【数学】2020届一轮复习人教版（理）第2章第3讲函数的奇偶性与周期性学案 12页

第3讲　函数的奇偶性与周期性 ‎[考纲解读]　1.了解函数奇偶性的含义．‎ ‎2.会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性．(重点)‎ ‎3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．(重点)‎ ‎[考向预测]　从近三年高考情况来看，函数的奇偶性与周期性是高考的一个热点．预测2020年高考会侧重以下三点：①函数奇偶性的判断及应用；②函数周期性的判断及应用；③综合利用函数奇偶性、周期性和单调性求参数的值或解不等式.‎ ‎1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 ‎2．周期性 ‎(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．‎ ‎(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．‎ ‎1．概念辨析 ‎(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(　　)‎ ‎(2)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为‎2a(a>0)的周期函数．(　　)‎ ‎(3)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(　　)‎ ‎(4)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　　)‎ 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√‎ ‎　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎2．小题热身 ‎(1)下列函数中为奇函数的是(　　)‎ A．y＝x2sinx B．y＝x2cosx C．y＝|ln x| D．y＝2－x 答案　A 解析　A是奇函数，B是偶函数，C，D是非奇非偶函数．‎ ‎(2)奇函数y＝f(x)的局部图象如图所示，则(　　)‎ A．f(2)>0>f(4)‎ B．f(2)<0f(4)>0‎ D．f(2)0>f(－2)，所以－f(4)>0>－f(2)，即f(2)>0>f(4)．‎ ‎(3)若函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[－1－a,‎2a]上的偶函数，则该函数的最大值为________．‎ 答案　5‎ 解析　由函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[－1－a,‎2a]上的偶函数，可得b＝0，且－1－a＋‎2a＝0，解得a＝1，所以函数f(x)＝x2＋1，x∈[－2,2]，故该函数的最大值为5.‎ ‎(4)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.‎ 答案　6‎ 解析　因为f(x＋4)＝f(x－2)，所以函数f(x)是周期为6的周期函数，所以f(919)＝f(6×153＋1)＝f(1)，又因为当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，且f(x)是偶函数，所以f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6.‎ 题型 　函数的奇偶性 角度1　判断函数的奇偶性 ‎1．判断下列函数的奇偶性：‎ ‎(1)f(x)＝＋；‎ ‎(2)f(x)＝(1－x) ；‎ ‎(3)f(x)＝；‎ ‎(4)f(x)＝ 解　(1)由得x2＝3，解得x＝±，‎ 即函数f(x)的定义域为{－，}，‎ ‎∴f(x)＝＋＝0.‎ ‎∴f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，‎ ‎∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．‎ ‎(2)由≥0得－1≤x<1，‎ 所以f(x)的定义域为[－1,1)，‎ 所以函数f(x)是非奇非偶函数．‎ ‎(3)由得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．‎ ‎∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，‎ ‎∴f(x)＝.‎ 又∵f(－x)＝＝＝－f(x)，‎ ‎∴函数f(x)为奇函数．‎ ‎(4)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x<0时，－x>0，‎ 则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；‎ 当x>0时，－x<0，‎ 则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；‎ 综上可知，对于定义域内的任意x，‎ 总有f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．‎ 角度2　奇函数、偶函数性质的应用 ‎2．(1)已知函数f(x)是偶函数，且当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，则当x<0时，f(x)的解析式为________；‎ ‎(2)已知f(x)＝，若f(ln (＋a))＝1，则f(ln (－a))＝________；‎ ‎(3)(2018·河南南阳模拟)若函数f(x)＝x为偶函数，则a＝________.‎ 答案　(1)－x3－x＋1　(2)－3　(3)1或－1‎ 解析　(1)当x<0时，－x>0.‎ 因为f(x)是偶函数，且当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，‎ 所以f(x)＝f(－x)＝(－x)3＋(－x)＋1＝－x3－x＋1.‎ ‎(2)f(x)＋f(－x)＝＋＝＝－2，‎ 而ln (＋a)＋ln (－a)＝ln 1＝0，‎ 因此f(ln (＋a))＋f(ln (－a))＝－2，‎ f(ln (－a))＝－2－1＝－3.‎ ‎(3)令u(x)＝1－，‎ 根据函数f(x)＝x为偶函数，‎ 可知u(x)＝1－为奇函数，‎ 利用u(0)＝1－＝0，‎ 可得a2＝1，所以a＝1或a＝－1.‎ ‎1．判断函数奇偶性的两种方法 ‎(1)定义法 ‎(2)图象法 ‎2．函数奇偶性的应用 ‎(1)求函数解析式 ‎①将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；②将转化后的自变量代入已知解析式；③利用函数的奇偶性求出解析式．如举例说明2(1)．‎ ‎(2)求参数值 在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．如举例说明2(3)．‎ 注意：利用“奇函数在关于原点对称的区间上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝‎0”‎的性质解决有关最值问题．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝log3(x＋1)＋‎ a，则f(－8)＝(　　)‎ A．－3－a B．3＋a C．－2 D．2‎ 答案　C 解析　由题意得f(0)＝log31＋a＝0，所以a＝0.‎ 所以当x≥0时，f(x)＝log3(x＋1)，又因为f(x)是奇函数，所以f(－8)＝－f(8)＝－log39＝－2.‎ ‎2．