【数学】2018届一轮复习人教A版　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用学案 20页

第 6 讲　函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用 [学生用书 P77]) 1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 振幅 周期 频率 相位 初相y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω >0)，x∈[0，＋∞)表示 一个振动量时 A T＝ 2π ω f＝ 1 T＝ ω 2π ωx＋φ φ 2.用五点法画 y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图 用五点法画 y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： x － φ ω π 2ω－ φ ω π－φ ω 3π 2ω－ φ ω 2π－φ ω ωx＋φ 0 π 2 π 3π 2 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 1．辨明两个易误点 (1)平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数； (2)解决三角函数性质的有关问题时，要化为 y＝Asin(ωx＋φ)的形式，但最大值、最小值 与 A 的符号有关． 2．三角函数图象变换的两种方法(ω>0) 1.教材习题改编 y＝2sin (2x－π 4 )的振幅、频率和初相分别为(　　) A．2， 1 π，－ π 4 　　　　　　 B．2， 1 2π，－ π 4 C．2， 1 π，－ π 8 D．2， 1 2π，－ π 8 [答案] A 2．(2016·高考浙江卷)函数 y＝sin x2 的图象是(　　) 　D　[解析] 由于函数 y＝sin x2 是一个偶函数，选项 A、C 的图象都关于原点对称，所 以不正确；选项 B 与选项 D 的图象都关于 y 轴对称，在选项 B 中，当 x＝± π 2 时，函数 y＝sin x2<1，显然不正确， 当 x＝± π 2 时，y＝sin x2＝1，而 π 2 < π 2 ，故选 D. 3．(2016·高考四川卷)为了得到函数 y＝sin (2x－π 3 )的图象，只需把函数 y＝sin 2x 的图 象上所有的点(　　) A．向左平行移动 π 3 个单位长度 B．向右平行移动 π 3 个单位长度 C．向左平行移动 π 6 个单位长度 D．向右平行移动 π 6 个单位长度 　D　[解析] 因为 y＝sin(2x－π 3 )＝sin[2(x－π 6 )]，所以只需把函数 y＝sin 2x 的图象上 所有的点向右平行移动 π 6 个单位长度即可，故选 D. 4．用五点法作函数 y＝sin (x－π 6 )在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是 ________、________、________、________、________． [答案] (π 6 ，0) (2π 3 ，1) (7π 6 ，0) (5π 3 ，－1) (13π 6 ，0) 5．已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则 ω＝________． [解析] 由题图可知， T 4＝ 2π 3 － π 3 ＝ π 3 ， 即 T＝ 4π 3 ，所以2π ω ＝ 4π 3 ，故 ω＝ 3 2. [答案] 3 2 　五点法作图及图象变换[学生用书 P78] [典例引领] 　(2016·高考山东卷)设 f(x)＝2 3sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2. (1)求 f(x)的单调递增区间； (2)把 y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，再把得到的图象 向左平移 π 3 个单位，得到函数 y＝g(x)的图象，求 g (π 6 )的值． 