般式为；‎ 故答案为：或．‎ ‎14.已知x，y满足，则z＝2x+y的最大值为_____.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】，在坐标系中画出图象，‎ 三条线的交点分别是，，，‎ 在中满足的最大值是点，‎ 代入得最大值等于3．‎ 故答案为：3．‎ ‎15.已知圆C经过点（4，2），（1，3），和（5，1），则圆C与两坐标轴的四个截距之和为_____‎ ‎【答案】﹣2.‎ ‎【解析】设圆的方程为，‎ 将，，代入以上方程中，‎ 解得 所以圆的方程为 令则，由韦达定理得 令则，由韦达定理得 故圆与两坐标轴的四个截距之和为 故答案为：‎ ‎16.在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2＝1，圆M：（x+a+3）2+（y﹣2a）2＝1（a为实数）.若圆O和圆M上分别存在点P，Q，使得∠OQP＝30°，则a的取值范围为_____.‎ ‎【答案】a≤0‎ ‎【解析】由题意，圆为实数），圆心为 圆上任意一点向圆作切线，切点为，，‎ 所以与圆有交点，‎ 解得，故答案为：，‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.根据下列条件分别求出直线l的方程.‎ ‎（1）直线l经过A（4，1），且横、纵截距相等；‎ ‎（2）直线l平行于直线3x+4y+17＝0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24.‎ ‎【解】（1）直线l经过原点时满足条件，设直线方程为，，‎ 因为直线过点，可得直线方程为：，即 直线l不经过原点时，设直线方程为：，‎ 把代入可得：.‎ ‎∴直线l的方程为：.‎ 综上可得：直线l的方程为：或.‎ ‎（2）设直线l的方程为：，‎ 与坐标轴的交点分别为：，.‎ ‎，解得：.‎ ‎∴满足条件的直线方程为：.‎ ‎18.已知以点C为圆心的圆经过点和，且圆心在直线上.‎ ‎（1）求圆C的方程；‎ ‎（2）设点P在圆C上，求△PAB的面积的最大值.‎ ‎【解】（1）依题意所求圆的圆心为的垂直平分线和直线的交点，‎ 中点为斜率为，垂直平分线方程为，即．‎ 联立解得即圆心，半径，‎ 所求圆方程为．‎ ‎（2），圆心到的距离为，‎ 到距离的最大值为，‎ 所以面积的最大值为 ‎19.已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+m＝0.‎ ‎（1）若圆C与直线l：x+2y﹣4＝0相交于M、N两点，且|MN|，求m的值；‎ ‎（2）在（1）成立的条件下，过点P（2，1）引圆的切线，求切线方程.‎ ‎【解】（1）圆方程可化为，‎ 则圆心，半径，‎ 所以圆心到直线l的距离 则弦长，解得；‎ ‎（2）由（1）得圆方程表示为，‎ ‎，可知点在圆外，‎ ‎①当斜率不存在时，直线方程为时，圆心到直线的距离等于半径，该直线与圆相切；‎ ‎②当直线斜率存在时，设过的直线方程为，即，‎ 则，解得，此时切线方程，‎ 所以切线方程为或.‎ ‎20.已知圆C1：x2+y2+4x+1＝0及圆C2：x2+y2+2x+2y+1＝0.求两圆的公共弦所在的直线方程，并求出以两圆的公共弦为直径的圆的标准方程.‎ ‎【解】根据题意，圆及圆，‎ 则有，变形可得：，两圆的公共弦所在的直线为；‎ 又由圆，即，‎ 其圆心，半径，圆心恰在直线上，‎ 故以两圆的公共弦为直径的圆即圆，其标准方程为 ‎21.已知点P(2,2),圆，过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.‎ ‎(1)求点M的轨迹方程;‎ ‎(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.‎ ‎【解】圆，故圆心为，半径为.‎ ‎(1)当C,M,P三点均不重合时,∠CMP=90°,所以点M的轨迹是以线段PC为直径的圆(除去点P,C),线段中点为，，‎ 故的轨迹方程为(x-1)2+(y-3)2=2(x≠2,且y≠2或x≠0,且y≠4).‎ 当C,M,P三点中有重合的情形时,易求得点M的坐标为(2,2)或(0,4).‎ 综上可知,点M的轨迹是一个圆,轨迹方程为(x-1)2+(y-3)2=2.‎ ‎(2)由(1)可知点M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆.‎ 由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上.‎ 又P在圆N上,从而ON⊥PM，因为ON的斜率为3,所以的斜率为，‎ 故的方程为，即.‎ 又易得|OM|=|OP|=，点O到的距离为，‎ ‎，所以△POM的面积为.‎ ‎22.已知圆C：，直线l： .‎ ‎（1）求直线l所过定点A的坐标；‎ ‎（2）求直线l被圆C所截得的弦长最短时m的值及最短弦长；‎ ‎（3）已知点，在直线MC上（C为圆心），存在定点N（异于点），满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点N的坐标及该常数．‎ ‎【解】(1)依题意得，，‎ 令，且，得，，∴直线过定点.‎ ‎(2)当时，所截得弦长最短，由题知，.‎ ‎∴，得，∴由得.‎ ‎∴圆心到直线的距离为，∴最短弦长为.‎ ‎(3)法一：由题知，直线的方程为，假设存在定点满足题意，‎ 则设，，得，且，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 整理得：，‎ ‎∵上式对任意恒成立，∴且，‎ 解得，或，(舍去，与重合)，‎ 综上可知，在直线上存在定点，使得为常数.‎ 法二：设直线上的点，取直线与圆的交点，则，‎ 取直线与圆的交点，则，‎ 令，解得或(舍去，与重合)，此时，‎ 若存在这样的定点满足题意，则必为.‎ 下证：点满足题意，‎ 设圆上任意一点，则，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ 综上可知，在直线上存在定点，使得为常数.‎