【数学】2019届一轮复习浙江专版第一章集合与常用逻辑用语学案 25页

第一章集合与常用逻辑用语 第一节集__合 ‎1．集合的相关概念 ‎(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．‎ ‎(2)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.‎ ‎(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．‎ ‎(4)五个特定的集合：‎ 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋‎ Z Q R ‎2．集合间的基本关系 ‎　　表示 关系　　‎ 文字语言 符号语言 记法 基本关系 子集 集合A的元素都是集合B的元素 x∈A⇒‎ x∈B A⊆B或 B⊇A 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A A⊆B，且存在x0∈B，x0∉A AB或 BA 相等 集合A，B的元素完全相同 A⊆B，‎ B⊆A A＝B 空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集 任意的x，x∉∅，∅⊆A ‎∅‎ ‎3．集合的基本运算 ‎　 表示 运算 　‎ 文字语言 符号语言 图形语言 记法 交集 属于集合A且属于集合B的元素组成的集合 ‎{x|x∈A，且x∈B}‎ A∩B 并集 属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 ‎{x|x∈A，或x∈B}‎ A∪B 补集 全集U中不属于集合A的元素组成的集合 ‎{x|x∈U，且x∉A}‎ ‎∁UA ‎4．集合问题中的几个基本结论 ‎(1)集合A是其本身的子集，即A⊆A；‎ ‎(2)子集关系的传递性，即A⊆B，B⊆C⇒A⊆C；‎ ‎(3)A∪A＝A∩A＝A，A∪∅＝A，A∩∅＝∅，∁UU＝∅，∁U∅＝U.‎ ‎(4)A∩B＝A⇒A⊆B，A∪B＝B⇒A⊆B.‎ ‎[小题体验]‎ ‎1．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|00}＝{x|x>－2}，因此(∁UA)∩B＝.‎ ‎2．已知集合A＝{x∈N|x2－2x≤0}，则满足A∪B＝{0,1,2}的集合B的个数为________．‎ 解析：由A中的不等式解得0≤x≤2，x∈N，即A＝{0,1,2}．∵A∪B＝{0,1,2}，∴B可能为{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，∅，共8个．‎ 答案：8‎ ‎3．已知集合A＝{0, x＋1，x2－5x}，若－4∈A，则实数x的值为________．‎ 解析：∵－4∈A，∴x＋1＝－4或x2－5x＝－4.‎ ‎∴x＝－5或x＝1或x＝4.‎ 若x＝1，则A＝{0, 2，－4}，满足条件；‎ 若x＝4，则A＝{0, 5，－4}，满足条件；‎ 若x＝－5，则A＝{0，－4,50}，满足条件．‎ 所以x＝1或x＝4或－5.‎ 答案：1或4或－5‎ ‎[题组练透]‎ ‎1．(易错题)已知集合A＝{1,2,4}，则集合B＝{(x，y)|x∈A，y∈A}中元素的个数为(　　)‎ A．3　　　　　　　　　 B．6‎ C．8 D．9‎ 解析：选D　集合B中元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9个．‎ ‎2．已知a>0，b∈R，若＝{a－b,0，a2}，则a2＋b2的值为(　　)‎ A．2 B．4‎ C．6 D．8‎ 解析：选B　由已知得a≠0，则＝0，所以b＝0，于是a2＝4，即a＝2或a＝－2，因为a>0，所以a＝2，故a2＋b2＝22＋02＝4.‎ ‎3．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a等于(　　)‎ A. B. C．0 D．0或 解析：选D　若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．‎ 当a＝0时，x＝，符合题意．‎ 当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝，‎ 所以a的值为0或.‎ ‎4．(易错题)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．‎ 解析：由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－，当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m＝－时，m＋2＝，而2m2＋m＝3，故m＝－.‎ 答案：－ ‎[谨记通法]‎ 与集合中的元素有关问题的求解策略 ‎(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集．如“题组练透”第1题．‎ ‎(2)看这些元素满足什么限制条件．‎ ‎(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．如“题组练透”第4题．‎ ‎[典例引领]‎ ‎1．已知集合M＝{1,2,3,4}，则集合P＝{x|x∈M且2x∉M}的子集有(　　)‎ A．8个　　　　　　　　 B．4个 C．3个 D．2个 解析：选B　由题意，得P＝{3,4}，所以集合P的子集有22＝4个．‎ ‎2．已知集合A＝{2,3}，B＝{x|ax－6＝0}，若B⊆A，则实数a的值为(　　)‎ A．