河南省焦作市2020—2021学年高三年级第一次模拟考试——数学（文） 5页

1 焦作市普通高中 2020—2021学年高三年级第一次模拟考试 文科数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上 的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．设集合 A＝{x｜x2－2x－3＜0}，B＝{x｜｜x｜＜2}，则 A∩B＝ A．（－2，1） B．（－1，2） C．（－2，3） D．（－1，3） 2．若复数 z满足 2 1 3z z i－ ＝＋ ，则 z＝ A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 3．椭圆 C： 2 2 2 1 4 x y m ＋ ＝ 的焦距为 4，则 C的长轴长为 A． 2 2 B．4 C． 4 2 D．8 4．在中国古代数学经典著作《九章算术》中，称图中的多面体 ABCDEF 为“刍甍”，书中描述了刍甍的体积 计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即 V＝ 1 6 （2AB＋EF）× AD×h，其中 h是刍甍的高，即点 F到平面 ABCD的距离．若底面 ABCD是边长为 4的正方形，EF＝2， 且 EF∥平面 AB—CD，△ADE和 △BCF是等腰三角形，∠AED＝∠BFC＝90°，则 该刍甍的体积 为 A． 20 2 3 B． 20 3 3 C．10 3 D． 40 3 5．若函数   sin 2 3 f x x       ＝ ＋ 在[－a，a]上的值域为[－1，1]，则 a的最小值为 A． 12  B． 6  C． 5 12  D． 2  6．函数   2 sin 1 xf x x ＝ － 的部分图象大致是 2 7． 1 3 sin 250 cos 290 ＋ ＝ A．2 B．2 3 C．4 D．4 3 8．已知 x，y，z∈R＋，且 xln2＝yln3＝zln5，则 A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z 9．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出 T的值为 A． 1 2 B． 50 99 C． 100 99 D．1 10．在一次语文考试的阅卷过程中，两位老师对一篇作文打出 的分数都是 两位的正整数，且十位数字都是 5，则两位老师打出的分数 之差的绝对 值小于或等于 1的概率为 A．0．18 B．0．2 C．0．28 D．0．32 11．已知双曲线 C： 2 2 2 2 1x y a b － ＝ （a＞0，b＞0）的右焦点坐标为（2，0），直线 x＝2与双曲线的一个交点为 P，若点 P到双曲线的两条渐近线的距离之和是 2 3，则 C的方程为 A． 2 2 1 3 yx－ ＝ B． 2 2 1 3 x y－ ＝ C． 2 2 1 2 2 x y － ＝ D． 2 2 1 4 3 x y － ＝ 12．已知函数     21 1 0 1 0 1 2 1 x x f x x x f x x       ，－≤ ＜ ， ＝ － ，≤ ＜， － ， ≥， 若函数 g（x）＝f（x）－k（0≤k≤1）的所有零点从小到大依次 成等差数列，则 g（x）的零点一定不包含 3 A． 22019 2 － B．2019 C．2020 D． 22020 2 ＋ 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．已知变量 x，y满足约束条件 1 1 0 1 x y x x y      ＋ ≤， ＋≥ ， － ≤， 则 z＝2x＋3y的最大值为__________． 14．已知OA  ⊥OB  ，｜OA  ｜＝2，则OA  · AB  ＝__________． 15．在△ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知△ABC的面积为 15，c－a＝2，cosB＝ 1 4 ，则 b的值为__________． 16．设 A，B，C，D 为球 O 的球面上的四个点，满足 AB＝AC＝BC＝2，DC＝BD＝ 3．若四面体 ABCD 的表面积为3 3 2＋ ，则球 O的表面积为__________． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个试题考生 都必须作答．第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17．（12分） 已知数列{ na }是公差不为零的等差数列， 9a ＝－ 2，且满足 3a ， 13a ， 8a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{ na }的通项公式； （Ⅱ）设 nb ＝ 1 2n n na a a＋ ＋ ，数列{ nb }的前 n项和为 nS ，求使得 nS 最小的 n的值． 18．（12分） 近年来，高铁的发展逐渐改变了人们的出行方式，我国 2015—2019年高铁运营里程的 数据如下表所示． （Ⅰ）求 y关于 x的线性回归方程； （Ⅱ）预计最早到哪一年我国高铁运营里程能超过 5万千米． 附：线性回归方程 ˆˆ ˆy a bx＝ ＋ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 4 19．（12分） 如图，在三棱锥 V—ABC中，VA＝VB＝VC，AC⊥BC，O，M分别为 AB，VA的中点． （Ⅰ）求证：平面 ABC⊥平面 VAB； （Ⅱ）若 AC＝BC，△VAB是面积为 3的等边三角形，求四棱锥 C—BOMV的体积． 20．（12分） 已知 a＞0，函数 f（x）＝a2lnx－x2＋ax． （Ⅰ）若 a＝2，求曲线 y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程； （Ⅱ）若当 x∈[1，e]时，1＋e－e2≤f（x）≤0，求 a的所有可能取值． 21．（12分） 已知点 P（4，4）在抛物线 C：y2＝2px（p＞0）上，直线 l：y＝kx＋2与抛物线 C有两 个不同的交点． （Ⅰ）求 k的取值范围； （Ⅱ）设直线 l与抛物线 C的交点分别为 A，B，过点 A作与 C的准线平行的直线，分别与直线 OP和 OB 交于点M和 N（O为坐标原点），求证：｜AM｜＝｜MN｜． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10分） 在平面直角坐标系 xOy中，直线 l的参数方程为 1 cos 1 sin x t y t      ＝＋ ， ＝＋ （t为参数，0≤ ＜ ）， 以原点为极点，以 x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为 2 2 12 3 sin   ＝ ＋ ，直线 l与曲 线 C的交点为 A，B． （Ⅰ）若 2 ＝ ，求｜AB｜； （Ⅱ）设点 P（1，1），求 PA PB PA PB－ 的最小值． 5 23．[选修 4—5：不等式选讲]（10分） 已知 f（x）＝｜x｜＋｜x－10｜，g（x）＝｜x｜－｜x－10｜． （Ⅰ）若 g（x）≤m≤f（x）恒成立，求 m的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正数 a，b满足 4a＋3b＝m，求 1 3 1 2a b ＋ ＋ ＋ 的最小值．