【解】　(1)由 f(x)＝2 3sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2 ＝2 3sin2x－(1－2sin xcos x) ＝ 3(1－cos 2x)＋sin 2x－1 ＝sin 2x－ 3cos 2x＋ 3－1 ＝2sin(2x－π 3 )＋ 3－1， 由 2kπ－ π 2 ≤2x－ π 3 ≤2kπ＋ π 2 (k∈Z)， 得 kπ－ π 12≤x≤kπ＋ 5π 12 (k∈Z)， 所以 f(x)的单调递增区间是[kπ－π 12，kπ＋5π 12 ](k∈Z) (或(kπ－π 12，kπ＋5π 12 )（k ∈ Z）). (2)由(1)知 f(x)＝2sin(2x－π 3 )＋ 3－1， 把 y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)， 得到 y＝2sin(x－π 3 )＋ 3－1 的图象， 再把得到的图象向左平移 π 3 个单位， 得到 y＝2sin x＋ 3－1 的图象， 即 g(x)＝2sin x＋ 3－1. 所以 g(π 6 )＝2sin π 6 ＋ 3－1＝ 3. 　 [通关练习] 1．(2017·贵州省适应性考试)将函数 f(x)＝sin (2x＋π 6 )的图象向左平移 φ(0<φ≤ π 2 )个单 位长度，所得的图象关于 y 轴对称，则 φ＝(　　) A. π 6 　　　　　　　　　　B. π 4 C. π 3 D. π 2 　A　[解析] 将函数 f(x)＝sin (2x＋π 6 )的图象向左平移 φ(0<φ≤ π 2 )个单位长度，得到的 图象所对应的函数解 析式为 y＝sin[2（x＋φ）＋π 6 ]＝sin(2x＋2φ＋π 6 )，由题知，该函数是偶函数，则 2φ＋ π 6 ＝kπ＋ π 2 ，k∈Z，又 0<φ≤ π 2 ，所以 φ＝ π 6 ，选项 A 正确． 2．设函数 f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω > 0，－π 2 < φ < 0)的最小正周期为π，且 f(π 4 )＝ 3 2 . (1)求 ω 和 φ 的值； (2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0，π]上的图象． [解] (1)因为 T＝ 2π ω ＝π，所以 ω＝2，又 f(π 4 )＝cos(2 × π 4 ＋φ)＝ 3 2 ，所以 sin φ＝－ 3 2 ，又－ π 2 <φ<0，所以 φ＝－ π 3 . (2)由(1)得 f(x)＝cos(2x－π 3 )，列表： 2x－ π 3 － π 3 0 π 2 π 3 2π 5 3π x 0 π 6 5 12π 2 3π 11 12π π f(x) 1 2 1 0 －1 0 1 2 图象如图． 　由图象确定 y＝Asin(ωx＋φ)的解析式[学生用书 P79] [典例引领] 　(2016·高考全国卷甲)函数 y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　) A．y＝2sin(2x－π 6 )　　　 B．y＝2sin(2x－π 3 ) C．y＝2sin(x＋π 6 ) D．y＝2sin(x＋π 3 ) 【解析】　由题图易知 A＝2，因为周期 T 满足 T 2＝ π 3 －(－π 6 )，所以 T＝π，ω＝ 2π T ＝ 2.由 x＝ π 3 时，y＝2 可知 2× π 3 ＋φ＝ π 2 ＋2kπ(k∈Z)，所以 φ＝－ π 6 ＋2kπ(k∈Z)，结合选 项可知函数解析式为 y＝2sin(2x－π 6 ). 【答案】　A 确定 y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法(1)求 A，b，确定函数的最大值 M 和最小值 m， 则 A＝ M－m 2 ，b＝ M＋m 2 . (2)求 ω，确定函数的最小正周期 T，则可得 ω＝ 2π T . (3)求 φ，常用的方法有： ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时 A，ω，b 已知)或代入图象与直线 y＝b 的 交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)． ②特殊点法：确定 φ 值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下： “最大值点”(即图象的“峰点”)时 ωx＋φ ＝ π 2 ＋2kπ(k∈Z)；“最小值点”(即图象 的“谷点”)时 ωx＋φ＝ 3π 2 ＋2kπ(k∈Z)．　 [通关练习] 1．(2017·广州市高考模拟)函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－ π 2 <φ< π 2 )的部分图象如图所 示，则 ω，φ的值分别是(　　) A．2，－ π 3 　　　　　　　　　　 B．2，－ π 6 C．4，－ π 6 D．4， π 3 　A　[解析] 由题图可得 3 4T＝ 5π 12 －(－π 3 )＝ 3π 4 ，所以 T＝π，所以 T＝ 2π ω ＝π，ω＝ 2，所以 f(x)＝2sin(2x＋φ)，又 f(x)的图象经过点(5π 12 ，2)，所以 f(5π 12 )＝2sin(5π 6 ＋φ)＝2， 所以 sin(5π 6 ＋φ)＝1，所以 5π 6 ＋φ＝ π 2 ＋2kπ(k∈Z)，即 φ＝－ π 3 ＋2kπ(k∈Z)，又－ π 2 <φ< π 2 ，所以 φ＝－ π 3 . 2．(2017·兰州市实战考试)已知函数 f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)为奇函数， 该函数的部分图象如图所示，△EFG(点 G 是图象的最高点)是边长为 2 的等边三角形，则 f(1)＝ ________． [解析] 由题意得，A＝ 3，T＝4＝ 2π ω ，ω＝ π 2 .又因为 f(x)＝Acos(ωx＋φ)为奇函数，所 以 φ＝ π 2 ＋kπ，k∈Z，取 k＝0，则 φ＝ π 2 ，所以 f(x)＝ 3cos(π 2 x＋π 2 )，所以 f(1)＝－ 3. [答案] － 3 　三角函数图象与性质的综合应用(高频考点)[学生用书 P79] 三角函数的图象与性质的综合问题是每年高考的热点内容，题型多为解答题，难度为中 档题． 高考对三角函数的图象与性质的综合应用问题的考查主要有以下五个命题角度： (1)图象变换与函数性质； (2)恒等变换与函数性质； (3)三角函数图象与性质； (4)三角函数性质与平面向量； (5)三角函数性质与解三角形((4)、(5)后面讲)． [典例引领] 　已知函数 f(x)＝ 3sin ωxcos ωx－cos2ωx－ 1 2(ω>0，x∈R)，且函数 f(x)的最小 正周期为π. (1)求函数 f(x)的对称轴； (2)将函数 f(x)的图象向左平移 π 12个单位长度，再向上平移 1 个单位长度得到函数 g(x)的 图象，求函数 y＝4g2(x)－12g(x)－1 在 x∈[－π 12， π 3 ]上的最值． 【解】　(1)由已知 f(x)＝ 3sin ωxcos ωx－cos2ωx－ 1 2 ＝ 3 2 sin 2ωx－ 1 2cos 2ωx－1 ＝sin(2ωx－π 6 )－1， 因为 f(x)的最小正周期为π，故 2π 2ω＝π，所以 ω＝1. 故 f(x)＝sin(2x－π 6 )－1，其对称轴满足 2x－ π 6 ＝kπ＋ π 2 (k∈Z)，故其对称轴为 x＝ kπ 2 ＋ π 3 (k∈Z)． (2)将函数 f(x)的图象向左平移 π 12个单位长度得到函数 y＝sin[2(x＋π 12)－π 6 ]－1＝sin 2x －1 的图象，再向上平移 1 个单位长度，得到函数 g(x)＝sin 2x 的图象，因此 y＝4g2(x)－12g(x) －1＝4sin22x－12sin 2x－1. 令 t＝sin 2x，由于 2x∈[－π 6 ， 2π 3 ]，故 t∈[－1 2，1]， 所以 y＝4t2－12t－1＝4(t－3 2 ) 2 －10，因为当 t∈[－1 2，1]时，函数 y＝4t2－12t－1 单调 递减，所以当 t＝－ 1 2，即 x＝－ π 12时，ymax＝6；当 t＝1，即 x＝ π 4 时，ymin＝－9. 函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质 (1)奇偶性：φ＝kπ(k∈Z)时，函数 y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；φ＝kπ＋ π 2 (k∈Z)时，函 数 y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数． (2)周期性：y＝Asin(ωx＋φ)存在周期，其最小正周期为 T＝ 2π ω . (3)单调性：根据 y＝sin t 和 t＝ωx＋φ(ω>0)的单调性来研究，由－ π 2 ＋2kπ≤ωx＋φ≤ π 2 ＋2kπ(k∈Z)得单调增区间；由 π 2 ＋2kπ≤ωx＋φ≤ 3π 2 ＋2kπ(k∈Z)得单调减区间． (4)对称性：利用 y＝sin x 的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)求解，令 ωx＋φ＝kπ(k∈Z)得其 对称中心． 