【数学】2019届一轮复习人教A版 函数的单调性与最值 学案 13页

第5讲　函数的单调性与最值 考纲要求 考情分析 命题趋势 理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．‎ ‎2017·全国卷Ⅰ，5‎ ‎2017·浙江卷，17‎ ‎2016·全国卷Ⅱ，21(1)‎ ‎2016·四川卷，20(1)‎ ‎1．函数的单调性和最值等是高考热点题型，经常是利用单调性求最值或者是求参数的范围．‎ ‎2．难度小，偏重技巧，主要以选、填形式出现，属基础试题．‎ ‎3．解题时考生要认真分析，选准突破口，采用适当的方法，如数形结合、分类讨论等方法．函数的单调区间不能用并集，注意端点值的取舍．‎ 分值：4～6分 ‎1．增函数与减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，‎ ‎(1)如果对于定义域I内某个区间D上的__任意两个__自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是__减函数__.‎ ‎2．单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)__单调性__，区间D叫做y＝f(x)的__单调区间__.‎ ‎3．函数的最大值与最小值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：‎ ‎(1)对于任意的x∈I，都有__f(x)≤M__；存在x0∈I，使得__f(x0)＝M__，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值．‎ ‎(2)对于任意的x∈I，都有__f(x)≥M__；存在x0∈I，使得__f(x0)＝M__，那么我们称M是函数y＝f(x)的最小值．‎ ‎4．函数单调性的常用结论 区间D上单调递增 区间D上单调递减 定义法 x1f(x2)‎ 图象法 函数图象是上升的 函数图象是下降的 导数法 导数大于零 导数小于零 运算法 递增＋递增＝递增 递减＋递减＝递减 复合法 内外层单调性相同 内外层单调性相反 ‎5．对勾函数的单调性 对勾函数y＝x＋(a>0)的递增区间为(－∞，－]和[，＋∞)；递减区间为[－，0)和(0，]，且对勾函数为奇函数．‎ ‎1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．‎ ‎(1)函数y＝的单调递减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　×　)‎ ‎(2)函数f(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数f(x)的单调递增区间为[a，b]．(　×　)‎ ‎(3)若f(x)是增函数，g(x)是增函数，则f(x)·g(x)也是增函数．(　×　)‎ ‎(4)已知函数y＝f(x)在R上是增函数，则函数y＝f(－x)在R上是减函数．(　√　)‎ 解析　(1)错误．一个函数有多个单调区间应分别写，分开表示，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接．‎ ‎(2)错误．f(x)在区间[a，b]上是递增的并不能排除f(x)在其他区间上单调递增，而f(x)的单调递增区间为[a，b]意味着f(x)在其他区间上不可能是递增的．‎ ‎(3)错误．举反例：设f(x)＝x，g(x)＝x－2都是定义域R上的增函数，但是 f(x)·g(x)＝x2－2x在R上不是增函数．‎ ‎(4)正确．易知函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称，由对称性可知结论正确．‎ ‎2．(2016·北京卷)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是(　D　)‎ A．y＝　　　 B．y＝cos x C．y＝ln(x＋1)　　　 D．y＝2－x 解析　A项中，y＝＝的图象是将y＝－的图象向右平移1个单位得到的，故y＝在(－1,1)上为增函数，不符合题意；B项中，y＝cos x在(－1,0)上为增函数，在(0,1)上为减函数，不符合题意；C项中，y＝ln (x＋1)的图象是将y＝ln x的图象向左平移1个单位得到的，故y＝ln (x＋1)在(－1,1)上为增函数，不符合题意；D项符合题意．‎ ‎3．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是(　C　)‎ A．2　　　 B．－2　　　　‎ C．2或－2　　　 D．0‎ 解析　当a>0时，由题意得‎2a＋1－(a＋1)＝2，则a＝2；当a<0时，a＋1－(‎2a＋1)＝2，即a＝－2，所以a＝±2，故选C．‎ ‎4．函数f(x)＝ (x2－4)的单调递增区间为__(－∞，－2)__.