【数学】2018届一轮复习人教A版（理）4-8解三角形应用举例学案 16页

‎§4.8　解三角形应用举例 考纲展示►　‎ 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.‎ 考点1　距离的测量 ‎ 　　　　　　 　　　　　 　　　　　‎ 测量距离的基本类型及方案 类 型 A，B两点间不可通或不可视 A，B两点间可视，但有一点不可达 A，B两点都不可达 图 形 方 法 先测角C，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB 以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB 测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC；‎ 在△BCD中用正弦定理求BC；‎ 在△ABC中用余弦定理求AB 续表 类 型 A，B两点间不可通或不可视 A，B两点间可视，但有一点不可达 A，B两点都不可达 结 论 AB＝‎ AB＝‎ ‎①AC＝‎ ；‎ ‎②BC＝‎ ；‎ ‎③AB＝‎ ‎(1)[教材习题改编]海上有A，B，C三个小岛，A，B相距5海里，从A岛望C和B成45°视角，从B岛望C和A成75°视角，则B，C两岛间的距离是________海里．‎ 答案：5 解析：易知∠ACB＝60°，由＝，得＝，得BC＝5.‎ ‎(2)[教材习题改编]已知A，B两地间的距离为‎10 m，B，C两地间的距离为‎20 m，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离是________．‎ 答案：‎‎10 m 解析：AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ∠ABC＝102＋202－2×10×20×cos 120°＝700，所以AC＝10(m)．‎ ‎[考情聚焦]　研究测量距离问题是高考中的常考内容，题型既有客观题，也有解答题，难度一般适中，属中档题．解题时要选取合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正余弦定理求解．‎ 主要有以下几个命题角度：‎ 角度一 两点可视但有一点不可到达 ‎[典题1]　某同学骑电动车以‎24 km/h的速度沿正北方向的公路行驶，在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处，测得电视塔S在电动车的北偏东75°方向上，则点B与电视塔的距离是________km.‎ ‎[答案]　3 ‎[解析]　由题意知AB＝24×＝6，在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，‎ ‎∴∠ASB＝45°，由正弦定理知＝，‎ ‎∴BS＝＝3.‎ 角度二 两点不可到达的距离 ‎[典题2]　[2017·辽宁沈阳一模]如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝‎0.1 km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离(计算结果精确到‎0.01 km，‎ ≈1.414，≈2.449)．‎ ‎[解]　在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1，‎ 又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，‎ 故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA.‎ 在△ABC中，＝，‎ 即AB＝，‎ 又sin 15°＝sin(60°－45°)‎ ‎＝sin 60°cos 45°－cos 60°sin 45°‎ ‎＝×－×＝，‎ 所以AB＝＝，‎ 因此，BD＝≈0.33(km)．‎ 故B，D的距离约为‎0.33 km.‎ 角度三 两点不相通的距离 ‎[典题3]　如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离．即AB＝.若测得CA＝‎400 m，CB＝‎600 m，∠ACB＝60°，试计算AB的长为________．‎ ‎[答案]　‎200 m ‎[解析]　在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－‎2AC·BCcos ∠ACB，‎ ‎∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°‎ ‎＝280 000.‎ ‎∴AB＝‎200 m，即A，B两点间的距离为‎200 m.‎ ‎[点石成金]　求距离问题的注意事项 ‎(1)选定或确定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．‎ ‎(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．‎ ‎(3)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正余弦定理求解．‎ 考点2　测量高度问题 ‎ 　　‎ 测量高度的基本类型及方案 类型 点B与点C，D共线 点B与点C，D不共线 图形 方法 先测得CD＝a，∠ACB和∠ADB，再用正弦定理求出AC或AD，最后解直角三角形求出AB 先测得∠BCD，∠BDC，CD＝a，在△BCD中先用正弦定理求出BC，在△ABC中∠ACB可测，∠CAB＝90°－∠BCD－∠ACB，再用正弦定理求AB 结论 AB＝‎ AB＝‎ ‎1.实际问题中角的概念理解错误．‎ 为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距‎20 m的建筑物的顶部测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是________．‎ 答案：‎‎20m 解析：‎ 由题意画出示意图，如图所示，‎ 易知AD＝＝ m，‎ BD＝CD＝‎20 m，故AB＝20＋ ‎＝20(m)．‎ ‎2．实际问题中把求解目标纳入三角形．‎ 某路边一棵树的树干被台风吹断后，折断部分与地面成45°角，树干倾斜并与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距‎20 m，则折断点与树干底部的距离是________m.‎ 答案： 解析：‎ 由题意画出示意图，如图所示，‎ 设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则∠ABO＝45°，∠AOB＝75°，‎ ‎∴∠OAB＝60°.由正弦定理，知 ＝，‎ ‎∴AO＝(m)．‎ ‎[典题4]　某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进‎40 m后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高．‎ ‎[解]　如图所示，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD＝40，‎ 此时∠DBF＝45°，过点B作BE⊥CD于E，‎ 则∠AEB＝30°，‎ 在△BCD中，CD＝40，∠BCD＝30°，‎ ‎∠DBC＝135°，‎ 由正弦定理，得＝，‎ 所以BD＝＝20(m)．‎ 因为∠BDE＝180°－135°－30°＝15°，‎ 所以在Rt△BED中，‎ BE＝DBsin 15°＝20× ‎＝10(－1)(m)．‎ 在Rt△ABE中，∠AEB＝30°，‎ 所以AB＝BEtan 30°＝(3－)(m)．‎ 故所求的塔高为(3－)m.‎ ‎[点石成金]　求解高度问题的三个关注点 ‎(1)在处理有关高度问题时，理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键．‎ ‎(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．‎ ‎(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.‎ 要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝‎40 m，则 电视塔的高度为________m.‎ 答案：40‎ 解析：设电视塔AB高为x m，‎ 则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°，得BC＝x.