利用 y＝sin x 的对称轴为 x＝kπ＋ π 2 (k∈Z)求解，令 ωx＋φ＝kπ＋ π 2 (k∈Z)得其对称轴．　 [题点通关] 角度一　图象变换与函数性质 1．将函数 f(x)＝cos 2x－sin 2x 的图象向左平移 π 8 个单位后得到函数 F(x)的图象，则下 列说法中正确的是(　　) A．函数 F(x)是奇函数，最小值是－2 B．函数 F(x)是偶函数，最小值是－2 C．函数 F(x)是奇函数，最小值是－ 2 D．函数 F(x)是偶函数，最小值是－ 2 　C　[解析] f(x)＝cos 2x－sin 2x＝ 2cos(2x＋π 4 )，将 f(x)的图象向左平移 π 8 个单位后得 F(x)的图象，则 F(x)＝2cos[2(x＋π 8 )＋π 4 ]＝ 2cos(2x＋π 2 )＝－ 2sin 2x，所以 F(x)是奇函数， 最小值为－ 2.故选 C. 角度二　恒等变换与函数性质 2．设 f(x)＝sin x(sin x＋cos x)＋2cos2x. (1)求函数 f(x)的最大值与最小正周期； (2)求使不等式 f(x)≥ 3 2成立的 x 的取值集合． [解] (1)因为 f(x)＝sin2x＋sin x·cos x＋2cos2x ＝1＋ 1 2sin 2x＋ 1 2(1＋cos 2x) ＝ 2 2 sin(2x＋π 4)＋ 3 2， 所以 f(x)的最大值为 3 2＋ 2 2 ，最小正周期是 2π 2 ＝π. (2)由(1)知 f(x)≥ 3 2⇔ 3 2＋ 2 2 sin(2x＋π 4 )≥ 3 2⇔ sin(2x＋π 4 )≥0⇔2kπ≤2x＋ π 4 ≤2kπ＋π，k∈Z⇔kπ－ π 8 ≤x≤kπ＋ 3π 8 ，k∈Z. 即使 f(x)≥ 3 2成立的 x 的取值集合是{x|kπ－π 8 ≤ x ≤ kπ＋3π 8 ，k ∈ Z}. 角度三　三角函数图象与性质 3．(2017·重庆适应性测试(二))若函数 f(x)＝sin(ωx＋π 6 )－cos ωx(ω>0)的图象相邻两个 对称中心之间的距离为 π 2 ，则 f(x)的一个单调递增区间为(　　) A.(－π 6 ， π 3 )　　　　　　　B.(－π 3 ， π 6 ) C.(π 6 ， 2π 3 ) D.(π 3 ， 5π 6 ) 　A　[解析] 依题意得，f(x)＝ 3 2 sin ωx－ 1 2cos ωx＝sin (ωx－π 6 )的图象相邻两个对称 中心之间的距离为 π 2 ，于是有 T＝ 2π ω ＝2× π 2 ＝π，ω＝2，所以 f(x)＝sin(2x－π 6 ).当 2kπ－ π 2 ≤2x－ π 6 ≤2kπ＋ π 2 ，k∈Z，即 kπ－ π 6 ≤x≤kπ＋ π 3 ，k∈Z 时，f(x)＝sin (2x－π 6 )单调 递增．因此结合各选项知，f(x)＝sin (2x－π 6 )的一个单调递增区间为(－π 6 ， π 3 )，选 A. 　三角函数模型的简单应用[学生用书 P80] [典例引领] 　某实验室一天的温度(单位：℃)随时间 t(单位：h)的变化近似满足函数关系： f(t)＝10－ 3cos π 12t－sin π 12t，t∈[0，24)． (1)求实验室这一天的最大温差； (2)若要求实验室温度不高于 11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 【解】　(1)因为 f(t)＝10－2( 3 2 cos π 12t＋1 2sin π 12t) ＝10－2sin(π 12t＋π 3 )， 又 0≤t＜24，所以 π 3 ≤ π 12t＋ π 3 ＜ 7π 3 ， －1≤sin(π 12t＋π 3 )≤1. 当 t＝2 时，sin(π 12t＋π 3 )＝1； 当 t＝14 时，sin(π 12t＋π 3 )＝－1. 于是 f(t)在[0，24)上的最大值为 12，最小值为 8. 故实验室这一天最高温度为 12 ℃，最低温度为 8 ℃，最大温差为 4 ℃. (2)依题意，当 f(t)＞11 时实验室需要降温． 由(1)得 f(t)＝10－2sin(π 12t＋π 3 )， 故有 10－2sin(π 12t＋π 3 )＞11， 即 sin(π 12t＋π 3 )＜－ 1 2. 