【数学】2020届一轮复习人教B版利用数轴解决集合运算问题学案 9页

微专题03 利用数轴解决集合运算问题 ‎ 数形结合是解决高中数学问题的常用手段，其优点在于通过图形能够直观的观察到某些结果，与代数的精确性结合，能够快速解决一些较麻烦的问题。在集合的运算中，涉及到单变量的取值范围，数轴就是一个非常好用的工具，本文将以一些题目为例，来介绍如何使用数轴快速的进行集合的交并运算。‎ 一、基础知识：‎ ‎1、集合运算在数轴中的体现：‎ ‎ 在数轴上表示为表示区域的公共部分 ‎ 在数轴上表示为表示区域的总和 ‎ 在数轴上表示为中除去剩下的部分（要注意边界值能否取到）‎ ‎2、问题处理时的方法与技巧：‎ ‎（1）涉及到单变量的范围问题，均可考虑利用数轴来进行数形结合，尤其是对于含有参数的问题时，由于数轴左边小于右边，所以能够以此建立含参数的不等关系 ‎（2）在同一数轴上作多个集合表示的区间时，可用不同颜色或不同高度来区分各个集合的区域。‎ ‎（3）涉及到多个集合交并运算时，数轴也是得力的工具，从图上可清楚的看出公共部分和集合包含区域。交集即为公共部分，而并集为覆盖的所有区域 ‎（4）在解决含参数问题时，作图可先从常系数的集合（或表达式）入手，然后根据条件放置参数即可 ‎3、作图时要注意的问题：‎ ‎（1）在数轴上作图时，若边界点不能取到，则用空心点表示；若边界点能够取到，则用实心点进行表示，这些细节要在数轴上体现出来以便于观察 ‎（2）处理含参数的问题时，要检验参数与边界点重合时是否符合题意。‎ 二、例题精析：‎ 例1：（2009 安徽）集合，则=_______‎ 思路：先解出的解集，，作出数轴，则即为它们的公共部分。‎ 答案： ‎ 例2：设集合，则的取值范围是____‎ 思路：可解出 ，而集合含有参数，作出数轴，先从容易作图的集合做起，即画出的范围，‎ 由于，而数轴上有一部分区域没有被包含，那说明集合负责补空缺的部分，由于参数决定其端点位置，所以画出图像，有图像观察可得只需要： 即可，解得： ‎ 答案： ‎ 小炼有话说：（1）含有参数的问题时，可考虑参数所起到的作用，在本题中参数决定区间的端点 ‎（2）含有参数的问题作图时可先考虑做出常系数集合的图像，再按要求放置含参的集合 ‎（3）注意考虑端点处是否可以重合，通常采取验证的方法，本题若或，则端点处既不在里，也不在里，不符题意。‎ 例3：对于任意的，满足恒成立的所有实数构成集合，使不等式的解集是空集的所有实数构成集合，则______‎ 思路：先利用已知条件求出，再利用数轴画出的范围即可 解：由 ① 恒成立，可得：‎ 当即时，①变为：恒成立 当时，若要①恒成立，则 ‎ ‎ 解集为空等价于：‎ 设 ‎ 即 小炼有话说：本题更多考察的地方在于集合的求解。集合要注意的情况，而不能默认为二次不等式，集合涉及解集与不等式恒成立问题之间的转化。在集合进行交并运算时，数轴将成为一个非常直观的工具，作图时要注意端点值的开闭。‎ 例4：已知集合，若，则实数的取值范围为 ‎ 思路：先解出的解集，意味着有公共部分，利用数轴可标注集合两端点的位置，进而求出的范围 解：‎ 当时， ‎ 当时，恒成立 当时， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 且 例5：已知，当“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是__________‎ 思路：为两个不等式的解集，因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集。考虑解出两个不等式的解集，然后利用数轴求出的范围即可 解：‎ ‎ ‎ 由是的真子集可得： ‎ 答案：‎ 小炼有话说：1、熟悉充分必要条件与集合的联系：是的充分不必要条件对应集合是对应集合的真子集 ‎2、处理含参问题时，秉承“先常数再参数”的顺序分析，往往可利用所得条件对参数范围加以限制，减少分类讨论的情况。例如在本题中，若先处理，则解不等式面临着分类讨论的问题。但先处理之后，结合数轴会发现只有图中一种情况符合，减掉了无谓的讨论。