3 B．2‎ C．2或3 D．0或2或3‎ 解析：选D　由题意可得，因为B⊆A，所以B＝{2}，{3}或∅；若B＝{2}，则2∈B ‎，所以2a－6＝0，解得a＝3；若B＝{3}，则3∈B，所以3a－6＝0，解得a＝2；若B＝∅，则a＝0.所以满足条件的实数a的值为0或2或3.‎ ‎[由题悟法]‎ 集合间基本关系的两种判定方法和一个关键 ‎[即时应用]‎ ‎1．集合{a，b，c，d，e}的真子集的个数为(　　)‎ A．32 B．31‎ C．30 D．29‎ 解析：选B　因为集合有5个元素，所以其子集的个数为25＝32个，其真子集的个数为25－1＝31个．‎ ‎2．已知集合A＝{x|－10时，‎ ‎∵A＝{x|－1－1，又因为a<0，所以－10”的充分必要条件；‎ 命题②：对任意有限集A，B，C，d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)．　‎ A．命题①和命题②都成立 B．命题①和命题②都不成立 C．命题①成立，命题②不成立 D．命题①不成立，命题②成立 解析：选A　命题①成立，若A≠B，则card(A∪B)＞card(A∩B)，所以d(A，B)＝card(A∪B)－card(A∩B)＞0.反之可以把上述过程逆推，故“A≠B”是“d(A，B)＞0”的充分必要条件；‎ 命题②成立，由Venn图，知card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)，‎ d(A，C)＝card(A)＋card(C)－2card(A∩C)，‎ d(B，C)＝card(B)＋card(C)－2card(B∩C)，‎ ‎∴d(A，B)＋d(B，C)－d(A，C)‎ ‎＝card(A)＋card(B)－2card(A∩B)＋card(B)＋card(C)‎ ‎－2card(B∩C)－[card(A)＋card(C)－2card(A∩C)]‎ ‎＝2card(B)－2card(A∩B)－2card(B∩C)＋2card(A∩C)‎ ‎＝2card(B)＋2card(A∩C)－2[card(A∩B)＋card(B∩C)]‎ ‎＝2card(B)＋2card(A∩C)－2[card((A∪C)∩B)＋card(A∩B∩C)]‎ ‎＝[2card(B)－2card((A∪C)∩B)]＋[2card(A∩C)－2card(A∩B∩C)]≥0，‎ ‎∴d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)得证．‎ ‎[通法在握]‎ 解集合运算问题4个技巧 看元素构成 集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键 对集合化简 有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决 应用数形 常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图 创新性问题 以集合为依托，对集合的定义、运算、性质加以深入的创新，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决 ‎[演练冲关]‎ ‎1．(2018·台州模拟)若集合A＝{x|－10}，则AB为(　　)‎ A．{x|02}‎ 解析：选D　因为A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y>1}，A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|12}，故选D.‎ 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 ‎1．(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝(　　)‎ A．{1}　　　　　　　　　 B．{1,2}‎ C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}‎ 解析：选C　因为B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－11} D．A∩B＝∅‎ 解析：选A　∵集合A＝{x|x<1}，B＝{x|x<0}，‎ ‎∴A∩B＝{x|x<0}，A∪B＝{x|x<1}，故选A.‎ ‎4．设集合A＝{3，m}，B＝{3m,3}，且A＝B，则实数m的值是________．‎ 解析：由集合A＝{3，m}＝B＝{3m,3}，得3m＝m，则m＝0.‎ 答案：0‎ ‎5．已知A＝{x|x2－3x＋2<0}，B＝{x|14} D．{x|x≤0}‎ 解析：选A　由y＝x，得y>0，即A＝{y|y>0}，由－x2＋6x－8>0，解得24}，所以A∩(∁RB)＝{x|－1≤x<0}．‎ 答案：{x|－1≤x≤4}　{x|－1≤x<0}‎ ‎8．设集合A＝{(x，y)|y≥|x－2|，x≥0}，B＝{(x，y)|y≤－x＋b}，A∩B≠∅.‎ ‎(1)b的取值范围是________；‎ ‎ (2)若(x，y)∈A∩B，且x＋2y的最大值为9，则b的值是________．‎ 解析：由图可知，当y＝－x往右移动到阴影区域时，才满足条件，所以b≥2；要使z＝x＋2y取得最大值，则过点(0，b)，有0＋2b＝9⇒b＝.‎ 答案：(1)[2，＋∞)　(2) ‎9．已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b 的取值范围是________．