【数学】2019届一轮复习人教B版　合情推理与演绎推理学案 12页

第36讲　合情推理与演绎推理 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理．了解合情推理在数学发现中的作用．‎ ‎2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．‎ ‎3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.‎ ‎2017·全国卷Ⅰ，12‎ ‎2016·北京卷，8‎ ‎2015·江苏卷，11‎ ‎2015·福建卷，15‎ 合情推理一般以新定义、新规则的形式考查集合、函数、不等式、数列等问题；而演绎推理常结合函数、方程、不等式、解析几何、立体几何、数列等问题中的证明来考查.‎ 分值：5分 ‎1．合情推理 ‎(1)归纳推理 ‎①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的__全部对象__都具有这些特征的推理，或者由个别的事实概括出一般结论的推理．‎ ‎②特点：是由__部分__到__整体__、由__个别__到__一般__的推理．‎ ‎(2)类比推理 ‎①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有__这些特征__的推理．‎ ‎②特点：是由__特殊__到__特殊__的推理．‎ ‎2．演绎推理 ‎(1)演绎推理 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由__一般__到__特殊__的推理．‎ ‎(2)“三段论”是演绎推理的一般模式 ‎①大前提——已知的__一般原理__.‎ ‎②小前提——所研究的__特殊情况__.‎ ‎③结论——根据一般原理，对__特殊情况__做出的判断．‎ ‎1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．‎ ‎(1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理．(　×　)‎ ‎(2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(　×　)‎ ‎(3)“所有3的倍数都是9的倍数，若数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(　√　)‎ ‎(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(　×　)‎ 解析 (1)错误．归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理．‎ ‎(2)错误．平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适．‎ ‎(3)正确．因为大前提错误，所以结论错误．‎ ‎(4)错误．演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．‎ ‎2．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是(　C　)‎ A．使用了归纳推理 B．使用了类比推理 C．使用了“三段论”，但推理形式错误 D．使用了“三段论”，但小前提错误 解析 由条件知使用了三段论，但推理形式是错误的．‎ ‎3．数列2,5,11,20，x,47，…中的x＝(　B　)‎ A．28　　 B．‎32　‎　‎ C．33　　 D．27‎ 解析 由5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9.‎ 则x－20＝12，因此x＝32.‎ ‎4．给出下列三个类比结论：‎ ‎①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；‎ ‎②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；‎ ‎③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋‎2a·b＋b2.‎ 其中结论正确的个数是(　B　)‎ A．0　　 B．‎1　‎　‎ C．2　　 D．3‎ 解析 只有③正确．‎ ‎5．观察下列不等式：‎ ‎1＋＜，‎ ‎1＋＋＜，‎ ‎1＋＋＋＜，‎ ‎…‎ 按此规律，第五个不等式为__1＋＋＋＋＋<__.‎ 解析 观察得出规律，左边为项数个连续自然数平方的倒数和，右边为项数的2倍减1的差除以项数，即1＋＋＋＋＋…＋<(n∈N*，n≥2)，‎ 所以第五个不等式为1＋＋＋＋＋<.‎ 一　类比推理 ‎(1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．‎ ‎(2)类比推理常见的情形有：平面与空间类比、低维与高维的类比、等差与等比数列类比、运算类比(加与乘、乘与乘方、减与除、除与开方)、数的运算与向量运算类比、圆锥曲线间的类比等．‎ ‎【例1】 (1)若数列是等差数列，则数列也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列是等比数列，且也是等比数列，则dn的表达式应为(　D　)‎ A．dn＝　　 B．dn＝ C．dn＝　　 D．dn＝ ‎(2)在平面几何中：△ABC的∠C内角平分线CE分AB所成线段的比为＝.把这个结论类比到空间：在三棱锥A－BCD中(如图)，平面DEC平分二面角A－CD－B，且与AB相交于E，则得到类比的结论是__＝__.‎ 解析 (1)若{an}是等差数列，则a1＋a2＋…＋an＝na1＋d，∴bn＝a1＋d＝n＋a1‎ ‎－，即{bn}为等差数列；若{cn}是等比数列，则c1·c2·…·cn＝c·q1＋2＋…＋(n－1)＝c·q，‎ ‎∴dn＝＝c1·q，即{dn}为等比数列，故选D．‎ ‎(2)由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得＝.‎ 二　归纳推理 归纳推理中几种问题的处理技巧 ‎(1)与等式或不等式“共舞”问题．观察所给的几个等式或不等式两边式子的特点，注意是纵向看，发现隐含的规律．‎ ‎(2)与数列“牵手”问题．先求出几个特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所含的范围，从而由特殊的结论推广到一般结论．‎ ‎(3)与图形变化“相融”问题．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．