【数学】上海市浦东新区进才中学2021届高三上学期12月月考试题 9页

上海市浦东新区进才中学 2021 届高三上学期 12 月月考 数学试题 一、填空题 1．若集合 { 1 2}A x x    Z∣ ，  2 2 0B x x x  ∣ ，则 A B  __________. 2．若 x 、 y 满足约束条件 0 2 6 2 x y x y x y         ，则 3x y 的最小值为________. 3．已知向量 (2,1), (2 , 1)a b k k    ，且 a b  ，求实数 k  _______. 4．直线 1l ：( 3) 3 0a x y    与直线 2 :5 ( 3) 4 0l x a y    ，若 1l 的方向向量是 2l 的法 向量，则实数 a  ______. 5． 5 2 12x x     的展开式中，含 4x 项的系数为______. 6．通过手机验证码登录共享单车 APP，验证码由四位数字随机组成，如某人收到的验证码  1 2 3 4, , ,a a a a 满足 1 2 3 4a a a a   ，则称该验证码为递增型验证码，某人收到一个验证码， 那么是首位为 2 的递增型验证码的概率为______. 7．已知等比数列 na 满足 2 32, 1a a  ，则  1 2 2 3 1lim n nn a a a a a a      ______. 8．设函数 ( ) sin 3f x x      ，其中 0  ，若函数 ( )f x 在[0,2 ] 上恰有 2 个零点，则  的取值范围为_____. 9．欧拉公式 ie cos isin    ，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和 指 数 函 数 的 联 系 ， 被 誉 为 “ 数 学 中 的 天 桥 ” ， 已 知 数 列  na 的 通 项 公 式 为 cos sin ( 1,2,3, )2020 2020n n na i n     ， 则 数 列  na 前 2020 项 的 乘 积 为 ___________. 10．已知函数  1( ) ( 1)2 x xf x a a a   的反函数为 1( )y f x ，当 [ 3,5]x  时，函数 1( ) ( 1) 1F x f x   的最大值为 M ，最小值为 m ，则 M m  ____________. 11．已知实数  同时满足：（1） (1 )AD AB AC     ，其中 D 是 ABC 边 BC 延长线 上一点：（2）关于 x 的方程 22sin ( 1)sin 1 0x x    在[0,2 ) 上恰有两解，则实数  的 取值范围是___________. 12．已知 na 的首项为 4，且满足  * 12( 1) 0n nn a na n N    ，则下列命题： ① na n     是等差数列；② na 是递增数列；③设函数 2 1 1( ) 2 x n n af x x a          ，则存在某 个区间  *( , 1)n n n N ，使得 ( )f x 在 ( , 1)n n  上有唯一零点；则其中正确的命题序号 为__________. 二、选择题 13．直线3 4 9 0x y   与圆 2 2 4x y  的位置关系是（ ） A．相交且过圆心 B．相交且不过圆心 C．相以 D．相离 14．已知函数 ( )f x 的图像是由函数 ( ) cosg x x 的图像经过如下变换得到：先将 ( )g x 的图 像向右平移 3  个单位长度，再将其图像上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变， 则函数 ( )f x 的图像的一条对称轴方程为（ ） A． 6x  B． 5 12x  C． 3x  D． 7 12x  15．已知数列 na 、 nb 、 nc ，以下两个命题：①如果 n na b 、 n nb c 、 n na c 都是递增数列，则 na 、 nb 、 nc 都是递增数列；②如果 n na b 、 n nb c 、 n na c 是等差数列，则 na 、 nb 、 nc 都是等差数列；下列判断正确的是（ ） A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 16．已知单位向量 a 、b  ，且 0a b  ，若 [0,1]t  ，则 5| ( ) | (1 )( )12t b a a b t a b          的最小值为（ ） A． 193 12 B． 13 12 C． 2 D．1 三．解答题 17．如图所示，在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 12, 2, 4AB BC CC   ，M 为棱 1CC 上一点． （1）若 1 1C M  ，求异面直线 1A M 和 1 1C D 所成的角； （2）若 1 2C M  ，求点 B 到平面 1 1A B M 的距离． 18．在 ABC 中，角 A 、 B 、C 的对边分别为 a、b 、 c ． （1）若 23 , 2, cos 3a c b B   ，求 c 的值 （2）若 sin cos 2 A B a b  ，求sin 2B     的值． 19．某油库的设计最大容量为 30 万吨，年初储量为 10 万吨，从年初起每月购进石油 m 万 吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油 1 万吨，区域外前 x 个月的需求量 y （万吨）与 x 的函数关系为  *2 0, 1 16,y px p x x N     ，并且前 4 个月， 区域外的需求量为 20 万吨． （1）试写出第 x 个月油库满足区域内外需求后，油库内储油量 M （万吨）与 x 的函数关系 式： （2）要使 16 个月内油库总能满足区域内和区域外的需求，且油库的石油剩余量不超过油库 的最大容量，试确定 m 的取值范围． 