【数学】2018届一轮复习人教A版第6章重点强化课3不等式及其应用学案 12页

重点强化课(三)　不等式及其应用 ‎ [复习导读]　本章的主要内容是不等式的性质，一元二次不等式及其解法，简单的线性规划问题，基本不等式绝对值不等式及其应用，针对不等式具有很强的工具性，应用广泛，解法灵活的特点，应加强不等式基础知识的复习，要弄清不等式性质的条件与结论；一元二次不等式是解决问题的重要工具，如利用导数研究函数的单调性，往往归结为解一元二次不等式问题；函数、方程、不等式三者密不可分，相互转化，因此应加强函数与方程思想在不等式中应用的训练．‎ 重点1　一元二次不等式的综合应用 ‎　(1)(2017·舟山市一模)函数y＝的定义域为(　　)‎ A．(－∞，1] B．[－1,1]‎ C．[1,2)∪(2，＋∞) D.∪ ‎(2)已知函数f(x)＝则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范围是__________. 【导学号：51062198】‎ ‎(1)D　(2)(－1，－1)　[(1)由题意得解得即－1≤x≤1且x≠－，所以函数的定义域为，故选D.‎ ‎(2)由题意得或 解得－10时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为__________．‎ ‎(－5,0)∪(5，＋∞)　[由于f(x)为R上的奇函数，‎ 所以当x＝0时，f(0)＝0；当x<0时，－x>0，‎ 所以f(－x)＝x2＋4x＝－f(x)，‎ 即f(x)＝－x2－4x，‎ 所以f(x)＝由f(x)>x，可得 或解得x>5或－50，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝(　　)‎ A. B. C．1 D．2‎ B　[作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．‎ 易知直线z＝2x＋y过交点A时，z取最小值，‎ 由得 ‎∴zmin＝2－2a＝1，解得a＝.]‎ 重点3　基本不等式的综合应用 ‎　已知函数f(x)＝ax＋bx(a>0，b>0，a≠1，b≠1)．设a＝2，b＝.‎ ‎(1)求方程f(x)＝2的根；‎ ‎(2)若对于任意x∈R，不等式f(2x)≥mf(x)－6恒成立，求实数m的最大值．‎ ‎[解]　因为a＝2，b＝，所以f(x)＝2x＋2－x.2分 ‎(1)方程f(x)＝2，即2x＋2－x＝2，亦即(2x)2－2×2x＋1＝0，所以(2x－1)2＝0，即2x＝1，解得x＝0.6分 ‎(2)由条件知f(2x)＝22x＋2－2x＝(2x＋2－x)2－2＝(f(x))2－2.‎ 因为f(2x)≥mf(x)－6对于x∈R恒成立，且f(x)>0，‎ 所以m≤对于x∈R恒成立.10分 而＝f(x)＋≥2＝4，且＝4，‎ 所以m≤4，故实数m的最大值为4.14分 ‎[规律方法]‎ 基本不等式综合应用中的常见类型及求解方法 ‎(1)应用基本不等式判断不等式是否成立或比较大小．解决此类问题通常将所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．‎ ‎(2)条件不等式问题．通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．‎ ‎(3)求参数的值或范围．观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围．‎ ‎[对点训练3]　(1)设a，b，c∈(0，＋∞)，则“abc＝‎1”‎是“＋＋≤a＋b＋c”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎(2)已知正数x，y满足x＋2y＝2，则的最小值为__________. ‎ ‎【导学号：51062200】‎ ‎(1)A　(2)9　[(1)当a＝b＝c＝2时，有＋＋≤a＋b＋c，‎ 但abc≠1，所以必要性不成立．‎ 当abc＝1时，＋＋＝＝＋＋，‎ a＋b＋c＝≥＋＋，所以充分性成立．‎ 故“abc＝1”是“＋＋≤a＋b＋c”的充分不必要条件．‎ ‎(2)由已知得＝1.‎ 则＝＋＝ ‎＝≥(10＋2 )＝9，‎ 当且仅当x＝，y＝时取等号．]‎ 重点4　绝对值不等式 ‎　(2017·浙江高考冲刺卷)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.‎ ‎(1)当a＝－2时，求不等式f(x)－1，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)当a＝－2时，不等式f(x)0；‎ ‎②若1＋a≤x<2，则f(x)＝x2－2x＋a＋3＝(x－1)2＋2＋a≥2＋a≥0；‎ ‎③若x<1＋a，则f(x)＝x2－a＋1≥1－a≥0.13分 综上可知，当－2≤a≤1时，对∀x∈R，f(x)≥0恒成立，故a∈[－2,1].‎ ‎14分 重点强化训练(三)　不等式及其应用 A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．下列不等式一定成立的是(　　)‎ A．lg>lg x(x>0)‎ B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)‎ C．x2＋1≥2|x|(x∈R)‎ D.>1(x∈R)‎ C　[取x＝，则lg＝lg x，故排除A；取x＝π，则sin x＝－1，故排除B；取x＝0，则＝1，排除D.]‎ ‎2．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋5y的最小值为(　　)‎ A．－4　　　 B．6　　　‎ C．10　　　 D．17‎ B　[由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为y＝－x＋z，在图中画出直线y＝－x，‎ 平移该直线，易知经过点A时z最小．‎ 又知点A的坐标为(3,0)，‎ ‎∴zmin＝2×3＋5×0＝6.故选B.]‎ ‎3．(2016·浙江高考)在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域中的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|＝(　　) 【导学号：51062201】‎ A．