‎ 解析　函数y＝f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y＝f(x)由y＝t与t＝g(x)＝x2－4复合而成，又y＝t在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y＝f(x)在(－∞，－2)上单调递增．‎ ‎5．设a为常数，函数f(x)＝x2－4x＋3.若f(x＋a)在[0，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是__[2，＋∞)__.‎ 解析　∵f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴f(x＋a)＝(x＋a－2)2－1，且当x∈[2－a，＋∞)‎ 时，函数f(x＋a)单调递增，因此2－a≤0，即a≥2.‎ 一　判断(或证明)函数的单调性 对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：‎ ‎(1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解．‎ ‎(2)可导函数则可以利用导数判断．但是，对于抽象函数单调性的证明，只能采用定义法进行判断．‎ ‎【例1】 (1)判断函数y＝在(－1，＋∞)上的单调性．‎ ‎(2)判断并证明函数f(x)＝(其中a>0)在x∈(－1,1)上的单调性．‎ 解析　(1)任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1－1，x2>－1，∴x1＋1>0，x2＋1>0，‎ 又x10，∴>0，即y1－y2>0.‎ ‎∴y1>y2，∴函数y＝在(－1，＋∞)上是减函数．‎ ‎(2)f′(x)＝＝.‎ 又a>0，所以f′(x)<0，∴函数f(x)在(－1,1)上为减函数．‎ 二　求函数的单调区间 求函数单调区间的常用方法 ‎(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．‎ ‎(2)定义法：先求定义域，再利用单调性的定义求单调区间．‎ ‎(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．‎ ‎(4)导数法：利用导数值的正负确定函数的单调区间．‎ 注意：单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“，”或“和”隔开．‎ ‎【例2】 求下列函数的单调区间．‎ ‎(1)y＝－x2＋2|x|＋1；(2)y＝ (x2－3x＋2)．‎ 解析　(1)由于y＝ 即y＝ 画出函数图象如图所示，则单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．‎ ‎(2)令u＝x2－3x＋2，则原函数可以看作y＝u与u＝x2－3x＋2的复合函数．令u＝x2－3x＋2>0，则x<1或x>2.‎ ‎∴函数y＝ (x2－3x＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．‎ 又u＝x2－3x＋2的对称轴为x＝，且开口向上，‎ ‎∴u＝x2－3x＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数．而y＝u在(0，＋∞)上是单调减函数，‎ ‎∴y＝ (x2－3x＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．‎ 三　求函数的值域(最值)‎ 求函数值域(最值)的常用方法 ‎(1)分离常数法．形如y＝(ac≠0)的函数的值域经常使用“分离常数法”求解．‎ ‎(2)配方法．配方法是求“二次函数型函数”值域的基本方法，形如F(x)＝a(f(x))2＋bf(x)＋c(a≠0)的函数的值域问题，均可使用配方法．‎ ‎(3)换元法．①代数换元，形如y＝ax＋b±(a，b，c，d为常数，ac≠0)的函数，可设＝t(t≥0)，转化为二次函数求值域．②三角换元．对于换元法求值域，一定要注意新元的范围对值域的影响．‎ 另外，还可用判别式法、有界性法、基本不等式法、数形结合法和函数的单调性法等来求值域(最值)．‎ ‎【例3】 求下列函数的值域．‎ ‎(1)y＝，x∈[－3，－1]；(2)y＝2x＋；‎ ‎(3)y＝x＋4＋；‎ ‎(4)y＝＋.‎ 解析　(1)(有界性法)由y＝，‎ 得x＝.‎ ‎∵－3≤x≤－1，∴－3≤≤－1，‎ 解得≤y≤3，∴函数的值域为.‎ ‎(2)(代数换元法)令t＝(t≥0)，则x＝，‎ ‎∴y＝－t2＋t＋1＝－2＋.∴当t＝，即x＝时，‎ y取最大值，ymax＝，且y无最小值，∴函数的值域为.‎ ‎(3)(三角换元法)令x＝3cos θ，θ∈[0，π]，则 y＝3cos θ＋4＋3sin θ＝3sin＋4.‎ ‎∵0≤θ≤π，∴≤θ＋≤，∴－≤sin≤1．‎ ‎∴1≤y≤3＋4，∴函数的值域为[1,3＋4]．‎ ‎(4)(数形结合法)如图，函数y＝＋的几何意义为平面内一点P(x,0)到点A(－3,4)和点B(5,2)的距离之和．