‎ 例6：已知函数，对，使得成立，则实数的取值范围是__________‎ 思路：任取，则取到值域中的每一个元素，依题意，存在使得，意味着值域中的每一个元素都在的值域中，即的值域为的值域的子集，分别求出两个函数值域，再利用子集关系求出的范围 解：时， 时，‎ ‎ ‎ 对于，分三种情况讨论 当时， ‎ 当时，，符合题意 当时， ‎ 综上所述：‎ 答案：‎ 例7：已知集合，若，则________‎ 思路：本题主要考察如何根据所给条件，在数轴上标好集合的范围。从而确定出的值，如图所示：可得，所以 答案： ‎ 例8：设，‎ ‎，求 思路：集合的不等式解集为 ，集合为一元二次不等式的解集，由题意可知，设的两根为 ，则 ，在数轴上作图并分析后两个条件：说明将集合覆盖数轴的漏洞堵上了，说明与的公共部分仅有，左侧没有公共部分，从而的位置只能如此（如图），可得：，由韦达定理可得： ‎ 例9：在上定义运算，若关于的不等式的解集是的子集，则实数a的取值范围是（ ）‎ A． B． C．或 D．‎ 思路：首先将变为传统不等式：，不等式含有参数，考虑根据条件对进行分类讨论。设解集为，因为，所以首先解集要分空集与非空两种情况：当时，则；当时，根据的取值分类讨论计算出解集后再根据数轴求出的范围即可 解：‎ 设解集为 ‎ 当时，则 当时：‎ 若时，‎ ‎ ‎ 若时，‎ ‎ ‎ 综上所述：‎ 答案：D ‎ 例10：已知，若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. 解：所解不等式为，可以考虑两边平方后去掉绝对值，因式分解可得：，由题意中含3个整数解可得：解集应该为封闭区间，所以的系数均大于零，即，另一方面，解集区间内有3个整数，从端点作为突破口分析，两个端点为，因为，所以，进而结合数轴分析可得三个整数解为，所以另一个端点的取值范围为①，而②，所以只要①②有交集，则可找到符合条件的，结合数轴可得：，求出 答案：‎ 三、近年模拟题题目精选：‎ ‎1、（2018四川高三第一次联考）已知集合，若，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2、（2014吉林九校二模，1）已知 ，则 ‎ （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3、（重庆八中半月考，1）设全集为，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4、已知函数的定义域为，的定义域为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5、（浙江） 已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6、（山东）设集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7、设集合，若，则实数的取值范围是_________‎ ‎8、已知全集，集合，那么集合（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9、若关于的不等式的解集中整数恰好有3个，则实数的取值范围是_______.‎ 习题答案：‎ ‎1、答案：B 解析：若，则符合题意，若，则符合题意，当时，解得：，由可知：，综上可得：‎ ‎2、答案：D 解析：，在数轴上标出的区域即可得出 ‎3、答案：C 解析：分别解出中的不等式，，所以 ‎4、答案：A 解析：的定义域：，的定义域：，所以，‎ ‎5、答案：C 解析：解出中不等式：或，所以，则 ‎6、答案：D 解析：集合为解不等式：，集合为函数的值域，由可知，所以 ‎7、答案：‎ 解析：集合为，由可知；当时，可得，当时，结合数轴可得：即，综上可得：的取值范围是 ‎8、答案：C 解析：或 ‎ ‎ ‎ ‎9、答案：‎ 解析：因为不等式等价于，其中中的，且有，故，不等式的解集为，则一定有1，2，3为所求的整数解集。所以，解得的范围为