【数学】2020届一轮复习人教B版　三角函数中的化简与求值学案 10页

考查角度1　三角函数中的化简与求值 ‎　　分类透析一　化简与求值 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 例1 (1)若sin α=-,且α为第三象限角,则tan(45°+α)等于(　　).‎ A.7 B. C.1 D.0‎ ‎(2)已知sin θ+cos θ=,则sin θ-cos θ的值为　　　　. ‎ 解析 (1)∵α为第三象限角,sin α=-,‎ ‎∴cos α=-,∴tan α=.‎ ‎∴tan(45°+α)==7.‎ ‎(2)将sin θ+cos θ=两边平方得1+2sin θcos θ=,解得2sin θcos θ=.由于0<θ<,故cos θ>sin θ,因此sin θ-cos θ=-=-=-.‎ 答案 (1)A　(2)-‎ 方法技巧 (1)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号;(2)利用同角三角函数的关系化简过程中要遵循一定的原则,如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.‎ ‎　　分类透析二　两角和与差公式的应用 例2 (1)已知tan=,则tan α=　　　　. ‎ ‎(2)若α∈,sin=-,则cos α=　　　　. ‎ 解析 (1)tan===,‎ 解得tan α=.‎ ‎(2)因为α∈,所以α+∈.‎ 又sin=-,所以cos=,‎ 所以cos α=cos ‎=coscos+sinsin ‎=×+×=.‎ 答案 (1)　(2)‎ 方法技巧 角的变换的方法主要有两种:(1)利用条件角(或特殊角)表示目标角;(2)利用目标角表示条件角.此外,要注意讨论角的范围.‎ ‎　　分类透析三　二倍角公式的应用 例3 (1)若sin=,则cos的值为(　　).‎ A.- B.- C. D.‎ ‎(2)已知α∈,sin α=,则tan 2α=(　　).‎ A. B. C.- D.-‎ 解析 (1)因为+=,所以-α=-,‎ 所以sin=sin=cos+α=,‎ cos=2cos2-1=-1=-.‎ ‎(2)∵α∈,sin α=,∴cos α=-,∴tan α=-.∴tan 2α===-,故选D.‎ 答案 (1)A　(2)D 方法技巧 常见的互余的角:-α与+α;+α与-α;+α与-α;等等.‎ 常见的互补的角:+θ与-θ;+θ与-θ;等等.‎ ‎1.(2018年全国Ⅰ卷,文11改编)已知角θ的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,且终边经过点(a,2a)(a≠0),则cos 2θ=(　　).‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.- B.- C. D.‎ 解析 (法一)依题意得tan θ==2,∴cos 2θ=cos2θ-sin2θ===-.‎ ‎(法二)cos θ=,∴cos 2θ=2cos2θ-1=-1=-.‎ 答案 B ‎2.(2017年全国Ⅲ卷,文4改编)已知α为第二象限角,sin α+cos α=,则cos 2α=　　　　. ‎ 解析 因为α为第二象限角,所以2kπ+<α<2kπ+π,k∈Z.又sin α+cos α=>0,所以2kπ+<α<2kπ+,k∈Z,即4kπ+π<2α<4kπ+,k∈Z.将sin α+cos α=两边平方并整理得sin 2α=-,所以cos 2α=-=-.‎ 答案 -‎ ‎3.(2016年全国Ⅲ卷,理5改编)已知tan θ=3,则的值是(　　).‎ A. B.- C. D.-‎ 解析 因为tan θ=3,所以====-,故选B.‎ 答案 B ‎4.(2016年全国Ⅱ卷,理9改编)已知sin=,则sin=　　　　. ‎ 解析 ∵sin=,∴cos=cos-=sin=.‎ 又0<α<,∴<+α<,∴sin===.‎ 答案 ‎ ‎5.(2018年全国Ⅱ卷,理15改编)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α-β)=　　　　. ‎ 解析 (法一)将两边平方得 ‎①+②得2+2(sin αcos β+cos αsin β)=1,即sin(α+β)=-;‎ ‎①-②得cos 2β-cos 2α+2(sin αcos β-cos αsin β)=1,即-2sin(β+α)sin(β-α)+2sin(α-β)=1.‎ 解得sin(α-β)=1.‎ ‎(法二)⇒‎ sin2β+cos2β=1⇒(1-sin α)2+(-cos α)2=1⇒sin α=.‎ 故sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=sin α(1-sin α)-cos α(-cos α)=sin α+1-2sin2α=1.‎ ‎(法三:特殊值法)设sin α=cos β=,则cos α=-,sin β=,sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=1.‎ 答案 1‎ ‎1.(2018届山东省潍坊市三模)在平面直角坐标系中,若角α的顶点为坐标原点,始边为x轴的非负半轴,终边经过点P,则sin(π-α)=(　　).‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A. B. C.- D.-‎ 解析 由题意得点P,|OP|=1,sin(π-α)=sin α=-.‎ 答案 C ‎2.(2018贵州遵义高三上学期联考二)若sin=-,且α∈,则sin(π-2α)=(　　).‎ A.- B.- C. D.‎ 解析 ∵sin=cos α=-,α∈,∴sin α=.‎ ‎∴sin(π-2α)=sin 2α=2sin αcos α=2××=-.故选A.‎ 答案 A ‎3.(2018届陕西省榆林市模拟)设α∈,若cosα+=,则sin α=(　　).‎ A. B. C. D.‎ 解析 由题意知sin=,所以sin α=sinα+-=sincos-cossin=,故选D.‎ 答案 D ‎4.(2018届滁州模拟)已知cos=2cos(π-α),则tan=(　　).‎ A.-4 B.4 C.- D.‎ 解析 因为cos=2cos(π-α),所以-sin α=-2cos α⇒tan α=2.‎ 所以tan==-,故选C.‎ 答案 C ‎5.(2018届广东深圳市调研)在平面直角坐标系中,直线y=x与圆O:x2+y2=1交于A,B两点,角α,β的顶点是坐标原点,始边是x轴的非负半轴,终边分别在射线OA,OB上,则tan(α+β)的值为(　　).‎ A.-2 B.- C.0 D.2‎ 解析 由题意得tan α=,tan β=tan(π+α)=tan α=,‎ 则tan(α+β)=tan 2α==-2.‎ 答案 A ‎6.(2018届广东潮州模拟)若=-,则sinα+的值为(　　).‎ A. B.- C. D.-‎ 解析 因为==-(sin α+cos α)=-,即-sin=-,‎ 所以sin=.‎ 答案 C ‎7.(2018届耀华中学模拟)设α与β均为锐角,且cos α=,sin(α+β)=,则cos β的值为(　　).‎ A. B.‎ C.或 D.或 解析 ∵α,β是锐角,且cos α=,‎ ‎∴<α<,sin α=.‎ 又sin(α+β)=,∴<α+β<,cos(α+β)=-.‎ ‎∴cos β=cos[(α+β)-α]‎ ‎=cos(α+β)·cos α+sin(α+β)·sin α ‎=-×+×=.故选B.‎ 答案 B ‎8.(2018届江西五校联考)=(　　).‎ A.- B.- C. D.‎ 解析 原式=‎ ‎=‎ ‎===.‎ 答案 D ‎9.(2018吉林省百校联盟高三联考)已知cos=3sin,则tan=(　　).‎ A.4-2 B.2-4‎ C.4-4 D.4-4‎ 解析 由题意可得,-sin α=-3sin,‎ 即sinα+-=3sin,‎ sincos -cossin =3sinα+cos +3cossin ,‎ 整理可得tan=-2tan =-2tan=-2×=2-4.故选B.‎ 答案 B ‎10.(2018河南八市学评高三下学期高三第一次测评)已知α∈,cos α=-,则tan等于(　　).‎ A.7 B. C.- D.-7‎ 解析 因为α∈,cos α=-,所以sin α=-,tan α=,tan===.‎ 答案 B ‎11.(2018届江苏省苏北六市调研)在平面直角坐标系xOy中,已知角α,β的顶点为坐标原点,始边均为x轴的非负半轴,终边分别经过点A(1,2),B(5,1),则tan(α-β)的值为　　　　. ‎ 解析 由题意得tan α=2,tan β=,‎ 所以tan(α-β)==.‎ 答案 ‎ ‎12.(2018届海南二模)已知tan α=3,则sin2α+2sin αcos α=　　　　. ‎ 解析 sin2α+2sin αcos α=‎ ‎===.‎ 答案 ‎ ‎13.(2018届成都一诊)在平面直角坐标系xOy中,已知任意角θ以坐标原点O为顶点,以x轴的非负半轴为始边,若其终边经过点P(x0,y0),且|OP|=r(r>0),定义:sicos θ=,称“sicos θ”为“θ的正余弦函数”.若sicos θ=0,则sin2θ-=　　　　. ‎ 解析 因为sicos θ=0,所以y0=x0,所以角θ的终边在直线y=x上.‎ 所以当θ=kπ+,k∈Z时,sin=sin2kπ+-=cos=.‎ 答案 ‎ ‎14.(山东潍坊市2017届高三期中)已知cos=,α∈,则=　　　　. ‎ 解析 因为α∈,cos=,所以sinα-=-,sin=,所以==2cosα+=2sin=2sin-α=.‎ 答案 ‎ ‎15.(2018江西六校上学期第五次联考)已知<α<π,7sin 2α=2cos α,则sin=　　　　. ‎ 解析 ∵7sin 2α=2cos α,∴14sin αcos α=2cos α.又<α<π,∴sin α=,cos α=-=-.由诱导公式得sin=cos α=-.‎ 答案 -‎ ‎16.(2018届广西玉林市模拟)已知sin+2sin-θ=0,则tan=　　　　. ‎ 解析 (法一)∵sin+2sin=sin2π++θ+2sin=sin-2cos+θ=0,∴tan=2.‎ ‎(法二)sin+2sin=0 ⇒sincos θ+cossin θ+2sincos θ-cossin θ=0⇒sincos θ+cossin θ+2-coscos θ+sinsin θ=0,‎ 等式两边同时除以coscos θ,得tan+tan θ+2=0 ⇒=2⇒tan=2.‎ 答案 2‎