‎ ‎【例2】 观察下列等式：‎ ‎12＝1；‎ ‎12－22＝－3；‎ ‎12－22＋32＝6；‎ ‎12－22＋32－42＝－10；‎ ‎…‎ 依此规律，第n个等式可为__12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·__.‎ 解析 第n个等式的左边第n项应是(－1)n＋1n2，‎ 右边数的绝对值为1＋2＋3＋…＋n＝，‎ 故有12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·.‎ ‎【例3】 观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有__28__个小正方形．‎ 解析 第1～5个图形中分别有3,6,10,15,21个小正方形，它们分别为1＋2,1＋2＋3,1＋2＋3＋4,1＋2＋3＋4＋5,1＋2＋3＋4＋5＋6，因此an＝1＋2＋3＋…＋(n＋1)．故a6＝1＋2＋3＋…＋7＝＝28，即第6个图中有28个小正方形．‎ ‎【例4】 (2016·山东卷)观察下列等式：‎ －2＋－2＝×1×2；‎ －2＋－2＋－2＋－2＝×2×3；‎ －2＋－2＋－2＋…＋－2＝×3×4；‎ －2＋－2＋－2＋…＋－2＝×4×5；‎ ‎…‎ 照此规律，‎ －2＋－2＋－2＋…＋－2＝__n(n＋1)__.‎ 解析 通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的是个固定数，后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为×n×(n＋1)，即n(n＋1)．‎ 三　演绎推理 演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题，应当首先明确什么是大前提和小前提，若前提是显然的，则可以省略．‎ ‎【例5】 数列的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝·Sn(n∈N*)，证明：‎ ‎(1)数列是等比数列；‎ ‎(2)Sn＋1＝4an.‎ 证明 (1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，‎ ‎∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn，‎ ‎∴＝2·，又＝1≠0，(小前提)‎ 故是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)‎ ‎(2)由(1)可知＝4·(n≥2)，‎ ‎∴Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1＝4an(n≥2)，(小前提)‎ 又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝‎4a1，(小前提)‎ ‎∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论)‎ ‎1．(2018·安徽淮南模拟)从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为(　B　)‎ A．2 011　　 B．2 012‎ C．2 013　　 D．2 014‎ 解析 根据题图所示的规则排列，设最上层的一个数为a∈N*，则第二层的三个数为a＋7，a＋8，a＋9，第三层的五个数a＋14，a＋15，a＋16，a＋17，a＋18，这9个数之和为a＋‎3a＋24＋‎5a＋80＝‎9a＋104.由‎9a＋104＝2 012，得a＝212，是自然数，故选B．‎ ‎2．(2018·江西临川一中模拟)已知12＝×1×2×3,12＋22＝×2×3×5,12＋22＋32＝×3×4×7,12＋22＋32＋42＝×4×5×9，则12＋22＋…＋n2＝__n(n＋1)(2n＋1)(n∈N*)__(其中n∈N*)．‎ 解析 根据题意可归纳出12＋22＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)，下面给出证明：(k＋1)3－k3＝3k2＋3k＋1，则23－13＝3×12＋3×1＋1,33－23＝3×22＋3×2＋1，…，(n＋1)3－n3＝3n2＋3n＋1，累加得(n＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋…＋n)＋n，整理得12＋22＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)，故填n(n＋1)(2n＋1)．‎ ‎3．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照下面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为__6n＋2__.‎ ‎　…‎ 解析 由题意知，图②的火柴棒比①的多6根，图③的火柴棒比图②的多6根，而图①的火柴棒的根数为2＋6，∴第n条小鱼需要(2＋6n)根．‎ ‎4．(2018·北京海淀模拟)若f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N*)，且f(1)＝2，则＋＋…＋＝__2_018__.‎ 解析 利用三段论．‎ 因为f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N*)，(大前提)‎ 令b＝1，则＝f(1)＝2，(小前提)‎ 所以＝＝…＝＝2.(结论)‎ 所以原式＝＝2 018.‎ 易错点　类比不当 错因分析：从平面类比到空间时，缺乏对对应特点的分析，无法得到正确结论．‎ ‎【例1】 在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：＝＋，那么在四面体A－BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．‎ 解析 如图(1)所示，由射影定理知AD2＝BD·DC，‎ AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，‎ ‎∴＝ ‎＝＝.‎ 又BC2＝AB2＋AC2，∴＝＝＋，‎ ‎∴＝＋.‎ 四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD于E，‎ 则＝＋＋.‎ 证明如下：如图(2)，连接BE交CD于F，连接AF.‎ ‎∵AB⊥AC，AB⊥AD，‎ ‎∴AB⊥平面ACD．而AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF.‎ 在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴＝＋.