【数学】2020届一轮复习（文）江苏专版板块命题点专练(七)平面向量 5页

板块命题点专练(七) 平面向量 命题点一　平面向量基本定理 ‎1．(2018·全国卷Ⅰ改编)在△ABC中，＝a，＝b，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝________.(用a，b表示)‎ 解析：由题知＝＋＝－＋ ‎＝－＋＝－ ‎＝a－b.‎ 答案：a－b ‎2．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则 λ＝________.‎ 解析：由题易得2a＋b＝(4,2)，因为c∥(2a＋b)，‎ 所以4λ＝2，解得λ＝.‎ 答案： ‎3．(2017·江苏高考)如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1,1，，与的夹角为α，且tan α＝7，与的夹角为45°.若＝m＋n(m，n∈R)，则m＋n＝________.‎ 解析：如图，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(1，0)，由tan α＝7，α∈，‎ 得sin α＝，cos α＝，‎ 设C(xC，yC)，B(xB，yB)，‎ 则xC＝||cos α＝×＝，‎ yC＝||sin α＝×＝，即C.‎ 又cos(α＋45°)＝×－×＝－，‎ sin(α＋45°)＝×＋×＝，‎ 则xB＝||cos(α＋45°)＝－，‎ yB＝||sin(α＋45°)＝，即B.‎ 由＝m＋n，可得 解得所以m＋n＝＋＝3.‎ 答案：3‎ ‎4．(2015·江苏高考)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．‎ 解析：因为ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，‎ 所以所以所以m－n＝2－5＝－3.‎ 答案：－3‎ 命题点二　平面向量的数量积 ‎1.(2016·江苏高考)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·＝4，·＝－1，则·的值是________．‎ 解析：由题意，得·＝(＋)·(＋)‎ ‎＝(＋)·(－＋)＝2－2‎ ‎＝||2－||2＝－1， ①‎ ·＝(＋)·(＋)‎ ‎＝(＋3)·(－＋3)‎ ‎＝92－2‎ ‎＝9||2－||2＝4. ②‎ 由①②得||2＝，||2＝.‎ 所以·＝(＋)·(＋)‎ ‎＝(＋2)·(－＋2)＝42－2‎ ‎＝4||2－||2＝4×－＝.‎ 答案： ‎2．(2014·江苏高考)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．‎ 解析：因为＝＋＝＋，‎ ＝＋＝－，‎ 所以·＝·＝‎ ‎||2－||2－·＝2，将AB＝8，AD＝5代入解得·＝22.‎ 答案：22‎ ‎3．(2018·全国卷Ⅱ改编)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝________.‎ 解析：a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b.‎ ‎∵|a|＝1，a·b＝－1，‎ ‎∴原式＝2×12＋1＝3.‎ 答案：3‎ ‎4．(2018·北京高考)设向量a＝(1,0)，b＝(－1，m)．若a⊥(ma－b)，则m＝________.‎ 解析：因为a＝(1,0)，b＝(－1，m)，‎ 所以ma－b＝(m＋1，－m)．‎ 由a⊥(ma－b)，得a·(ma－b)＝0，‎ 即m＋1＝0，所以m＝－1.‎ 答案：－1‎ ‎5.(2018·天津高考改编)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则·的最小值为________．‎ 解析：如图，以D为坐标原点建立平面直角坐标系，连接AC.‎ 由题意知∠CAD＝∠CAB＝60°，∠ACD＝∠ACB＝30°，‎ 则D(0,0)，A(1,0)，B，C(0，)．设E(0，y)(0≤y≤)，‎ 则＝(－1，y)，＝，‎ ‎∴·＝＋y2－y＝2＋，‎ ‎∴当y＝时，·有最小值.‎ 答案： ‎6．(2017·北京高考)已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2,0)，O为原点，则·的最大值为________．‎ 解析：法一：由题意知，＝(2,0)，令P(cos α，sin α)，则＝(cos α＋2，sin α)，·＝(2,0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6，当且仅当cos α＝1，即α＝0，P(1,0)时“＝”成立，故·的最大值为6.‎ 法二：由题意知，＝(2,0)，令P(x，y)，－1≤x≤1，则·＝(2,0)·(x＋2，y)＝2x＋4≤6，当且仅当x＝1，P(1,0)时“＝”成立，故·的最大值为6.‎ 答案：6‎ ‎7．(2016·全国卷Ⅰ)设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.‎ 解析：因为|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2，‎ 所以a·b＝0.‎ 又a＝(m,1)，b＝(1,2)，所以m＋2＝0，所以m＝－2.‎ 答案：－2‎ ‎8．(2017·江苏高考)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]．‎ ‎(1)若a∥b，求x的值；‎ ‎(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．‎ 解：(1)因为a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，a∥b，‎ 所以－cos x＝3sin x.‎ 则tan x＝－.‎ 又x∈[0，π]，所以x＝.‎ ‎(2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)＝3cos x－sin x＝2cos.‎ 因为x∈[0，π]，所以x＋∈，‎ 从而－1≤cos≤.‎ 于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取到最大值3；‎ 当x＋＝π，即x＝时，f(x)取到最小值－2.‎