‎ 解析：集合A＝{x|4≤2x≤16}＝{x|22≤2x≤24}＝{x|2≤x≤4}＝[2,4]，因为A⊆B，所以a≤2，b≥4，所以a－b≤2－4＝－2，即实数a－b的取值范围是(－∞，－2]．‎ 答案：(－∞，－2]‎ ‎10．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．‎ ‎(1)若A∩B＝[0,3]，求实数m的值；‎ ‎(2)若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．‎ 解：由已知得A＝{x|－1≤x≤3}，‎ B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．‎ ‎(1)因为A∩B＝[0,3]，‎ 所以所以m＝2.‎ ‎(2)∁RB＝{x|xm＋2}，‎ 因为A⊆∁RB，‎ 所以m－2>3或m＋2<－1，‎ 即m>5或m<－3.‎ 因此实数m的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)．‎ 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 ‎1．(2018·杭州名校联考)设集合A＝{y|y＝sin x，x∈R}，集合B＝{x|y＝lg x}，则(∁RA)∩B＝(　　)‎ A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．[－1,1]‎ C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)‎ 解析：选C　由题可得，A＝[－1,1]，所以∁RA＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．又B＝(0，＋∞)，所以(∁RA)∩B＝(1，＋∞)．‎ ‎2．对于集合M，N，定义M－N＝{x|x∈M，且x∉N}，M⊕N＝(M－N)∪(N－M)，设A＝，B＝{x|x<0，x∈R}，则A⊕B＝(　　)‎ A. B. C.∪[0，＋∞) D.∪(0，＋∞)‎ 解析：选C　依题意得A－B＝{x|x≥0，x∈R}，B－A＝，故A⊕B＝∪[0，＋∞)．故选C.‎ ‎3．设全集U＝R，且集合A＝{x|x2－2x－8≤0}，集合B＝{x|x2＋2x－3>0}，C＝{x|x2－3ax＋2a2<0}．‎ ‎(1)求A∩B；‎ ‎(2)试求实数a的取值范围，使得C⊆A∪(∁UB)．‎ 解：(1)因为A＝{x|x2－2x－8≤0}＝[－2,4]，‎ B＝{x|x2＋2x－3>0}＝(－∞，－3)∪(1，＋∞)，‎ 所以A∩B＝(1,4]．‎ ‎(2)由题可得，∁UB＝[－3,1]，‎ 所以A∪(∁UB)＝[－3,4]．‎ 因为C＝{x|x2－3ax＋2a2<0}＝{x|(x－a)(x－2a)<0}，‎ 所以当a<0时，C＝(2a，a)，‎ 因为C⊆A∪(∁UB)，‎ 所以此时只需－3≤2a，解得a≥－，所以－≤a<0.‎ 当a＝0时，C＝∅，满足C⊆A∪(∁UB)，所以a＝0.‎ 当a>0时，C＝(a,2a)，‎ 因为C⊆A∪(∁UB)，‎ 所以此时只需满足2a≤4，解得a≤2，所以00，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域上是减函数 B．命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题 C．“m＝3”是“直线(m＋3)x＋my－2＝0与mx－6y＋5＝0垂直”的充要条件 D．命题“若cos x＝cos y，则x＝y”的逆否命题 答案：B ‎2．设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的______条件．‎ 答案：充要 ‎3．设a，b是向量，则命题“若a＝－b，则|a|＝| b|”的逆否命题为：________.‎ 答案：若|a|≠|b|，则a≠－b ‎1．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．‎ ‎2．易忽视A是B的充分不必要条件(A⇒B且BA)与A的充分不必要条件是B(B⇒A且AB)两者的不同．‎ ‎[小题纠偏]‎ ‎1．(2018·杭州模拟)“x<0”是“ln(x＋1)<0”的(　　)‎ A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B ‎2．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否命题为：________________.‎ 解析：原命题的条件：‎ 在△ABC中，∠C＝90°，‎ 结论：∠A，∠B都是锐角．‎ 否命题是否定条件和结论．‎ 即“在△ABC中，若∠C≠90°，‎ 则∠A，∠B不都是锐角”．‎ 答案：在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角 ‎[题组练透]‎ ‎1．命题“若a2>b2，则a>b”的否命题是(　　)‎ A．若a2>b2，则a≤b　　 B．若a2≤b2，则a≤b C．若a≤b，则a2>b2 D．若a≤b，则a2≤b2‎ 解析：选B　根据命题的四种形式可知，命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”．该题中，p为a2>b2，q为a>b，故綈p为a2≤b2，綈q为a≤b.所以原命题的否命题为：若a2≤b2，则a≤b.‎ ‎2．