又 0≤t＜24，因此 7π 6 ＜ π 12t＋ π 3 ＜ 11π 6 ， 即 10＜t＜18. 故在 10 时至 18 时实验室需要降温． 三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面，一是已知函数模型，利用三角函数的有 关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应关系，二是把 实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题， 其关键是建模． 　如图，某市拟在长为 8 km 的道路 OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道 的前一部分为曲线段 OSM，该曲线段为函数 y＝Asin ωx(A＞0，ω＞0)，x∈[0，4]的部分 图象，且图象的最高点为 S(3，2 3)；赛道的后一部分为折线段 MNP.为保证参赛运动员的 安全，限定∠MNP＝120°.求 A，ω的值和 M，P 两点间的距离． [解] 连接 MP(图略)． 依题意，有 A＝2 3， T 4＝3， 又 T＝ 2π ω ，所以 ω＝ π 6 ，所以 y＝2 3sin π 6 x. 当 x＝4 时，y＝2 3sin 2π 3 ＝3， 所以 M(4，3)．又 P(8，0)， 所以|MP|＝ （－4）2＋32＝5. 即 M，P 两点相距 5 km. [学生用书 P81] ——三角函数的图象与性质 　(本题满分 12 分)已知向量 a＝(m，cos 2x)，b＝(sin 2x，n)，函数 f(x)＝a·b，且 y ＝f(x)的图象过点(π 12， 3)和点(2π 3 ，－2). (1)求 m，n 的值； (2)将 y＝f(x)的图象向左平移 φ(0<φ<π)个单位后得到函数 y＝g(x)的图象，若 y＝g(x)图 象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为 1，求 y＝g(x)的单调递增区间． [思维导图] (1) (2) (1)由题意知 f(x)＝a·b＝msin 2x＋ncos 2x， (1 分) 因为 y＝f(x)的图象过点(π 12， 3)和点(2π 3 ，－2)， 所以{ 3＝msin π 6 ＋ncos π 6 ， －2＝msin 4π 3 ＋ncos 4π 3 ， (3 分) 即{ 3＝1 2m＋ 3 2 n， －2＝－ 3 2 m－1 2n， (4 分) 解得 m＝ 3，n＝1.(5 分) (2)由(1)知 f(x)＝ 3sin 2x＋cos 2x＝2sin(2x＋π 6 ). 由题意知 g(x)＝f(x＋φ)＝2sin(2x＋2φ＋π 6 ). (7 分) 设 y＝g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0，2)． 由题意知，x20＋1＝1， 所以 x0＝0，(8 分) 即 y＝g(x)图象上到点(0，3)的距离为 1 的最高点为(0，2)． 将其代入 y＝g(x)得 sin(2φ＋π 6 )＝1. 因为 0<φ<π， 所以 φ＝ π 6 ，(9 分) 所以 g(x)＝2sin(2x＋π 2 )＝2cos 2x.(10 分) 由 2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z，得 kπ－ π 2 ≤x≤kπ，k∈Z， 所以函数 y＝g(x)的单调递增区间为[kπ－π 2 ，kπ]，k∈Z.(12 分) 　(1)解决三角函数图象与性质综合问题的方法：先将 y＝f(x)化为 y＝asin x ＋bcos x 的形式，然后用辅助角公式化为 y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再借助 y＝ Asin(ωx＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题． (2)注意解题步骤的规范性 ①求最值、单调区间或由值求角时一定要注意限定角的取值范围； ②涉及 kπ或 2kπ时要注意 k 的范围，规范步骤，减少出错； ③注意题目最后的总结，保证步骤的完整性． [学生用书 P343(独立成册)] 1．