【数学】2019届一轮复习人教A版两条直线的位置关系学案 7页

两条直线的位置关系 ‎【考点梳理】‎ ‎1．两条直线平行与垂直的判定 ‎(1)两条直线平行 ‎①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为 1， 2，则有l1∥l2⇔ 1＝ 2.‎ ‎②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.‎ ‎(2)两条直线垂直 ‎①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为 1， 2，则有l1⊥l2⇔ 1· 2＝－1.‎ ‎②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.‎ ‎2．两条直线的交点的求法 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．‎ ‎3．距离 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|‎ d＝ 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝ 平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间 的距离 d＝ ‎【考点突破】‎ 考点一、两条直线的平行与垂直 ‎【例1】已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.‎ ‎(1)当l1∥l2时，求a的值；‎ ‎(2)当l1⊥l2时，求a的值.‎ ‎[解析] (1)法一 当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1不平行于l2；‎ 当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；‎ 当a≠1且a≠0时，两直线方程可化为l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，‎ 由l1∥l2可得解得a＝－1.‎ 综上可知，a＝－1.‎ 法二 由l1∥l2知 即⇒⇒a＝－1.‎ ‎(2)法一 当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不符合；‎ 当a≠1时，l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，‎ 由l1⊥l2，得·＝－1⇒a＝.‎ 法二 ∵l1⊥l2，∴A1A2＋B1B2＝0，‎ 即a＋2(a－1)＝0，得a＝.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1．判定直线间的位置关系，要注意直线方程中字母参数取值的影响，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，还要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．‎ ‎2．在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论，可避免讨论．另外当A2B‎2C2≠0时，比例式与，的关系容易记住，在解答选择、填空题时，有时比较方便．‎ ‎【对点训练】‎ ‎1．直线l1：mx－y－2＝0与直线l2：(2－m)x－y＋1＝0互相平行，则实数m的值为(　　)‎ A．－1 B．0‎ C．1 D．2‎ ‎[答案] C ‎[解析] ∵直线l1：mx－y－2＝0与直线l2：(2－m)x－y＋1＝0互相平行，∴‎ 解得m＝1.故选C.‎ ‎2．已知直线l1：ax＋2y＋6＝0，l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0，若l1⊥l2，则a＝________.‎ ‎[答案] ‎[解析] 因为直线l1：ax＋2y＋6＝0与l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0垂直，所以a·1＋2·(a－1)＝0，解得a＝.‎ 考点二、两直线的交点与距离问题 ‎【例2】(1)已知直线y＝ x＋2 ＋1与直线y＝x＋2的交点位于第一象限，则实数 的取值范围是________.‎ ‎(2)直线l过点P(－1，2)且到点A(2，3)和点B(－4，5)的距离相等，则直线l的方程为________．‎ ‎[答案] (1) (2) x＋3y－5＝0或x＝－1‎ ‎[解析] (1)法一 联立方程解得 ‎(若2 ＋1＝0，即 ＝－，则两直线平行)‎ ‎∴交点坐标为.又∵交点位于第一象限，‎ ‎∴解得－＜ ＜.‎ 法二 如图，已知直线y＝－x＋2与x轴、y轴分别交于点A(4，0)，B(0，2).‎ 而直线方程y＝ x＋2 ＋1可变形为y－1＝ (x＋2)，表示这是一条过定点P(－2，1)，斜率为 的动直线.‎ ‎∵两直线的交点在第一象限，‎ ‎∴两直线的交点必在线段AB上(不包括端点)，‎ ‎∴动直线的斜率 需满足 PA＜ ＜ PB.‎ ‎∵ PA＝－， PB＝.‎ ‎∴－＜ ＜.‎ ‎(2)法一 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝ (x＋1)，即 x－y＋ ＋2＝0.‎ 由题意知＝，‎ 即|3 －1|＝|－3 －3|，∴ ＝－，‎ ‎∴直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.‎ 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．‎ 法二 当AB∥l时，有 ＝ AB＝－，直线l的方程为 y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.‎ 当l过AB中点时，AB的中点为(－1，4)，‎ ‎∴直线l的方程为x＝－1.‎ 故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1．求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程；也可利用过交点的直线系方程，再求参数．‎ ‎2．利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等．‎ ‎【对点训练】‎ ‎1．当0< <时，直线l1： x－y＝ －1与直线l2： y－x＝2 的交点在(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎[答案] B ‎[解析] 由得 又∵0< <，∴x＝<0，y＝>0，‎ 故直线l1： x－y＝ －1与直线l2： y－x＝2 的交点在第二象限．‎ ‎2．已知点A(－3，－4)，B(6，3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为__________．‎ ‎[答案] －或－ ‎[解析] 由题意及点到直线的距离公式得＝，解得a＝－或－.‎ 考点三、对称问题 ‎【例3】已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2).求：‎ ‎(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；‎ ‎(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；‎ ‎(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程.‎ ‎[解析] (1)设A′(x，y)，再由已知 解得∴A′.‎ ‎(2)在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点必在m′上.‎ 设对称点为M′(a，b)，则解得M′.‎ 设m与l的交点为N，则由得N(4，3).‎ 又∵m′经过点N(4，3)，‎ ‎∴由两点式得直线方程为9x－46y＋102＝0.‎ ‎(3)法一 在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，‎ 如M(1，1)，N(4，3)，‎ 则M，N关于点A的对称点M′，N′均在直线l′上.‎ 易知M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.‎ 法二 设P(x，y)为l′上任意一点，‎ 则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，‎ ‎∵P′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，‎ 即2x－3y－9＝0.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1．解决点关于直线对称问题要把握两点，点M与点N关于直线l对称，则线段MN的中点在直线l上，直线l与直线MN垂直.‎ ‎2．如果直线或点关于点成中心对称问题，则只需运用中点公式就可解决问题.‎ ‎3．若直线l1，l2关于直线l对称，则有如下性质：(1)若直线l1与l2相交，则交点在直线l上；(2)若点B在直线l1上，则其关于直线l的对称点B′在直线l2上.‎ ‎【对点训练】‎ ‎1．点(2，1)关于直线x－y＋1＝0的对称点为________.‎ ‎[答案] (0，3)‎ ‎[解析] 设对称点为(x0，y0)，则 解得故所求对称点为(0，3).‎ ‎2．直线x－2y＋1＝0关于直线x＋y－2＝0对称的直线方程是(　　)‎ A．x＋2y－1＝0　　　　 B．2x－y－1＝0‎ C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0‎ ‎[答案] B ‎[解析] 由题意得直线x－2y＋1＝0与直线x＋y－2＝0的交点坐标为(1，1)．‎ 在直线x－2y＋1＝0上取点A(－1，0)，‎ 设A点关于直线x＋y－2＝0的对称点为B(m，n)，‎ 则解得 故所求直线的方程为＝，即2x－y－1＝0.‎ ‎3．平面直角坐标系中直线y＝2x＋1关于点(1，1)对称的直线方程是(　　)‎ A．y＝2x－1 B．y＝－2x＋1‎ C．y＝－2x＋3 D．y＝2x－3‎ ‎[答案] D ‎[解析] 在直线y＝2x＋1上任取两个点A(0，1)，B(1，3)，则点A关于点(1，1)对称的点为M(2，1)，点B关于点(1，1)对称的点为N(1，－1).由两点式求出对称直线MN的方程为＝，即y＝2x－3.‎