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为(　　)‎ A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为真命题 B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题 C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题 D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题 解析：选C　根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝4或－1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．‎ ‎3．给出以下四个命题：‎ ‎①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；‎ ‎②(易错题)“全等三角形的面积相等”的否命题；‎ ‎③“若q≤－1，则x2＋x＋q＝0有实根”的逆否命题；‎ ‎④若ab是正整数，则a，b都是正整数．‎ 其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)‎ 解析：①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然①为真命题；②不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab是正整数，但a，b不一定都是正整数，例如a＝－1，b＝－3，故④为假命题．‎ 答案：①③‎ ‎[谨记通法]‎ ‎1．写一个命题的其他三种命题时的2个注意点 ‎(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；‎ ‎(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．如“题组练透”第3题②易忽视．‎ ‎2．命题真假的2种判断方法 ‎(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．‎ ‎(2)利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断．‎ ‎[典例引领]‎ ‎1．(2018·绍兴模拟)已知a，b为实数，则“a＝0”是“f(x)＝x2＋a|x|＋b为偶函数”的(　　)‎ A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A　由题可得，因为f(－x)＝(－x)2＋a|－x|＋b＝x2＋a|x|＋b＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，此时a∈R.所以“a＝0”是“f(x)＝x2＋a|x|＋b为偶函数”的充分不必要条件．‎ ‎2．设a∈R，则“a＝4”是“直线l1：ax＋8y－8＝0与直线l2：2x＋ay－a＝0平行”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选D　∵当a≠0时，＝＝⇒直线l1与直线l2重合，∴无论a取何值，直线l1与直线l2均不可能平行，当a＝4时，l1与l2重合．故选D.‎ ‎[由题悟法]‎ 充要条件的3种判断方法 ‎(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；‎ ‎(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；‎ ‎(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某种条件．‎ ‎[即时应用]‎ ‎1．设a>0，b>0，则“a2＋b2≥1”是“a＋b≥ab＋1”成立的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B　因为a>0，b>0，所以a＋b>0，ab＋1>0，故不等式a＋b≥ab＋1成立的充要条件是(ab＋1)2≤(a＋b)2，即a2＋b2≥a2b2＋1.‎ 显然，若a2＋b2≥a2b2＋1，则必有a2＋b2≥1，反之则不成立，所以a2＋b2≥1是a2＋b2≥a2b2＋1成立的必要不充分条件，即a2＋b2≥1是a＋b≥ab＋1成立的必要不充分条件．‎ ‎2．已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A　因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1，或y≠－1，‎ 所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1，且y＝－1，‎ 因为綈q⇒綈p但綈p 綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．‎ ‎3．(2018·宁波模拟)已知四边形ABCD为梯形，AB∥CD，l为空间一直线，则“l垂直于两腰AD，BC”是“l垂直于两底AB，DC”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A　因为四边形ABCD是梯形，且AB∥CD，所以腰AD，BC是交线，由直线与平面垂直的判定定理可知，当l垂直于两腰AD，BC时，l垂直于ABCD所在平面，所以l垂直于两底AB，CD，所以是充分条件；当l垂直于两底AB，CD，由于AB∥CD，所以l不一定垂直于ABCD所在平面，所以l不一定垂直于两腰AD，BC，所以不是必要条件．所以是充分不必要条件．