由平面解析几何知识，找出B关于x轴的对称点B′(5，－2)，连接AB′交x轴于点P，此时距离之和最小，∴ymin＝|AB′|＝＝10，又y无最大值，∴函数的值域为[10，＋∞)．‎ 四　函数单调性的应用 ‎(1)含“f”不等式的解法：首先根据函数的性质把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内．‎ ‎(2)比较函数值大小的思路：比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．‎ ‎(3)求参数的值或取值范围的思路：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．‎ ‎【例4】 (1)(2017·全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数，若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是(　D　)‎ A．[－2,2]　　　 B．[－1,1]‎ C．[0,4]　　　 D．[1,3]‎ ‎(2)如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是(　D　)‎ A．　　　 B． C．　　　 D． ‎(3)若函数f(x)＝loga(6－ax)在[0,2]上为减函数，则实数a的取值范围是(　B　)‎ A．(0,1)　　　 B．(1,3)　　　　‎ C．(1,3]　　　 D．[3，＋∞)‎ 解析　(1)∵函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且f(1)＝－1，‎ ‎∴f(－1)＝－f(1)，由－1≤f(x－2)≤1，得－1≤x－2≤1，‎ ‎∴1≤x≤3，故选D．‎ ‎(2)当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，‎ 故在(－∞，4)上单调递增；‎ 当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a<0，且－≥4，得－≤a<0.‎ 综上所述，得－≤a≤0.故选D．‎ ‎(3)因为函数f(x)＝loga(6－ax)在[0,2]上为减函数，则有a>1且6－‎2a>0，解得11时，f(x)在[0,1]上单调递减，∴M－m＝f(0)－f(1)＝－1－a与a有关，与b无关．综上所述，M－m与a有关，但与b无关，故选B．‎ ‎3．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝__－6__.‎ 解析　由图象的对称性，知函数f(x)＝|2x＋a|关于直线x＝－对称，因为函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，所以－＝3，即a＝－6.‎ ‎4．函数y＝－x(x≥0)的最大值为！！！　　###.‎ 解析　令t＝，则t≥0，所以y＝t－t2＝－2＋，结合图象知，当t＝，即x＝时，ymax＝.‎ 易错点1　忽视函数的定义域 错因分析：不能忽略函数问题定义域优先原则；复合函数的“同增异减”原则；含绝对值函数和分段函数要分段讨论原则．‎ ‎【例1】 函数y＝的单调增区间为__________，减区间为__________.‎ 解析　由－x2＋2x≥0得函数的定义域为[0,2]．‎ ‎∵t＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1在[0,1)上是增函数，在[1,2]上是减函数，又y＝在[0，＋∞)上是增函数，‎ ‎∴函数y＝的单调增区间为[0,1)，减区间为[1,2]．‎ 答案　[0,1)　[1,2]‎ ‎【跟踪训练1】 若函数f(x)＝a|b－x|＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a，b的取值范围分别为__(0，＋∞)，(－∞，0]__.‎ 解析　∵|b－x|＝|x－b|，y＝|x－b|的图象如下．‎ ‎∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数，∴b≤0，a>0.‎ 易错点2　忽视分段函数的分界点 错因分析：单调递增(减)区间上的函数图象自左往右整体呈上升(下降)趋势，中间可能断开．‎ ‎【例2】 已知f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(0,1)　　　 B．　　　　‎ C．　　　 D． 解析　由已知得解得≤a<.‎ 答案　C ‎【跟踪训练2】 已知f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有>0成立，那么a的取值范围是　　.‎ 解析　由已知条件得f(x)为增函数，‎ ‎∴ 解得≤a<2，∴a的取值范围是.‎ 课时达标　第5讲 ‎[解密考纲]本考点考查函数的单调性．