‎ 在Rt△ACD中，AF⊥CD，＝＋.‎ ‎∴＝＋＋.‎ ‎【跟踪训练1】 在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N*)成立．类比上述性质，相应地：在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有等式__b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b17－n(n<17，n∈N*)__成立．‎ 解析 在等差数列{an}中，由a10＝0，得：a1＋a19＝a2＋a18＝…＝an＋a20－n＝an＋1＋a19－n＝‎2a10＝0，‎ ‎∴S19＝a1＋a2＋…＋an＋…＋a19＝0(n<19)，‎ 即a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1，‎ 又∵a1＝－a19，a2＝－a18，…，a19－n＝－an＋1，‎ ‎∴a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1＝a1＋a2＋…＋a19－n.‎ 若a9＝0，同理a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a17－n(n<17)．‎ 在等比数列{bn}中，b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b17－n(n<17，n∈N*)‎ 课时达标　第36讲 ‎[解密考纲]高考中，归纳推理和类比推理主要是和数列、不等式等内容联合考查，多以选择题和填空题的形式出现．‎ 一、选择题 ‎1．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是(　B　)‎ A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数 B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数 C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数 D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数 解析 对于A项，小前提与结论互换，错误；对于B项，符合演绎推理过程且结论正确；对于C项和D项，均为大前提错误，故选B．‎ ‎2．请仔细观察1,1,2,3,5，(　　)，13，运用合情推理，可知写在括号里的数最可能是(　A　)‎ A．8　　 B．‎9　‎　‎ C．10　　 D．11‎ 解析 观察题中所给各数可知，2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3,8＝3＋5,13＝5＋8，∴‎ 括号中的数为8.故选A．‎ ‎3．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z} ，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：‎ ‎①2 013∈[3]；‎ ‎②－2∈[2]；‎ ‎③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；‎ ‎④整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a－b∈[0]”．‎ 其中正确结论的个数为(　C　)‎ A．1　　 B．‎2　‎　‎ C．3　　 D．4‎ 解析 因为2013＝402×5＋3，所以2013∈[3]，①正确；－2＝－1×5＋3，－2∈[3]，所以②不正确；因为整数集中被5除的数可以且只可以分成五类，所以③正确；整数a，b属于同一“类”，因为整数a，b被5除的余数相同，从而a－b被5除的余数为0，反之也成立，故整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a－b∈[0]”，故④正确．所以正确的结论有3个，故选C．‎ ‎4．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3, (cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝(　D　)‎ A．f(x)　　 B．－f(x)‎ C．g(x)　　 D．－g(x)‎ 解析 由所给等式知，偶函数的导数是奇函数．∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数，从而g(x)是奇函数．∴g(－x)＝－g(x)．‎ ‎5．已知an＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)，观察下列运算：‎ a1·a2＝log23·log34＝·＝2；‎ a1·a2·a3·a4·a5·a6＝log23·log34·…·log78＝··…·＝3；….‎ 若a1·a2·a3·…·ak(k∈N*)为整数，则称k为“企盼数”，试确定当a1·a2·a3·…·ak＝2 018时，“企盼数”k为(　C　)‎ A．22 017 ＋2　　 B．22 017‎ C．22 018－2　　 D．22 017－4‎ 解析 a1·a2·a3·…·ak＝＝2 018，lg(k＋2)＝lg 22 018，故k＝22 018－2.‎ ‎6．(2016·北京卷)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲，乙，丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则(　B　)‎ A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C．乙盒中红球不多于丙盒中红球 D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 解析 假设袋中只有一红一黑两个球，第一次取出后，若将红球放入了甲盒，则乙盒中有一个黑球，丙盒中无球，A错误；若将黑球放入了甲盒，则乙盒中无球，丙盒中有一个红球，D错误；同样，假设袋中有两个红球和两个黑球，第一次取出两个红球，则乙盒中有一个红球，第二次必然拿出两个黑球，则丙盒中有一个黑球，此时乙盒中红球多于丙盒中的红球，C错误，故选B．‎ 二、填空题 ‎7．(2018·河南开封联考)如图所示，由曲线y＝x2，直线x＝a，x＝a＋1(a>0)及x轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即a2<∫x2dx<(a＋1)2.运用类比推理，若对∀n∈N*，＋＋…＋