‎ ‎[典例引领]‎ 已知关于x的实系数二次方程x2＋ax＋b＝0有两个实数根α，β.证明：|α|＜2且|β|＜2是2|a|＜4＋b且|b|＜4的充要条件．‎ 证明：(1)充分性：由根与系数的关系，得|b|＝|α·β|＝|α|·|β|＜2×2＝4.设f(x)＝x2＋ax＋b，则f(x)的图象是开口向上的抛物线．又|a|＜2，|β|＜2，所以f(±2)＞0.即有⇒4＋b>2a>－(4＋b)，又|b|<4⇒4＋b>0⇒2|a|<4＋b.‎ ‎(2)必要性：因为2|a|<4＋b且|b|<4⇒f(±2)>0，函数f(x)的图象是开口向上的抛物线．所以方程f(x)＝0的两根α，β同在(－2,2)内或无实根．因为α，β是方程f(x)＝0的实根，所以α，β同在(－2,2)内，且|α|＜2且|β|＜2.‎ ‎[由题悟法]‎ 根据充要条件求参数的值或取值范围的关键点 ‎(1)先合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围．‎ ‎(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．‎ ‎[即时应用]‎ ‎1．(2018·杭州名校模拟)已知条件p：|x＋1|>2，条件q：x>a，且綈p是綈q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．[1，＋∞)　　　　　　　 B．(－∞，1]‎ C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3]‎ 解析：选A　由|x＋1|>2，可得x>1或x<－3，所以綈p：－3≤x≤1；又綈q：x≤a.因为綈p是綈q的充分不必要条件，所以a≥1.‎ ‎2．已知“命题p：(x－m)2＞3(x－m)”是“命题q：x2＋3x－4＜0”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________________．‎ 解析：命题p：x＞m＋3或x＜m，‎ 命题q：－4＜x＜1.‎ 因为p是q成立的必要不充分条件，‎ 所以m＋3≤－4或m≥1，‎ 故m≤－7或m≥1.‎ 答案：(－∞，－7]∪[1，＋∞)‎ 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 ‎1．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的(　　)‎ A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B　若(2x－1)x＝0，则x＝或x＝0，即不一定是x＝0；若x＝0，则一定能推出(2x－1)x＝0.故“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的必要不充分条件．‎ ‎2．设a，b∈R，则“a3>b3且ab<0”是“>”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A　由a3>b3，知a>b，由ab<0，知a>0>b，所以此时有>，故充分性成立；‎ 当>时，若a，b同号，则ab，所以必要性不成立．故选A.‎ ‎3．对于直线m，n和平面α，β，m⊥α成立的一个充分条件是(　　)‎ A．m⊥n，n∥α B．m∥β，β⊥α C．m⊥β，n⊥β，n⊥α D．m⊥n，n⊥β，β⊥α 解析：选C　对于选项C，因为m⊥β，n⊥β，所以m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，故选C.‎ ‎4．命题p：“若x2<1，则x<1”的逆命题为q，则p与q的真假性为(　　)‎ A．p真q真 B．p真q假 C．p假q真 D．p假q假 解析：选B　q：若x<1，则x2<1.‎ ‎∵p：x2<1，则－15是x>a的充分条件，则实数a的取值范围为(　　)‎ A．a>5 B．a≥5‎ C．a<5 D．a≤5‎ 解析：选D　由x>5是x>a的充分条件知，{x|x>5}⊆{x|x>a}，∴a≤5，故选D.‎ 二保高考，全练题型做到高考达标 ‎1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是(　　)‎ A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”‎ B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”‎ C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”‎ D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”‎ 解析：选B　依题意得，原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”．‎ ‎2．(2018·舟山模拟)已知α，β∈[－π，π]，则“|α|>|β|”是“|α|－|β|>cos α－cos β ”的(　　)‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A　设f(x)＝|x|－cos x，x∈[－π，π]，则函数f(x)为偶函数．因为|α|>|β|，不妨考虑x∈[0，π]，f(x)＝x－cos x．因为f′(x)＝1＋sin x>0，所以函数f(x)在[0，π]上单调递增，所以当α>β时，α－cos α>β－cos β，即|α|－|β|>cos α－cos β，所以是充分条件；当|α|－|β|>cos α－cos β，即当α，β∈[0，π]时，α－β>cos α－cos β，所以α－cos α>β－cos β.