20．已知数列 na 、 nb 的各项均为正数，且对任意 *n  N ，都有 na 、 nb 、 1na  成等差 数列， nb 、 1na  、 1nb  成等比数列，且 1 210, 15a a  ． （1）求证：数列 nb 是等差数列； （2）求数列 na 、 nb 的通项公式； （3）设 1 2 1 1 1 n n S a a a     ，如果对任意 *n  N ，不等式 2 2 n n n ba S a    恒成立，求 实数 a的取值范围． 21．设对集合 D 上的任意两相异实数 1x 、 2x ，若        1 2 1 2f x f x g x g x   恒成立， 则称 ( )f x 在 D 上优于 ( )g x ，若        1 2 1 2f x f x g x g x   恒成立，则称 ( )f x 在 D 上严格优于 ( )g x ． （1）设 ( )f x 在 R 上优于 ( )g x ，且 ( )y f x 是偶函数，判断并证明 ( )y g x 的奇偶性； （2）若 ( )f x 在 R 上严格优于 ( )g x ， ( ) ( ) ( )h x f x g x  ，若 ( )y f x 是 R 上的增函数， 求证： ( ) ( ) ( )h x f x g x  在 R 上也是增函数； （3）设函数 ( ) log 8 , ( ) log ( ) log ( )a a af x x g x a x a x     ，若 0 1a  ，是否存在 实数 (0, )t a 使得 ( )f x 在 (0, ]D t 上优于 ( )g x ，若存在，求实数 t 的最大值，若不存在， 请说明理由． 参考答案 一、填空题 1．{0,1,2} 2． 2 3．5 4． 2 5．80 6． 7 2000 7． 32 3 8． 5 4,6 3     9．i 10．2 11． 4   或 1 2 2    12．②③ 二、选择题 13．B 14．A 15．D 16．B 三、解答题 17．解：（1）由题意， 1 1 11, 2C M B C BC   ， 1 1 1B C C M ，得 1 5B M  ∵ 1 1 1 1A B C D∥ ，所以异面直线 1A M 和 1 1C D 所成角即为 1A M 和 1 1A B ，所成角长方体 1 1 1 1ABCD A B C D ，D 中， 1 1 1 1 1 1 1,A B B C A B B B  ， ∴ 1 1A B  面 1 1B BCC ， ∴ 1 1 1A B B M ，故可得 1 1B A M 为锐角且 1 1 1 1 1 5tan 2 B MB A M B A    1 1 5 5 2arctan , arcsin , arccos2 3 3B A M  （2）设点 B 到平面 1 1A B M 的距离为 h ， 1 1 1 1 1, 2 2B A B M M A B BV V B M   ， 1 1 1 12 2 2 2 4 2, 2 23 2 3 2h h            ． 18．解：（1）由余弦定理 2 2 2 cos 2 a c bB ac   ，得 2 2 22 (3 ) ( 2) 3 2 3 c c c c     ，即 2 1 3c  ， 所以 3 3c  ． （ 2 ） 因 为 sin cos 2 A B a b  ， 由 正 弦 定 理 sin sin a b A B  ， 得 cos sin 2 B B b b  ， 所 以 cos 2sinB B 从而 2 2cos (2sin )B B ，即  2 2cos 4 1 cosB B  ，故 2 4cos 5B  ． 因为sin 0B  ，所以 cos 2sin 0B B  ， 2 5cos 5B  ．因此 2 5sin cos2 5B B      19．解：（1）  *10 10 1 16,M mx x x x x N       ；（2） 7 19 2 4m  （1）由条件得 20 2 4 2 100p p    ，  *10 1 16,y x x x N    2 分  *10 10, 1 16,M mx x x x x N       6 分 （2）因为 0 30M  ，所以  *10 10 0 1 16, 10 10 30 mx x x x x N mx x x             恒成立． 8 分  * 10 10 1 1 16,20 10 1 m x x x x N m x x             恒成立 10 分 设 1 t x  ，则： 2 2 10 10 11 11 14 420 10 1 m t tt t m t t                  恒成立， 由 2 2 1 7 110 10 1 10 12 2 4m t t t t                   恒成立得 7 2m  （ 4x  时取等号） 12 分 2 120 10 1 14m t t t        恒成立得 19 4m  （ 16x  时取等号） 所以 7 19 2 4m  ． 14 分 20．解：（1）由已知． 12 n n nb a a   ①， 2 1 1n n na b b  ②．由②可得 1 1n n na b b  ③ 将③代入①，得对任意 *2,n n N  ，有 1 12 n n n n nb b b b b   ，即 12 n n nb b b  ， 所以， nb 是等差数列 （2）设数列 nb 的公差为 d ．