【数学】2018届一轮复习人教A版 圆的方程 学案 7页

第3讲　圆的方程 最新考纲　掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.‎ 知 识 梳 理 ‎1.圆的定义和圆的方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 方 程 标准 ‎(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)‎ 圆心C(a，b)‎ 半径为r 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0‎ ‎(D2＋E2－‎4F＞0)‎ 充要条件：D2＋E2－‎4F＞0‎ 圆心坐标： 半径r＝ ‎2.点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：‎ ‎(1)d＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；‎ ‎(2)d＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；‎ ‎(3)d＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.(　　)‎ ‎(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆.(　　)‎ ‎(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋‎5m＝0表示圆.(　　)‎ ‎(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(　　)‎ 解析　(2)当a＝0时，x2＋y2＝a2表示点(0，0)；当a＜0时，表示半径为|a|的圆.‎ ‎(3)当(‎4m)2＋(－2)2－4×‎5m＞0，即m＜或m＞1时才表示圆.‎ 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2.(2015·北京卷)圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是(　　)‎ A.(x－1)2＋(y－1)2＝1 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1‎ C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D.(x－1)2＋(y－1)2＝2‎ 解析　由题意得圆的半径为，故该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，故选D.‎ 答案　D ‎3.若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是(　　)‎ A.(－1，1) B.(0，1)‎ C.(－∞，－1)∪(1，＋∞) D.a＝±1‎ 解析　因为点(1，1)在圆的内部，‎ 所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，所以－10)，‎ 将P，Q两点的坐标分别代入得 又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③‎ 设x1，x2是方程③的两根，‎ 由|x1－x2|＝6，得D2－‎4F＝36，④‎ 由①，②，④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8，或D＝－6，E＝－8，F＝0.‎ 故所求圆的方程为 x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.‎ 答案　(1)(x－3)2＋y2＝2　(2)x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0‎ 规律方法　求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法：‎ ‎(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；‎ ‎(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.‎ ‎【训练1】 (1)(2016·天津卷)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________.‎ ‎(2)(2017·武汉模拟)以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，与该抛物线的准线相切的圆的标准方程为________.‎ 解析　(1)因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a，0)，且a＞0，所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝＝，解得a＝2，所以圆C的半径r＝|CM|＝＝3，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.‎ ‎(2)抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，准线为x＝－1，故所求圆的圆心为(1，0)，半径为2，所以该圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝4.‎ 答案　(1)(x－2)2＋y2＝9　(2)(x－1)2＋y2＝4‎ 考点二　与圆有关的最值问题 ‎【例2】 已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.‎ ‎(1)求的最大值和最小值；‎ ‎(2)求y－x的最大值和最小值；‎ ‎(3)求x2＋y2的最大值和最小值.‎ 解　原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆.‎ ‎(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，‎ 所以设＝k，即y＝kx.‎ 当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±(如图1).‎ 所以的最大值为，最小值为－.‎ ‎(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±(如图2).‎ 所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.‎ ‎(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3).‎ 又圆心到原点的距离为＝2，‎ 所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.‎ 规律方法　把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化极为常见：‎ ‎(1)形如m＝的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；‎ ‎(2)形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；‎ ‎(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题.‎ ‎【训练2】 (1)(2017·义乌市诊断)圆心在曲线y＝(x＞0)上，与直线2x＋y＋1＝0相切，且面积最小的圆的方程为(　　)‎ A.(x－2)2＋(y－1)2＝25 B.(x－2)2＋(y－1)2＝5‎ C.(x－1)2＋(y－2)2＝25 D.(x－1)2＋(y－2)2＝5‎ ‎(2)(2014·全国Ⅱ卷)设点M(x0，1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________.‎ 解析　(1)设圆心坐标为C(a＞0)，则半径r＝≥＝，当且仅当‎2a＝，即a＝1时取等号.‎ 所以当a＝1时圆的半径最小，此时r＝，C(1，2)，所以面积最小的圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.‎ ‎(2)如图所示，过点O作OP⊥MN交MN于点P.‎ 在Rt△OMP中，|OP|＝|OM|·sin 45°，‎ 又|OP|≤1，得|OM|≤＝.‎ ‎∴|OM|＝≤，∴x≤1.‎ 因此－1≤x0≤1.‎ 答案　(1)D　(2)[－1，1]‎ 考点三　与圆有关的轨迹问题 ‎【例3】 设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.‎ 解　如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分，‎ 故＝，＝.从而 又N(x＋3，y－4)在圆上，‎ 故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.‎ 因此所求轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但应除去两点和(点P在直线OM上时的情况).‎ 规律方法　求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：‎ ‎(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；‎ ‎(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；‎ ‎(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；‎ ‎(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.‎ ‎【训练3】 (2014·全国Ⅰ卷)已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.‎ ‎(1)求M的轨迹方程；‎ ‎(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积.‎ 解　(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0，4)，半径为4.‎ 设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x，2－y).‎ 由题设知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，‎ 即(x－1)2＋(y－3)2＝2.‎ 由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.‎ ‎(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆.由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.‎ 因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，‎ 故l的方程为x＋3y－8＝0.‎ 又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距离为，‎ 所以|PM|＝，S△POM＝××＝，‎ 故△POM的面积为.‎ ‎[思想方法]‎ ‎1.确定一个圆的方程，需要三个独立条件.“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法，是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数.‎ ‎2.解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算.‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程.‎ ‎2.求轨迹方程和求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指明轨迹表示什么曲线. ‎