‎ 在Rt△ADB中，由∠ADB＝30°，得BD＝x.‎ 在△BDC中，由余弦定理，得 BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos 120°，‎ 即(x)2＝x2＋402－2·x·40·cos 120°，‎ 解得x＝40，所以电视塔高为‎40 m.‎ 考点3　测量角度问题 ‎ 　　‎ ‎1.仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线________的角叫仰角，在水平线________的角叫俯角(如图①)．‎ 答案：上方　下方 ‎①‎ ‎　‎ ‎②‎ ‎2．方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．‎ ‎3．方向角 相对于某一正方向的水平角．‎ ‎(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)；‎ ‎(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；‎ ‎(3)南偏西等其他方向角类似．‎ ‎③‎ ‎　‎ ‎④‎ ‎4．坡角与坡度 ‎(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)；‎ ‎(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．‎ ‎ [典题5]　[2017·浙江适应性考试]如图所示，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB＝‎50 m，BC＝‎120 m，于A处测得水深AD＝‎80 m，于B处测得水深BE＝‎200 m，于C处测得水深CF＝‎110 m，求∠DEF的余弦值．‎ ‎[解]　作DM∥AC交BE于N，交CF于M.‎ DF＝＝＝10，‎ DE＝＝＝130，‎ EF＝＝ ‎＝150.‎ 在△DEF中，由余弦定理，得 cos∠DEF＝ ‎＝＝.‎ ‎[点石成金]　测量角度问题的基本思路 测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．‎ ‎[提醒]　方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角.‎ 在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．‎ 解：如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.‎ 根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos 120°，解得x＝2.故AC＝28，BC＝20.‎ 根据正弦定理得＝，‎ 解得sin α＝＝.‎ 所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为.‎ ‎ 真题演练集训 ‎ ‎1．[2014·浙江卷]如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)．‎ 若AB＝‎15 m，AC＝‎25 m，∠BCM＝30°，则tan θ的最大值是(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 答案：D 解析：‎ 如图，过点P作PO⊥BC于点O，连接AO，则∠PAO＝θ.‎ 设CO＝x m，则OP＝x m.‎ 在Rt△ABC中，AB＝‎15 m，AC＝‎25 m，‎ 所以BC＝‎20 m．所以cos ∠BCA＝.‎ 所以AO＝ ‎＝(m)．‎ 所以tan θ＝＝ ‎＝.‎ 当＝，即x＝时，tan θ取得最大值为＝.‎ ‎2．[2015·湖北卷]如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶‎600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m. ‎ 答案：100 解析：由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.‎ 又AB＝‎600 m，‎ 故由正弦定理得＝，‎ 解得BC＝‎300 m.‎ 在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°‎ ‎＝300×＝100(m)．‎ ‎3．[2014·新课标全国卷Ⅰ]如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝‎100 m，则山高MN＝________m.‎ 答案：150‎ 解析：在三角形ABC中，AC＝100，在三角形MAC中，＝，解得MA＝100，在三角形MNA中，＝sin 60°＝，故MN＝150，即山高MN为‎150 m.‎ ‎4．[2014·四川卷]如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是‎46 m，则河流的宽度BC约等于________ m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，≈1.73)‎ 答案：60‎ 解析：根据图中给出的数据构造适当的三角形求解．根据已知的图形可得AB＝.‎ 在△ABC中，∠BCA＝30°，‎ ‎∠BAC＝37°，由正弦定理，得 ＝，‎ 所以BC≈2××0.60＝60 (m)．‎ ‎ 课外拓展阅读 ‎ 有关解三角形的应用题的解题方法 ‎1．解决关于解三角形的应用问题的步骤 ‎2．解三角形的应用题的两种情形及解题方法 ‎ (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；‎ ‎ (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出(或找出)这些三角形，先解能直接解的三角形，然后逐步求出其他三角形的解，有时需设出未知量，利用几个三角形中边角所满足的关系列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．‎ ‎3．解决关于解三角形的应用问题应注意的事项 ‎ (1)要注意仰角、俯角、方位角以及方向角等名词，并能准确地找出这些角；‎ ‎ (2)要注意将平面几何中的性质、定理与正弦、余弦定理结合起来使用，这样可以优化解题过程；‎ ‎ (3)注意题目中的隐含条件以及解的实际意义．‎ ‎[典例]　如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为‎50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为‎130 m/min，山路 AC长为‎1260 m，经测量，cos A＝，cos C＝.‎ ‎(1)求索道AB的长；‎ ‎(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？‎ ‎(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？‎ ‎[解]　(1)在△ABC中，因为cos A＝，cos C＝，‎ 所以sin A＝，sin C＝.‎ 从而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)‎ ‎＝sin Acos C＋cos Asin C ‎＝×＋×＝.‎ 由＝，得 AB＝×sin C＝×＝1 040(m)．‎ 所以索道AB的长为1 ‎040 m.‎ ‎(2)设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t) m，乙距离A处130t m，‎ 所以由余弦定理，得 d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t2－70t＋50)，‎ 因为0≤t≤，即0≤t≤8，故当t＝(min)时，d最小，所以乙出发分钟后，甲、乙两游客距离最短．‎ ‎(3)由＝，得 BC＝×sinA＝×＝500(m)．‎ 乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走‎710 m才能到达C.‎ 设乙步行的速度为v m/min，‎ 由题意得－3≤－≤3，‎ 解得≤v≤，‎ 所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内．‎