设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)‎ A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数 答案　C 解析　对于A，令h(x)＝f(x)g(x)，‎ 则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(x)，‎ ‎∴h(x)是奇函数，A错误；‎ 对于B，令h(x)＝|f(x)|g(x)，‎ 则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)‎ ‎＝|f(x)|·g(x)＝h(x)，‎ ‎∴h(x)是偶函数，B错误；‎ 对于C，令h(x)＝f(x)|g(x)|，‎ 则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，‎ ‎∴h(x)是奇函数，C正确；‎ 对于D，令h(x)＝|f(x)g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|＝h(x)，‎ ‎∴h(x)为偶函数，D错误．‎ ‎3．(2018·安徽合肥月考)已知函数f(x)＝x3＋sinx＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为(　　)‎ A．3 B．‎0 C．－1 D．－2‎ 答案　B 解析　设F(x)＝f(x)－1＝x3＋sinx，显然F(x)为奇函数，又F(a)＝f(a)－1＝1，所以F(－a)＝f(－a)－1＝－1，从而f(－a)＝0.故选B.‎ 题型 　函数的周期性 ‎1．(2019·陕西咸阳模拟)已知奇函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，则(　　)‎ A．函数f(x)是以2为周期的周期函数 B．函数f(x)是以4为周期的周期函数 C．函数f(x＋1)是奇函数 D．函数f(x＋2)是偶函数 答案　B 解析　根据题意，定义在R上的函数f(x)是奇函数，则满足f(－x)＋f(x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，又由f(1－x)＝f(1＋x)，则f(x＋2)＝f[1＋(x＋1)]＝f[1－(x＋1)]＝f(－x)＝－f(x)，‎ 所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故函数的周期为4.‎ ‎2．(2018·安徽淮南二模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝，当x∈[0,2)时，f(x)＝x＋ex，则f(2018)＝________.‎ 答案　1‎ 解析　因为定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝，‎ 所以f(x＋4)＝＝f(x)，‎ 所以函数f(x)的周期为4.‎ 当x∈[0,2)时，f(x)＝x＋ex，‎ 所以f(2018)＝f(504×4＋2)＝f(2)‎ ‎＝＝＝1.‎ 条件探究1　举例说明2中的“f(x＋2)＝”改为“f(x＋1)＝”，其他条件不变，求f(2019)．‎ 解　因为f(x＋2)＝＝ ‎＝＝－，‎ 所以f(x＋4)＝－＝f(x)．‎ 故函数f(x)的周期为4.‎ 所以f(2019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝－＝－.‎ 条件探究2　举例说明2中的“e”改为“2”，其他条件不变，求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2018)的值．‎ 解　因为函数f(x)的周期为4，且f(1)＝1＋2＝3，f(2)＝＝＝1，f(3)＝＝，f(4)＝＝1，‎ 所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2018)‎ ‎＝504×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)‎ ‎＝504×＋3＋1‎ ‎＝2692.‎ 函数周期性的判定与应用 ‎(1)判定：判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T.‎ ‎(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．(2019·温州模拟)已知定义在R上的函数f(x)的最小正周期等于T，则下列函数的最小正周期一定等于的是(　　)‎ A．f(2x) B．f C．‎2f(x) D．f(x2)‎ 答案　A 解析　由已知得f(x＋T)＝f(x)，所以f(2x＋T)＝f(2x)，即f＝f(2x)，所以函数f(2x)的周期是；f＝f，即f＝f，所以函数f的周期是2T；‎2f(x＋T)＝‎2f(x)，所以函数‎2f(x)的周期是T.函数f(x2)不一定是周期函数．‎ ‎2．若f(x)是定义在R上的周期为4的函数，且在[0,2]上的解析式为f(x)＝则f＝________.‎ 答案　 解析　因为f(x)的周期为4，则f＝f＝f＝cos＝cos＝，所以f＝f＝×＝.‎ ‎3．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为________．‎ 答案　7‎ 解析　因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，‎ 则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.‎ 又f(1)＝0，‎ ‎∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，‎ 故函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点有7个．‎ 题型 　函数性质的综合应用 角度1　单调性与奇偶性结合 ‎1．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)0 B．减函数且f(x)<0‎ C．增函数且f(x)>0 D．增函数且f(x)<0‎ 答案　D 解析　当x∈时，－x∈.因为当x∈时，f(x)＝log(1－x)且f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－log (1＋x)，所以f(x)在上是增函数，当x∈时，1＋x∈，所以log (1＋x)∈(0,1]，－log (1＋x)∈[－1,0)．因为f＝f(x)，所以函数f(x)的周期是，所以f(x)在区间上的图象与在区间上的图象相同，所以f(x)在区间内是增函数且f(x)<0.‎ 函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略 ‎(1)函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．如举例说明1.‎ ‎(2)周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．如举例说明2.‎ ‎(3)单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．如举例说明3.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．(2017·全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是(　　)‎ A．[－2,2] B．[－1,1]‎ C．[0,4] D．[1,3]‎ 答案　D 解析　∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．‎ ‎∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.‎ 故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．‎ 又f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，∴－1≤x－2≤1，‎ ‎∴1≤x≤3.故选D.‎ ‎2．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则(　　)‎ A．f(－25)