【数学】2019届文科一轮复习人教A版3-6正弦定理和余弦定理教案 8页

第六节　正弦定理和余弦定理 ‎ [考纲传真]　(教师用书独具)掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．‎ ‎ (对应学生用书第50页)‎ ‎ [基础知识填充]‎ ‎1．正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ＝＝＝2R.(R为△ABC外接圆半径)‎ a2＝b2＋c2－2bc·cos_A；‎ b2＝c2＋a2－2ca·cos_B；‎ c2＝a2＋b2－2ab·cos_C 公式 变形 ‎(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；‎ ‎(2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；‎ ‎(3)sin A＝，sin B＝，sin C＝ cos A＝；‎ cos B＝；‎ cos C＝ ‎2. 在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：‎ A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b 解的个数 一解 两解 一解 一解 ‎3. 三角形常用面积公式 ‎ (1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；‎ ‎ (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A．‎ ‎ (3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．‎ ‎[知识拓展]‎ ‎1．三角形内角和定理 ‎ 在△ABC中，A＋B＋C＝π；‎ ‎ 变形：＝－.‎ ‎2．三角形中的三角函数关系 ‎ (1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；‎ ‎ (2)sin＝cos ；(4)cos＝sin .‎ ‎3．在△ABC中，sin A＞sin B⇔A＞B⇔a＞b ‎ cosA＞cos B⇔A＜B⇔a＜b ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎ (1)在△ABC中，若A＞B，则必有sin A＞sin B．(　　)‎ ‎ (2)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则△ABC为锐角三角形．(　　)‎ ‎ (3)在△ABC中，若A＝60°，a＝4，b＝4，则B＝45°或135°.(　　)‎ ‎ (4)在△ABC中，＝.(　　)‎ ‎ [解析]　(1)正确．A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B．‎ ‎ (2)错误．由cos A＝＞0知，A为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形．‎ ‎ (3)错误．由b＜a知，B＜A．‎ ‎ (4)正确．利用a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，可知结论正确．‎ ‎ [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．(教材改编)在△ABC中，若sin‎2A＋sin2B＜sin‎2C，则△ABC的形状是(　　)‎ ‎ A．锐角三角形　　　　　　　　 B．直角三角形 ‎ C．钝角三角形 D．不能确定 ‎ C　[由正弦定理，得＝sin A，＝sin B，＝sin C，代入得到a2＋b2＜c2，由余弦定理得cos C＝＜0，所以C为钝角，所以该三角形为钝角三角形．]‎ ‎3．(2016·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝(　　)‎ ‎ A．　　　　　 B． ‎ ‎ C．2　　　　　 D．3‎ ‎ D　[由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×，‎ ‎ 解得b＝3或b＝－(舍去)，故选D．]‎ ‎4．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，C．已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝________.‎ ‎ 75°　[如图，由正弦定理，得＝，∴sin B＝.‎ ‎ 又c>b，∴B＝45°，‎ ‎ ∴A＝180°－60°－45°＝75°.]‎ ‎5．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________. ‎ ‎【导学号：79170109】‎ ‎ 2　[由题意及余弦定理得cos A＝＝＝，解得c＝2，所以S＝bcsin A＝×4×2×sin 60°＝2.]‎ ‎(对应学生用书第51页)‎ 利用正、余弦定理解三角形 ‎　(1)(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，C．‎ 已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝，则C＝(　　)‎ ‎ A．　　　　　 B． ‎ C． D． ‎ (2)在△ABC中，∠BAC＝，AB＝6，AC＝3，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．‎ ‎ (1)B　[因为a＝2，c＝，‎ ‎ 所以由正弦定理可知，＝，‎ ‎ 故sin A＝sin C．‎ ‎ 又B＝π－(A＋C)，‎ ‎ 故sin B＋sin A(sin C－cos C)‎ ‎ ＝sin(A＋C)＋sin Asin C－sin Acos C ‎ ＝sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C ‎ ＝(sin A＋cos A)sin C ‎ ＝0.‎ ‎ 又C为△ABC的内角，‎ ‎ 故sin C≠0，‎ ‎ 则sin A＋cos A＝0，即tan A＝－1.‎ ‎ 又A∈(0，π)，所以A＝.‎ ‎ 从而sin C＝sin A＝×＝.‎ ‎ 由A＝知C为锐角，故C＝.‎ ‎ 故选B．]‎ ‎ (2)设△ABC的内角∠BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c，‎ ‎ 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC ‎ ＝(3)2＋62－2×3×6×cos ‎ ＝18＋36－(－36)＝90，‎ ‎ 所以a＝3.