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- 2021-06-16 发布
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陕西省西安中学2019-2020学年高二下学期期末考试(理)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合,,则( )
A. B. C. D.
2.已知a为实数,若复数为纯虚数,则=( )
A. B. C. D.
3.已知,,,则、、的大小关系为( )
A. B.
C. D.
4.如图,是可导函数,直线是曲线在处的切线,令,是的导函数,则等于( )
A. B. 0 C. 2 D. 4
5.天干地支纪年法源于中国,包含十天干与十二地支,十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸,十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配,排列起来,天干在前,地支在后,天干由“甲”起,地支由“子”起,比如说第一年为“甲子”,第二年为“乙丑”,第三年为“丙寅”……依此类推,排列到“癸酉”后,天干回到“甲”重新开始,即“甲戌”,“乙亥”,……依此类推。已知一个“甲子”为60年,即天干地支纪年法的一个周期,1949年为“己丑”年,那么到新中国成立80周年时,即2029年为( )
A. 己申年 B. 己酉年 C. 庚酉年 D. 庚申年
6.若函数在区间为增函数,则实数k的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.若,,则( )
A. B.
C. D.
8.已知函数,则的图象大致为( )
A. B. C. D.
9.若实数x,y满足,则的最小值( )
A. 1 B. 3 C. 4 D. 9
10.已知且则的最小值为( )
A. 3 B.5 C. 7 D. 9
11.已知函数,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
12.已知函数与的图像上存关于x轴对称的点,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.欧拉公式把自然对数的底数e,虚数单位i,三角函数和联系在一起,充分体现了数学的和谐美,被誉为“数学的天桥”若复数满足,则= .
14.设,若曲线y=与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积为a2,则a= .
15.直线与曲线相切,则的值为 .
16.已知函数在上的图象是连续不断的一条曲线,并且关于原点对称,其导函数为,当时,有不等式成立,若对,不等式恒成立,则正整数的最大值为_______.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
(Ⅰ)已知不等式的解集为,求的最小值.
(Ⅱ)若正数满足,求证:.
18.(本小题满分12分)
已知椭圆C:,直线l: (t为参数).
(Ⅰ)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程;
(Ⅱ)设A(1,0),若椭圆C上的点P满足到点A的距离与到直线l的距离相等,求点P的坐标.
19.(本小题满分12分)
已知函数.
(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)求函数在区间上的最大值和最小值.
20. (本小题满分12分)
设函数,.
(Ⅰ)当时,求不等式的解集;
(Ⅱ)若不等式在上恒成立,求实数的取值范围.
21. (本小题满分12分)
有一种赛车跑道类似“梨形”曲线,由圆弧,和线段,四部分组成,在极坐标系中,,,,,弧,所在圆的圆心分别是,,曲线是弧,曲线是弧.
(Ⅰ)分别写出,的极坐标方程;
(Ⅱ)点,位于曲线上,且,
求△面积的取值范围.
22. (本小题满分12分)
已知函数.
(Ⅰ)若函数在上恰有两个零点,求实数的取值范围.
(Ⅱ)记函数,设是函数的两个极值点,若,且恒成立,求实数的最大值.
参考答案
一、选择题:
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
D
B
B
C
D
A
B
C
C
B
二、填空题:
13. 14. 15. 16.
三、解答题:
17.解:(Ⅰ)时,,
因为不等式的解集为,
所以方程的两根为,
由韦达定理可得,, ………………2分
因为,所以,
则,
当且仅当时取等号. ………………5分
(Ⅱ)解法一:基本不等式,由为正数且
由基本不等式,有 ………………3分
三式相加可得:
,
即(当且仅当时等号成立) ………5分
解法二:柯西不等式,由为正数且
由柯西不等式,
………3分
所以,即(当且仅当时等号成立) ………5分
18.(Ⅰ)椭圆C的参数方程为 (θ为参数),
直线l的普通方程为x-y+9=0. ………………5分
(Ⅱ)设P(2cos θ,sin θ),
则|AP|==2-cos θ, ………………7分
P到直线l的距离
d==. ………………9分
由|AP|=d,得3sin θ-4cos θ=5,
又sin2θ+cos2θ=1,得sin θ=,cos θ=-.
故. ………………12分
19. 解:(Ⅰ)因为,
所以.又因为,
所以曲线在点处的切线方程为. ………………5分
(Ⅱ)设,则.
当时,,所以在区间上单调递减.………………8分
所以对任意有,即.
所以函数在区间上单调递减.
因此在区间上的最大值为,最小值为.………12分
19. (Ⅰ), ……………2分
当时,,
①当时,原不等式等价于,解得;
……………………3分
②当时,原不等式等价于,
解之,得,; ………………4分
③当时,,而,
不等式解集为空集. ……………………………5分
综上所述,不等式的解集为.……………………6分
(Ⅱ)①当时,恒成立等价于,又,
,故; ……………………………………8分
②当时,恒成立等价于恒成立,即,
只需即可,即 , …………………………11分
综上,. ………………………………………………12分
21. 解:(Ⅰ)由题意,的极坐标方程是, ………………2分
记圆弧所在圆的圆心为,易得极点在圆弧所在圆上,
设为上任意一点,则在△中,
可得, ……………………………………………5分
,的极坐标方程分别为,;
…………………………………………6分
(Ⅱ)不妨设,,其中,
则,, ……………………………………8分
,
, ……………………10分
又,,
△的面积的取值范围是. ………………………………12分
21. 解:(Ⅰ)因为,
∴函数,
令,则, ……2分
令得,,列表得:
1
2
0
0
单调递减
极小值
单调递增
∴当时,的极小值为,又,. ………………………………4分
∵函数在上恰有两个零点,
∴即,解得. …………………………6分
(Ⅱ),∴,
令得,
∵,是的极值点,∴,,∴,
∵,∴解得:, …………………………8分
∴,
.
令,
则,∴上单调递减;
∴当时,, …………………………11分
根据恒成立,可得,
∴的最大值为. …………………………12分