由 1 210, 15a a  ， 得 1 2 1 2 25 5 2, 18, , 3 22 2b b b b    ， 2 1 2 2d b b   ， 所以 2 1 5 2 2 2 ( 4)( 1) ( 1) ( 4),2 2 2 2n n nb b n d n n b           ． 由已知，当 2n  时， 1 ( 3)( 4) 2n n n n na b b    ，而 1 10a  也满足此式． 所以数列 na 、 nb 的通项公式为： 2( 3)( 4) ( 4),2 2n n n n na b    ． （3）由（2），得 1 2 1 12( 3)( 4) 3 4na n n n n          ， 则 1 1 1 1 1 1 1 12 24 5 5 6 3 4 4 4nS n n n                                     不等式 2 2 n n n baS a   化为 1 1 44 24 4 3 na n n        ． 解法一：不等式化为 2( 1) (3 6) 8 0a n a n     ， 设 2( ) ( 1) (3 6) 8f n a n a n     ，则 ( ) 0f n  对任意 *n N 恒成立． 当 1 0a   ，即 1a  时，不满足条件，当 1 0a   ，即 1a  时，满足条件． 当 1 0a   ，即 1a  时，函数 ( )f n 图像的对称轴为直线 3( 2) 02( 1) ax a    ， ( )f n 关于 n 递减， 只需 (1) 4 15 0f a   ，解得 15 4a  ，故 1a  ． 综上可得， a的取值范围是 ( ,1] ． 解法二：不等式化为 2 2 6 8 3 n na n n    对任意 *n N 恒成立，即 2 3 81 3 na n n    设 2 3 8( ) 3 nf n n n   ，任取 1n 、 * 2n N ，且 1 2n n ，则     1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 3 8 3 8 3 3 n nf n f n n n n n             2 1 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 3 8 24 0 3 3 n n n n n n n n n n          ，故 ( )f n 关于 n递减． 又 ( ) 0f n  且 lim ( ) 0n f n  ，所以 2 3 81 13 n n n   对任意 *n N 恒成立，所以 1a  ． 因此，实数 a的取值范围是 ( ,1] ． 21．解：（1）设 为任意实数，因为 ( )y f x 是偶函数，所以 ( ) ( )f x f x  ， 即 ( ) ( ) 0f x f x   ， ∴| ( ) ( ) | 0g x g x   ，即 ( ) ( )g x g x  ， ∴ ( )y g x 为偶函数 4 分 （2）对于任意 1x ， 2x ，且 1 2x x ，因为 ( )y f x 是 R 上的增函数，所以    1 2f x f x ， 即    1 2 0f x f x  ， 5 分 所以            1 2 1 2 2 1g x g x f x f x f x f x                        1 2 1 2 2 1 1 1 2 2f x f x g x g x f x f x f x g x f x g x         即    1 2h x h x ，得证． 10 分 （3）若存在实数 (0, )t a 使得 ( )f x 在 (0, ]D t 上优于  g x ，因为 0 1a  ，        1 2 1 2f x f x g x g x   ，在 1 2, (0, ]x x t 时恒成立，不妨设 1 20 x x t   ，则 1 2 0 1x x   ，∴     1 1 2 1 2 2 log 8 log 8 loga a a xf x f x x x x     ，             2 2 1 2 2 1 1 2 2 11 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 log log log loga a a a a x x a x x a x x a x xa x a xg x g x a x a x a x x a x x a x x a x x                        2 1 2 2 11 2 2 1 2 2 1 a x x a x xx x a x x a x x        在 1 2, (0, ]x x t 时恒成立       2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 0a x x x x x x a x x x x        在 1 2, (0, ]x x t 时恒成立，  2 1 2 1 2 0a x x a x x     在 1 2, (0, ]x x t 时恒成立． 令 2 2 2 0a t at   ，取 ( 2 1)t a  当 1 20 ( 2 1)x x a    时，  2 2 2 2 1 2 1 2 [( 2 1) ] 2( 2 1) 0a x x a x x a a a         ， 当 1 2( 2 1)a x x a    时，  2 2 2 2 1 2 1 2 [( 2 1) ] 2( 2 1) 0a x x a x x a a a         不合题意．综上所述，实数 t 的最大值为 ( 2 1)a ．