函数 y＝sin (2x－π 3 )在区间[－π 2 ，π]上的简图是(　　) 　A　[解析] 令 x＝0，得 y＝sin(－π 3 )＝－ 3 2 ，排除 B，D.由 f(－π 3 )＝0，f(π 6 )＝ 0，排除 C. 2．函数 f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线 y＝2 所得线段长为 π 2 ，则 f (π 6 ) 的值是(　　) A．－ 3　　　　　　　　　　 B. 3 3 C．1 D. 3 　D　[解析] 由题意可知该函数的周期为 π 2 ，所以 π ω＝ π 2 ，ω＝2，f(x)＝tan 2x，所以 f (π 6 )＝tan π 3 ＝ 3. 3．(2016·高考全国卷乙)将函数 y＝2sin (2x＋π 6 )的图象向右平移 1 4个周期后，所得图象 对应的函数为(　　) A．y＝2sin(2x＋π 4 ) B．y＝2sin(2x＋π 3 ) C．y＝2sin(2x－π 4 ) D．y＝2sin(2x－π 3 ) 　D　[解析] 函数 y＝2sin (2x＋π 6 )的周期为π，所以将函数 y＝2sin (2x＋π 6 )的图象向 右平移 π 4 个单位长度后，得到函数图象对应的解析式为 y＝2sin [2(x－π 4 )＋π 6 ]＝2sin (2x－π 3 ).故选 D. 4．(2017·武汉市武昌区调研)已知函数 f(x)＝2sin(ωx＋π 6 )－1(ω>0)的图象向右平移 2π 3 个单位后与原图象重合，则 ω 的最小值是(　　) A．3 B. 3 2 C. 4 3 D. 2 3 　A　[解析] 将 f(x)的图象向右平移 2π 3 个单位后得到图象的函数解析式为 2sin [ω(x－2π 3 )＋π 6 ]－1＝2sin(ωx－2ωπ 3 ＋π 6 )－1，所以 2ωπ 3 ＝2kπ，k∈Z，所以 ω＝3k，k∈ Z，因为 ω>0，k∈Z，所以 ω 的最小值为 3，故选 A. 5．(2017·郑州市第二次质量检测)将函数 f(x)＝－cos 2x 的图象向右平移 π 4 个单位后得到 函数 g(x)的图象，则 g(x)具有性质(　　) A．最大值为 1，图象关于直线 x＝ π 2 对称 B．在(0， π 4 )上单调递减，为奇函数 C．在(－3π 8 ， π 8 )上单调递增，为偶函数 D．周期为π，图象关于点(3π 8 ，0)对称 　B　[解析] 由题意得，g(x)＝－cos [2(x－π 4 )]＝－cos(2x－π 2 )＝－sin 2x.A：最大值为 1 正确，而 g(π 2 )＝0，图象不关于直线 x＝ π 2 对称，故 A 错误；B：当 x∈(0， π 4 )时，2x∈ (0， π 2 )，g(x)单调递减，显然 g(x)是奇函数，故 B 正确；C：当 x∈ (－3π 8 ， π 8 )时，2x∈ (－3π 4 ， π 4 )，不满足单调递增，也不满足是偶函数，故 C 错误；D：周期 T＝ 2π 2 ＝π，g(3π 8 ) ＝－ 2 2 ，故图象不关于点(3π 8 ，0)对称．故选 B. 6．(2017·山西临汾一中模拟)已知函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ) (ω > 0，|φ| < π 2 )的图象如 图所示，则函数 y＝f(x)＋ω 图象的对称中心的坐标为(　　) A.(2 3kπ＋π 24， 3 2)(k∈Z) B.(3kπ－3π 8 ， 2 3)(k∈Z) C.(1 2kπ＋5π 8 ， 3 2)(k∈Z) D.(3 2kπ－3π 8 ，2 3)(k∈Z) 　D　[解析] 由题图可知 T 2＝ 15π 8 － 3π 8 ＝ 3π 2 ，所以 T＝3π，又 T＝ 2π ω ，所以 ω＝ 2 3， 所以 f(x)＝2sin(2 3x＋φ)，因为 f(x)的图象过点(3 8π，2)，所以 2sin(π 4 ＋φ)＝2，所以 π 4 ＋φ＝2k π ＋ π 2 (k∈Z) ， 所 以 φ ＝ 2k π ＋ π 4 (k∈Z) ． 又 因 为 |φ|< π 2 ， 所 以 φ ＝ π 4 . 所 以 f(x) ＝ 2sin(2 3x＋π 4 ).由 2 3x＋ π 4 ＝kπ(k∈Z)，得 x＝ 3 2kπ－ 3π 8 (k∈Z)，则函数 y＝f(x)＋ 2 3图象的对称 中心的坐标为(3 2kπ－3π 8 ， 2 3)(k∈Z)． 7．