单独命题多以选择题的形式呈现，排在中间靠前的位置，题目难度系数属于中等或中等偏上；另外，函数的性质也常常与三角函数、向量、不等式、导数等相结合出解答题，有一定难度．‎ 一、选择题 ‎1．下列函数中，在区间(0,1]上是增函数且最大值为－1的为(　C　)‎ A．y＝－x2　　　 B．y＝x C．y＝－　　　 D．y＝2x 解析　y＝－x2在区间(0,1]上是减函数，不满足条件；y＝x在区间(0,1]上是减函数，不满足条件；y＝－在区间(0,1]上是增函数，最大值为y＝－1，满足条件；y＝2x在区间(0,1]上是增函数，最大值为y＝2，不满足条件，故选C．‎ ‎2．(2018·黑龙江牡丹江一中期中)函数y＝3x2－3x＋2，x∈[－1,2]的值域是(　B　)‎ A．R　　　 B． C．[9,243]　　　 D．[3，＋∞)‎ 解析　令t＝x2－3x＋2，∵x∈[－1,2]，‎ ‎∴t＝x2－3x＋2＝2－∈.‎ 又y＝3t在上单调递增，‎ 则y＝3t∈.‎ ‎∴函数y＝3x2－3x＋2，x∈[－1,2]的值域是.‎ ‎3．设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则(　B　)‎ A．ff>f，‎ 即f>f>f，故选B．‎ ‎4．已知f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围为(　B　)‎ A．(1，＋∞)　　　 B．[4,8)‎ C．(4,8)　　　 D．(1,8)‎ 解析　∵f(x)是R上的增函数，∴a>1且4－>0且a≥4－＋2，解得，4≤a<8，故选B．‎ ‎5．(2018·天津河西区一模)函数f(x)＝ln(x2－2x－3)的单调递减区间为(　C　)‎ A．(－∞，1)　　　 B．(1，＋∞)‎ C．(－∞，－1)　　　 D．(3，＋∞)‎ 解析　要使函数有意义，则x2－2x－3>0，‎ 即x>3或x<－1．设t＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，‎ 当x>3时，函数t＝x2－2x－3单调递增；‎ 当x<－1时，函数t＝x2－2x－3单调递减．‎ ‎∵函数y＝ln t在定义域上为单调递增函数，‎ ‎∴f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，故选C．‎ ‎6．已知函数f(x)＝若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是(　C　)‎ A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)　　　 B．(－1,2)‎ C．(－2,1)　　　 D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)‎ 解析　f(x)＝ 由f(x)的图象可知f(x)在R上是增函数，由f(2－a2)>f(a)，‎ 得2－a2>a，即a2＋a－2<0，解得－20)上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝__4__.‎ 解析　∵f(x)＝ln(x＋)＋＝ln(x＋)＋3－，∴函数f(x)在R上为单调递增，‎ ‎∴M＝f(k)＝ln(k＋)＋3－，‎ m＝f(－k)＝ln(－k＋)＋3－，‎ ‎∴M＋m＝f(k)＋f(－k)＝ln 1＋6－2＝6－2＝4.‎ 三、解答题 ‎10．已知函数f(x)＝－，x∈[0,2]，用定义证明函数的单调性，并求函数的最大值和最小值．‎ 解析　设x1，x2是区间[0,2]上的任意两个实数，且x10，(x1＋1)(x2＋1)>0，‎ 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)12，由f(x)－f≥－12，‎ 有f(x(x－12))≥f(64)，所以x(x－12)≤64.‎ 所以x2－12x－64＝(x－16)(x＋4)≤0，‎ 得－4≤x≤16，又x>12，所以x∈(12,16]．‎ ‎12．已知f(x)＝，x∈[1，＋∞)．‎ ‎(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；‎ ‎(2)若∀x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．‎ 解析　(1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2，‎ 任取1≤x11，∴2x1x2－1>0.‎ 又x1－x2<0，∴f(x1)0恒成立，‎ 则⇔等价于a大于函数φ(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上的最大值．‎ ‎∵φ(x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，∴当x＝1时，φ(x)取最大值为φ(1)＝－3，∴a>－3，故a的取值范围是(－3，＋∞)．‎