因为函数f(x)在[0，π]上单调递增，所以α>β，由函数f(x)是偶函数可知|α|>|β|，所以是必要条件．故是充要条件．‎ ‎3．有下列命题：‎ ‎①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的否命题；‎ ‎②“矩形的对角线相等”的否命题；‎ ‎③“若m≥1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命题；‎ ‎④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．‎ 其中正确的是(　　)‎ A．①②③ B．②③④‎ C．①③④ D．①④‎ 解析：选C　①的逆命题为“若x>0且y>0，则x＋y>0”为真，故否命题为真；‎ ‎②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题；‎ ‎③的逆命题为，若mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集为R，则m≥1.‎ ‎∵当m＝0时，解集不是R，‎ ‎∴应有 即m>1.‎ ‎∴③是真命题；‎ ‎④原命题为真，逆否命题也为真．‎ ‎4．(2018·浙江五校联考)已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0，其中a∈R，则“a＝－3”是“l1⊥l2”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A　由题可得，当l1⊥l2时，由a＋(a＋2)a＝0，解得a＝0或a＝－3，可知“a＝－3”是“l1⊥l2”的充分不必要条件．‎ ‎5．命题“对任意x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是(　　)‎ A．a≥4 B．a>4‎ C．a≥1 D．a>1‎ 解析：选B　要使“对任意x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题，只需要a≥4，∴a>4是命题为真的充分不必要条件．‎ ‎6．命题“若a>b，则ac2>bc2(a，b∈R)，”否命题的真假性为________．‎ 解析：命题的否命题为“若a≤b，则ac2≤bc2”．‎ 若c＝0，结论成立．‎ 若c≠0，不等式ac2≤bc2也成立．‎ 故否命题为真命题．‎ 答案：真 ‎7．下列命题：‎ ‎①“a>b”是“a2>b2”的必要条件；②“|a|>|b|”是“a2>b2”的充要条件；③“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要条件．‎ 其中是真命题的是________(填序号)．‎ 解析：①a>b a2>b2，且a2>b2 a>b，故①不正确；‎ ‎②a2>b2⇔|a|>|b|，故②正确；‎ ‎③a>b⇒a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c⇒a>b，故③正确．‎ 答案：②③‎ ‎8．(2018·温州模拟)已知数列{an}，“an＋1>|an|(n＝1,2，3，…)”是“数列{an}为递增数列”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)‎ 解析：因为|an|≥an，所以an＋1>an，可知数列{an}是递增数列，所以是充分条件；当数列{an}是递增数列时，取－4，－2，－1,0，…，则该数列为递增数列，但不一定满足an＋1>|an|，所以不是必要条件．所以是充分不必要条件．‎ 答案：充分不必要 ‎9．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：‎ ‎①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；‎ ‎②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；‎ ‎③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；‎ ‎④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．‎ 上面命题中，真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号) ‎ 解析：①α内两条相交直线分别平行于平面β，则两条相交直线确定的平面α平行于平面β，正确．②平面α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l平行于α，正确．‎ ‎③如图，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l，但不一定有α⊥β，错误．④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条相交直线垂直，而该命题缺少“相交”两字，故为假命题．综上所述，真命题的序号为①②.‎ 答案：①②‎ ‎10．已知集合A＝，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．‎ 解：y＝x2－x＋1＝2＋，‎ ‎∵x∈，‎ ‎∴≤y≤2，‎ ‎∴A＝.‎ 由x＋m2≥1，得x≥1－m2，‎ ‎∴B＝{x|x≥1－m2}．