若函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中 ω>0，|φ|< π 2 ，f(x)的最小正周期为π，且 f(0) ＝ 3，则 ω＝________，φ＝________． [解析] 由函数的最小正周期为π，得到 ω＝2(ω>0)，又由 f(0)＝ 3且|φ|< π 2 得到 φ＝ π 3 . [答案] 2　 π 3 8．(2016·高考全国卷丙)函数 y＝sin x－ 3cos x 的图像可由函数 y＝sin x＋ 3cos x 的图 像至少向右平移________个单位长度得到． [解析] 函数 y＝sin x－ 3cos x＝2sin (x－π 3 )的图像可由函数 y＝sin x＋ 3cos x＝2sin (x＋π 3 )的图像至少向右平移 2π 3 个单位长度得到． [答案] 2π 3 9．函数 y＝sin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M、N 分别是最高点、最低点，O 为坐标原点，且OM→ ·ON→ ＝0，则函数 f(x)的最小正周期是________． [解析] 由题图可知，M(1 2，1 )，N(xN，－1)， 所以OM→ ·ON→ ＝(1 2，1 )·(xN，－1)＝ 1 2xN－1＝0， 解得 xN＝2，所以函数 f(x)的最小正周期是 2×(2－1 2 )＝3. [答案] 3 10．某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 y＝a＋Acos [π 6 （x－6）](x＝1，2，3，…，12)来表示，已知 6 月份的月平均气温最高，为 28 ℃，12 月份的月平均气温最低，为 18 ℃，则 10 月份的平均气温为________℃. [解析] 依题意知，a＝ 28＋18 2 ＝23， A＝ 28－18 2 ＝5， 所以 y＝23＋5cos[π 6 （x－6）]， 当 x＝10 时， y＝23＋5cos(π 6 × 4)＝20.5. [答案] 20.5 11．已知函数 y＝2sin(2x＋π 3 ). (1)求它的振幅、最小正周期、初相； (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象． [解] (1)y＝2sin (2x＋π 3 )的振幅 A＝2， 最小正周期 T＝ 2π 2 ＝π，初相 φ＝ π 3 . (2)令 X＝2x＋ π 3 ，则 y＝2sin(2x＋π 3 )＝2sin X. 列表： x － π 6 π 12 π 3 7π 12 5π 6 X 0 π 2 π 3π 2 2π y＝sin X 0 1 0 －1 0 y＝2sin(2x＋π 3 ) 0 2 0 －2 0 描点画图： 12．如图，某地一天 6～14 时的温度变化曲线近似满足 y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0， 0<φ<π)． (1)求解析式； (2)若某行业在当地需要的温度在区间[20－5 2，20＋5 2]之间为最佳营业时间，那么该 行业在 6～14 时，最佳营业时间为多少小时． [解] (1)由图象知 A＝10， 1 2· 2π ω ＝14－6， 所以 ω＝ π 8 ， 所以 y＝10sin(πt 8 ＋φ)＋b.① ymax＝10＋b＝30，所以 b＝20. 当 t＝6 时，y＝10 代入①得 φ＝ 3π 4 ， 所以解析式为 y＝10sin(π 8 t＋3π 4 )＋20，t∈[6，14]． (2)由题意得， 20－5 2≤10sin(π 8 t＋3π 4 )＋20≤20＋5 2， 即－ 2 2 ≤sin(π 8 t＋3π 4 )≤ 2 2 ， 所以 kπ－ π 4 ≤ π 8 t＋ 3π 4 ≤kπ＋ π 4 ，k∈Z. 即 8k－8≤t≤8k－4， 因为 t∈[6，14]，所以 k＝2，即 8≤t≤12， 所以最佳营业时间为 12－8＝4 小时． 13．(2017·山西省高三考前质量检测)若函数 f(x)＝sin(2x＋φ) (|φ| < π 2 )的图象关于直 线 x＝ π 12对称，且当 x1，x2∈(－ π 6 ， π 3 )，x1≠x2 时，f(x1)＝f(x2)，则 f(x1＋x2)＝(　　) A. 1 2 B. 2 2 C. 3 2 D．1 　C　[解析] 由题意得，2× π 12＋φ＝ π 2 ＋kπ，k∈Z，所以 φ＝ π 3 ＋kπ，k∈Z，因为|φ|< π 2 ，所以 k＝0，φ＝ π 3 ， 又 x1，x2∈(－π 6 ， π 3 )，所以 2x1＋ π 3 ，2x2＋ π 3 ∈(0，π)， 所以 2x1＋π 3 ＋2x2＋π 3 2 ＝ π 2 ，解得 x1＋x2＝ π 6 ，所以 f(x1＋x2)＝sin(2 × π 6 ＋π 3 )＝ 3 2 ， 故选 C. 14．