2 B．4‎ C．3 D．6‎ C　[由不等式组画出可行域，如图中的阴影部分所示．‎ 因为直线x＋y－2＝0与直线x＋y＝0平行，所以可行域内的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段的长|AB|即为|CD|.易得C(2，－2)，D(－1,1)，所以|AB|＝|CD|＝＝3.故选C.]‎ ‎4．不等式≤x－2的解集是(　　)‎ A．[－∞，0)∪(2,4]　 B．[0,2)∪[4，＋∞)‎ C．[2,4) D．(－∞，2]∪(4，＋∞)‎ B　[①当x－2>0，即x>2时，不等式可化为(x－2)2≥4，解得x≥4；‎ ‎②当x－2<0，即x<2时，不等式可化为(x－2)2≤4，‎ 解得0≤x<2.‎ 综上，解集为[0,2)∪[4，＋∞)．]‎ ‎5．若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为(　　)‎ A．(－∞，－1) B．(－1,0)‎ C．(0,1) D．(1，＋∞)‎ C　[因为函数y＝f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即＝－.化简可得a＝1，则＞3，即－3＞0，即>0，故不等式可化为＜0，即1＜2x＜2，解得0＜x＜1，故选C.]‎ 二、填空题 ‎6．设x，y满足约束条件则z＝2x＋3y－5的最小值为________．‎ ‎－10　[画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y＝－x＋＋过点A(－1，－1)时，z取得最小值，即zmin＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.]‎ ‎7．若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|0(a∈R)．‎ ‎(1)解这个关于x的不等式；‎ ‎(2)若x＝－a时不等式成立，求a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)原不等式等价于(ax－1)(x＋1)>0.1分 ‎①当a＝0时，由－(x＋1)>0，得x<－1；‎ ‎②当a>0时，不等式化为(x＋1)>0.‎ 解得x<－1或x>；3分 ‎③当a<0时，不等式化为(x＋1)<0；‎ 若<－1，即－1－1，即a<－1，则 －10时，解集为.9分 ‎(2)∵x＝－a时不等式成立，‎ ‎∴>0，即－a＋1<0，12分 ‎∴a>1，即a的取值范围为(1，＋∞).15分 ‎10．已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a＞0.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)＞1的解集；‎ ‎(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围. ‎ ‎【导学号：51062202】‎ ‎[解]　(1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.‎ 当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；‎ 当－10，解得0，解得1≤x＜2.‎ 所以f(x)>1的解集为.7分 ‎(2)由题设可得f(x)＝ 所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B ‎(2a＋1,0)，C(a，a＋1)．因此△ABC的面积S＝|AB|·(a＋1)＝(a＋1)2.12分 由(a＋1)2>6，故a>2.‎ 故a的取值范围为(2，＋∞).15分 B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．已知a，b为正实数，且ab＝1，若不等式(x＋y)·>m对任意正实数x，y恒成立，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．[4，＋∞) B．(－∞，1]‎ C．(－∞，4] D．(－∞，4)‎ D　[因为a，b，x，y为正实数，所以(x＋y)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝b，＝，即a＝b，x＝y时等号成立，故只要m<4即可．]‎ ‎2．若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．‎ 　[设y＝|2x－1|＋|x＋2|＝当x<－2时，y＝－3x－1>5；当－2≤x<时，y＝－x＋3>；当x≥时，y＝3x＋1≥.故函数y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小值为.因为不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，所以≥a2＋a＋2.解不等式≥a2＋a＋2，得－1≤a≤，故a的取值范围为.]‎ ‎3．已知f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，且f(1)＝1，若m，n∈[－1,1]，m＋n≠0时，>0.‎ ‎(1)用定义证明f(x)在[－1,1]上是增函数；‎ ‎(2)解不等式f0，‎ ‎∴f(x1)－f(x2)<0，‎ 即f(x)在[－1,1]上为增函数，7分 ‎(2)∵f(x)在[－1,1]上为增函数，‎ ‎∴解得.10分 ‎(3)由(1)可知f(x)在[－1,1]上为增函数，且f(1)＝1，故对x∈[－1,1]，恒有f(x)≤1，‎ ‎∴要f(x)≤t2－2at＋1对所有x∈[－1,1]，a∈[－1,1]恒成立，即要t2－2at＋1≥1成立，‎ 故t2－2at≥0，记g(a)＝－2ta＋t2.13分 对a∈[－1,1]，g(a)≥0恒成立，只需g(a)在[－1,1]上的最小值大于等于0，‎ ‎∴g(－1)≥0，g(1)≥0，解得t≤－2或t＝0或t≥2.‎ ‎∴t的取值范围是{t|t≤－2或t＝0或t≥2}.15分