‎ ‎∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，‎ ‎∴A⊆B，∴1－m2≤，‎ 解得m≥或m≤－，‎ 故实数m的取值范围是∪.‎ 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 ‎1．(2018·吴越联盟)若“x＝1”是“(x－a)(x－a－2)≤0”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．[－1，＋∞) B．(－1,1)‎ C．[－1,1] D．(－∞，1]‎ 解析：选C　由(x－a)(x－a－2)≤0，得a≤x≤a＋2.要使条件成立，则解得－1≤a≤1.‎ ‎2．设n∈N*，关于x的一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.‎ 解析：因为方程有根，所以Δ＝16－4n≥0，解得n≤4，因为n∈N*，所以n＝1,2,3,4.当n＝4时，方程的根为2，满足条件；当n＝3时，方程的根为1,3，满足条件；当n＝1,2时，方程的根不是整数，所以不满足条件．所以使得方程有整数根的充要条件是n＝3,4.‎ 答案：3,4‎ ‎3．已知全集U＝R，非空集合A＝，B＝{x|(x－a)(x－a2－2)<0，命题p：x∈A，命题q：x∈B.‎ ‎(1)当a＝12时，若p真q假，求x的取值范围；‎ ‎(2)若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)当a＝12时，A＝{x|20”是“S4＋S6>2S5”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C　因为{an}为等差数列，所以S4＋S6＝4a1＋6d＋6a1＋15d＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d，S4＋S6－2S5＝d，所以d>0⇔S4＋S6>2S5.‎ ‎2．(2015·浙江高考)设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选D　特值法：当a＝10，b＝－1时，a＋b＞0，ab＜0，故a＋b＞0⇒/ ab＞0；‎ 当a＝－2，b＝－1时，ab＞0，但a＋b＜0，‎ 所以ab＞0⇒/ a＋b＞0.‎ 故“a＋b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件．‎ ‎3．(2017·天津高考)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B　由2－x≥0，得x≤2，‎ 由|x－1|≤1，得0≤x≤2.‎ ‎∵0≤x≤2⇒x≤2，x≤2⇒/ 0≤x≤2，‎ 故“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件．‎ ‎4．(2017·天津高考)设θ∈R，则“<”是“sin θ<”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A　法一：由<，得0<θ<，‎ 故sin θ<.由sin θ<，得－＋2kπ<θ<＋2kπ，k∈Z，推不出“<”．‎ 故“<”是“sin θ<”的充分而不必要条件．‎ 法二：<⇒0<θ<⇒sin θ<，而当sin θ<时，取θ＝－，＝>.‎ 故“<”是“sin θ<”的充分而不必要条件．‎ ‎5．(2017·北京高考)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A　∵m＝λn，∴m·n＝λn·n＝λ|n|2.‎ ‎∴当λ<0，n≠0时，m·n<0.‎ 反之，由m·n＝|m||n|cos〈m，n〉<0⇔cos〈m，n〉<0⇔〈m，n〉∈，‎ 当〈m，n〉∈时，m，n不共线．‎ 故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件．‎ ‎6．(2016·山东高考)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A　由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.‎ 命题点三　四种命题及其关系 命题指数：☆☆☆‎ 难度：低 ‎ 题型：选择题 ‎1.(2015·山东高考)设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是(　　)‎ A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0‎ B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0‎ C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0‎ D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0‎ 解析：选D　根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．‎ ‎2．(2014·陕西高考)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　)‎ A．真，假，真 B．假，假，真 C．真，真，假 D．假，假，假 解析：选B　因为原命题为真，所以它的逆否命题为真；若|z1|＝|z2|，当z1＝1，z2＝－1时，这两个复数不是共轭复数，所以原命题的逆命题是假的，故否命题也是假的．故选B.‎