江苏省江阴市华士高级中学2020-2021学年高二第一学期期中考试数学试卷 5页

第 1 页 共 5 页 江阴市华士高中 2020-2021 学年秋学期期中考试试卷 高二数学 一、单项选择题（本题包括 8 小题，每题 5 分，共 40 分） 1.不等式 0232 ＜ xx 的解集是（ ） A.． 1, B． ,2 C． 2,1 D．    ,21,  2.命题“ x ”是“ 0sin x ”的（ ）条件. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.下列双曲线中，渐近线方程为 2y x  的是 ( ) A． 2 2 12 yx   B． 2 2 14 x y  C． 2 2 14 yx   D． 2 2 12 x y  4.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一， 请问尖头几盏灯？”意思是：“一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座 5 层塔共挂了 363 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数 是上一层灯数的 3 倍，则塔的中间一层共有灯（ ） A．3 盏 B．9 盏 C．27 盏 D．81 盏 5．若椭圆 C： 148 22  yx 的右焦点为 F，且与直线 l： 023  yx 交于 P、Q 两点，则△PQF 的周长为（ ） A 26 B. 28 C. 6 D. 8 6．若正实数 a ，b 满足 4a b ab  ，则 a b的最小值为（ ） A．9 B．8 C．7 D．6 7．若关于 x 的不等式 21 2 2x x a a     有实数解，则实数 a 的取值范围为（ ） A． 3,1 B． 1,3 C．   , 3 1,    D．   , 1 3,   8．已知 , ,A B C 是双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     上的三个点， AB 经过原点O ， AC 经 过右焦点 F ，若 BF AC 且 2 AF CF ，则该双曲线的离心率是（ ） A． 5 3 B． 17 3 C． 17 2 D． 9 4 二、多项选择题（共题 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.全部选对得 5 分，多选、错选不得分， 部分选对的得 3 分.） 9．(多选)双曲线 C： 2 2 14 2 x y  的右焦点为 F，点 P 在双曲线 C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，则下列 说法正确的是( ) A．双曲线 C 的离心率为 6 2 B．双曲线 2 2 14 8 y x  与双曲线 C 的渐近线相同 第 2 页 共 5 页 C．若 PO PF ，则 PFO△ 的面积为 2 D．| |PF 的最小值为 2 10．(多选)下面命题正确的是（ ） A. “ 1＞a ”是“ 11 ＜ a ”的充分不必要条件 B. 在 ABC 中，“ BBAA cossincossin  ”是“ BA  ”的充要条件 C. 设 Ryx , ，则“ 2x 且 2y ”是“ 422  yx ”的必要而不充分条件 D. 设 Ryx , ，则“ 0a ”是“ 0ab ”的必要不充分条件 11．(多选)在数列 na 中，若  为常数pNnnpaa nn ,,22 1 2    ，则称 na 为“等方差数列” 下列对“等方 差数列”的判断正确的是（ ） A. 若 na 是等差数列，则 na 是等方差数列 B.   n1 是等方差数列 C. 若 2n 是等方差数列. D. 若 na 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 12．(多选)已知抛物线 2: 4E y x 的焦点为 F，准线为 l，过 F 的直线与 E 交于 A，B 两点，C，D 分别为 A，B 在 l 上的射影，且| | 3| |AF BF ，M 为 AB 中点，则下列结论正确的是（ ） A． 90CFD   B． CMD△ 为等腰直角三角形 C．直线 AB 的斜率为 3 D． AOB 的面积为 4 三、填空题（本题包括 4 小题，每题 5 分，共 20 分） 13．命题“   4,,2 2  xx ”的否定为 14．若对于 [ 2,2]m  ，不等式 2 1 5mx mx m     恒成立，则实数 x 的取值范围是_______________ 15．设 1 2,F F 分别是椭圆 2 2 125 16 x y  的左、右焦点， P 为椭圆上任一点，点 M 的坐标为 6,4 ，则 1PM PF 的最大值为________． 16．抛物线 xyC 2: 2  的焦点坐标是________；经过点  1,4P 的直线 l 与抛物线 C 相交于 A，B 两点，且 点 P 恰为 AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则  BFAF 四、解答题（本题包括 6 题，共 70 分） 17．（4+6）已知 p ：实数 m 使得焦点在 x 轴上的椭圆 2 2 12 x y m   的离心率 2 3( , )2 2e . （1）求实数 m 的取值范围； （2）若 : 9q t m t   ， p 是 q的充分不必要条件，求实数t 的取值范围. 第 3 页 共 5 页 18．（5+5）在 21 ,4 1, aa① 成等差数列， 321 ,1, aaa ② 成等比数列， 4 3 3 S③ ，三个条件中任选一个，补充 在下面的问题中，并作答． 已知 nS 为数列 na 的前 n 项和，   0,,23 11   aNnaaS nn ，且 ． （1）求数列 na 的通项公式； （2）记 2 2log nn ab  ，求数列 nb 的前 n 项和 nT ． （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．） 19．（6+6）已知函数    2 1 2 log 1f x x  ，   2 6g x x ax   . （1）若关于 x 的不等式   0g x  的解集为 | 2 3x x  ，当 1x  时，求 ( ) 1 g x x  的最小值； （2）若对任意的 1 [1, )x   、 2 [ 2,4]x   ，不等式 1 2( ) ( )f x g x 恒成立，求实数 a 的取值范围． 第 4 页 共 5 页 20.（5+7）2020 年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.在党和政府强有 力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降 对企业和民众带来的损失.为降低疫情影响，某厂家拟在 2020 年举行某产品的促销活动，经调查测算，该 产品的年销售量（即该厂的年产量） x万件与年促销费用 m 万元（ 0m  ）满足 4 1 kx m    （ k 为常数）， 如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是 2 万件.已知生产该产品的固定投入为 8 万元，每生产一万 件该产品需要再投入 16 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍（此处每件产 品年平均成本按 8 16x x  元来计算） （1）将 2020 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数； （2）该厂家 2020 年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 21．（6+8）已知椭圆Γ： 2 2 2 2 x y a b   1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1，F2．短轴的两个顶点与 F1，F2 构 成面积为 2 的正方形， （1）求Γ的方程： （2）如图所示，过右焦点 F2 的直线 1 交椭圆Γ于 A，B 两点，连接 AO 交Γ于点 C，求△ABC 面积的最大值． 第 5 页 共 5 页 22. （4+6+4）已知等差数列 na 中，前 n 项和为 nS ， 1 1a  ， nb 为等比数列且各项均为正数， 1 1b  ， 且满足： 2 2 3 37, 22b S b S    . （1）求 na 与 nb ；（2）记 12n n n n ac b   ，求 nc 的前 n 项和 nT ； （3）若不等式  11 2 n n n nm T     对一切 *n N 恒成立，求实数 m 的取值范围.