(2017·福建省毕业班质量检测)已知 A 是函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<2π)图象 上的一个最高点，B，C 是 f(x)图象上相邻的两个对称中心，且△ABC 的面积为 1 2，若存在常 数 M(M>0)，使得 f(x＋M)＝Mf(－x)，则该函数的解析式是 f(x)＝________． [解析] 由题意得|BC|＝ π ω(ω>0)，所以 S△ABC＝ 1 2× π ω×1＝ 1 2，解得 ω＝π，所以 f(x)＝ sin(πx＋φ)，所以 f(－x)＝sin(－πx＋φ)，f(x＋M)＝sin[π(x＋M)＋φ]．因为存在常数 M(M>0)，使得 f(x＋M)＝Mf(－x)，又－1≤f(x＋M)≤1，－M≤Mf(－x)≤M，所以 M＝1，所 以 sin[π(x＋1)＋φ]＝sin(－πx＋φ)，即 sin(πx＋φ)＝sin(πx－φ)，因为 0<φ<2π，所以φ＝ π，所以 f(x)＝sin(πx＋π)，所以 f(x)＝－sin πx 为所求的函数的解析式． [答案] －sin πx 15 ． (2017· 福 建 三 明 一 中 期 中 测 试 ) 已 知 函 数 f(x) ＝ Asin(ωx ＋ φ) (其中A > 0，ω > 0，0 < φ < π 2 )的图象与 x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为 π 2 ， 且图象上一个最低点为 M(2π 3 ，－2). (1)求 f(x)的解析式； (2)求 f(x)的单调递减区间； (3)当 x∈[π 12， π 2 ]时，求 f(x)的值域． [解] (1)由题意知，A＝2， 1 2T＝ π 2 ，故 T＝π， 所以 ω＝ 2π T ＝2， 因为图象上一个最低点为 M(2π 3 ，－2)， 所以 2×2π 3 ＋φ＝2kπ－ π 2 ，k∈Z， 所以 φ＝2kπ－ 11π 6 ＝2(k－1)π＋ π 6 (k∈Z)， 又 0<φ< π 2 ， 所以 φ＝ π 6 ，所以 f(x)＝2sin(2x＋π 6 ). (2)令 2kπ＋ π 2 ≤2x＋ π 6 ≤2kπ＋ 3π 2 (k∈Z)， 得 kπ＋ π 6 ≤x≤kπ＋ 2π 3 (k∈Z)． 所以 f(x)的单调递减区间为[kπ＋π 6 ，kπ＋2π 3 ]，k∈Z. (3)当 x∈[π 12， π 2 ]时，2x＋ π 6 ∈[π 3 ， 7π 6 ]， 此时－ 1 2≤sin(2x＋π 6 )≤1， 则－1≤f(x)≤2， 即 f(x)的值域为[－1，2]． 16．已知函数 f(x)＝ 3sin ωx·cos ωx＋cos2ωx－ 1 2(ω>0)，其最小正周期为 π 2 . (1)求 f(x)的表达式； (2)将函数 f(x)的图象向右平移 π 8 个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到 原来的 2 倍(纵坐标不变)，得到函数 y＝g(x)的图象，若关于 x 的方程 g(x)＋k＝0 在区间 [0， π 2 ]上有且只有一个实数解，求实数 k 的取值范围． [解] (1)f(x)＝ 3sin ωx·cos ωx＋cos2ωx－ 1 2 ＝ 3 2 sin 2ωx＋ cos 2ωx＋1 2 － 1 2 ＝sin(2ωx＋π 6 )， 又 f(x)的最小正周期 T＝ π 2 ， 所以 T＝ 2π 2ω＝ π ω＝ π 2 ， 所以 ω＝2，所以 f(x)＝sin(4x＋π 6 ). (2)将 f(x)的图象向右平移 π 8 个单位长度后，得到 y＝sin (4x－π 3 )的图象；再将所得图象 上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin(2x－π 3 )的图象，所以 g(x)＝ sin(2x－π 3 )， 当 0≤x≤ π 2 时，－ π 3 ≤2x－ π 3 ≤ 2π 3 ， 易知当－ π 3 ≤2x－ π 3 ≤ π 2 ，即 0≤x≤ 5 12π时，g(x)递增，且 g(x)∈[－ 3 2 ，1]，当 π 2 <2x－ π 3 ≤ 2π 3 ，即 5 12π