‎ ‎ 又由正弦定理得sin B＝＝＝，‎ ‎ 由题设知0＜B＜，‎ ‎ 所以cos B＝＝＝.‎ ‎ 在△ABD中，因为AD＝BD，所以∠ABD＝∠BAD，所以∠ADB＝π－2B，‎ ‎ 故由正弦定理得 ‎ AD＝＝＝＝.‎ ‎ [规律方法]　　1.正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的．‎ ‎ 2．(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．‎ ‎ (2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．‎ ‎[变式训练1]　(1)(2017·郑州模拟)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边， 且(b－c)(sin B＋sin C)＝(a－c)sin A，则角B的大小为(　　)‎ ‎ A．30°　　　　 B．45°　　　　‎ ‎ C．60°　　　　 D．120°‎ ‎ (2)(2016·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________.‎ ‎ (1)A　(2)　[(1)由正弦定理＝＝及(b－c)·(sin B＋sin C)＝(a－c)sin A得(b－c)(b＋c)＝(a－c)a，即b2－c2＝a2－ac，∴a2＋c2－b2＝aC．又∵cos B＝，∴cos B＝，∴B＝30°.‎ ‎ (2)在△ABC中，∵cos A＝，cos C＝，‎ ‎ ∴sin A＝，sin C＝，∴sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×‎ ＝.‎ ‎ 又∵＝，∴b＝＝＝.]‎ 判断三角形的形状 ‎　(1)(2017·东北三省四市二联)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，满足acos A＝bcos B，则△ABC的形状为(　　)‎ ‎ 【导学号：79170110】‎ ‎ A．等腰三角形 ‎ B．直角三角形 ‎ C．等腰直角三角形 ‎ D．等腰三角形或直角三角形 ‎ (2)(2018·广州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc，若sin B·sin C＝sin‎2A，则△ABC的形状是(　　)‎ ‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 ‎ C．等边三角形 D．等腰直角三角形 ‎ (1)D　(2)C　[(1)因为acos A＝bcos B，由正弦定理得sin Acos A＝sin Bcos B，即sin ‎2A＝sin 2B，所以‎2A＝2B或‎2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D．‎ ‎ (2)由b2＋c2＝a2＋bc得cos A＝＝＝.‎ ‎ ∵A∈(0，π)，∴A＝.‎ ‎ 由sin B·sin C＝sin‎2A得bc＝a2，代入b2＋c2＝a2＋bc得(b－c)2＝0，即b＝c，从而△ABC是等边三角形．]‎ ‎ [规律方法]　　1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系．(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．‎ ‎ ‎ ‎2．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．‎ ‎[变式训练2]　设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin Acos B＝sin C，那么△ABC一定是(　　)‎ ‎ A．直角三角形 B．等腰三角形 ‎ C．等腰直角三角形 D．等边三角形 ‎ B　[法一：由已知得2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，即sin(A－B)＝0，因为－π＜A－B＜π，所以A＝B．‎ ‎ 法二：由正弦定理得2acos B＝c，再由余弦定理得‎2a·＝c⇒a2＝b2⇒a＝B．]‎ 与三角形面积有关的问题 ‎　(2015·全国卷Ⅰ)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sin Asin C．‎ ‎ (1)若a＝b，求cos B；‎ ‎ (2)设B＝90°，且a＝，求△ABC的面积．‎ ‎ [解]　(1)由题设及正弦定理可得b2＝‎2aC． 2分 ‎ 又a＝b，可得b＝‎2c，a＝‎2C．‎ ‎ 由余弦定理可得cos B＝＝. 5分 ‎ (2)由(1)知b2＝‎2aC． 7分 ‎ 因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2，‎ ‎ 故a2＋c2＝‎2ac，进而可得c＝a＝. 9分 ‎ 所以△ABC的面积为××＝1. 12分 ‎ [规律方法]　　三角形面积公式的应用方法：‎ ‎ (1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．‎ ‎ (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．‎ ‎[变式训练3]　(2016·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝C．‎ ‎ (1)求C；‎ ‎ (2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．‎ ‎ [解]　(1)由已知及正弦定理得 ‎ 2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，‎ ‎ 即2cos Csin(A＋B)＝sin C， 3分 ‎ 故2sin Ccos C＝sin C．‎ ‎ 可得cos C＝，所以C＝. 5分 ‎ (2)由已知得absin C＝.‎ ‎ 又C＝，所以ab＝6. 9分 ‎ 由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcos C＝7，‎ ‎ 故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.‎ ‎ 所以△ABC的周长为5＋. 12分