【数学】2018届一轮复习人教A版二次函数与幂函数教案 13页

‎　‎ ‎1.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值)．‎ ‎2．了解二次函数的广泛应用．‎ ‎3．了解幂函数的概念．‎ ‎4．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，了解它们的变化情况．‎ 知识点一 幂函数 ‎ ‎1．幂函数的定义 形如________(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是________，α为______．‎ ‎2．五种幂函数的图象 ‎3．五种幂函数的性质 答案 ‎1．y＝xα　自变量　常数 ‎3．R　R　R　[0，＋∞)　(－∞，0)∪(0，＋∞)　R　[0，＋∞)　R　[0，＋∞)　(－∞，0)∪(0，＋∞‎ ‎)　奇　偶　奇　非奇非偶　奇　[0，＋∞)　(－∞，0]　增　增　(0，＋∞)　(－∞，0)‎ ‎1．判断正误 ‎(1)函数f(x)＝x2与函数f(x)＝2x2都是幂函数．(　　)‎ ‎(2)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)．(　　)‎ ‎(3)幂函数的图象不经过第四象限．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)√‎ ‎2．(必修①P‎82A组第10题改编)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝(　　)‎ A. B．1‎ C. D．2‎ 解析：因为f(x)＝k·xα是幂函数，所以k＝1.又f(x)的图象过点，所以α＝，所以α＝，所以k＋α＝1＋＝.‎ 答案：C 知识点二 二次函数 ‎ ‎1．二次函数的三种常见解析式 ‎(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；‎ ‎(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，(m，n)为顶点坐标；‎ ‎(3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2分别是f(x)＝0的两实根．‎ ‎2．二次函数的图象和性质 函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)‎ 图象 a>0‎ a<0‎ 定义域 R R 值域 y∈____________‎ y∈____________‎ 对称轴 x＝________‎ 顶点 坐标 奇偶性 b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数 递增 区间 递减 区间 答案 ‎2.　　－ ‎3．(必修①P24习题‎1.2A组第6题改编)若函数f(x)＝x2＋bx＋c，且f(0)＝0，f(3)＝0，则f(－1)＝(　　)‎ A．－1 B．－2‎ C．1 D．4‎ 解析：由f(0)＝0，f(3)＝0，得解得所以f(x)＝x2－3x，所以f(－1)＝4，故选D.‎ 答案：D ‎4．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：由题意知即得a>.‎ 答案：C ‎5．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为________．‎ 解析：如图，由图象可知m的取值范围是[1,2]．‎ 答案：[1,2]‎ 热点一　幂函数的图象与性质 ‎ ‎【例1】　(1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f(x ‎)的图象是(　　)‎ ‎(2)当0g(x)>f(x)．‎ ‎【答案】　(1)C　(2)h(x)>g(x)>f(x)‎ ‎【总结反思】‎ ‎(1)幂函数解析式一定要设为y＝xα(α 为常数)的形式；(2)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.‎ 比较下列各组数的大小：‎ ‎(1)1.1，0.9，1；‎ ‎(2) ，，(－1.1) .‎ 解：(1)把1看作1，幂函数y＝x在(0，＋∞)上是增函数．‎ ‎∵0<0.9<1<1.1，∴0.9<1<1.1，即0.9<1<1.1.‎ ‎(2)因为＝，‎ ＝＝，‎ ‎(－1.1) ＝(1.12) ＝1.21，‎ 幂函数y＝x在(0，＋∞)上是增函数，且<<1.21.‎ ‎∴<<(－1.1) .‎ 热点二 二次函数的图象及应用 ‎ ‎【例2】　如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：‎ ‎①b2>‎4ac；②‎2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④‎5a0，即b2>‎4ac，①正确；‎ 对称轴为x＝－1，即－＝－1,‎2a－b＝0，②错误；‎ 结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；‎ 由对称轴为x＝－1知，b＝‎2a.又函数图象开口向下，所以a<0，所以‎5a<‎2a，即‎5a0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是(　　)‎ 解析：若01，则y＝logax单调递增，y＝(a－1)x2－x开口向上，其图象的对称轴在y轴右侧，排除B.故选A.‎ 答案：A 热点三 二次函数的性质及应用 ‎ 考向1　二次函数的单调性问题 ‎【例3】　已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．‎ ‎(1)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；‎ ‎(2)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．‎ ‎【解】　(1)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.‎ 所以实数a的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞)．‎ ‎(2)当a＝1时，f(x)＝x2＋2x＋3，‎ ‎∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈[－6,6]．‎ 且f(x)＝∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．‎ 考向2　二次函数的最值问题 ‎【例4】　已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时有最大值2，求a的值．‎ ‎【解】　函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，对称轴方程为x＝a.‎ 当a<0时，f(x)max＝f(0)＝1－a，‎ ‎∴1－a＝2，∴a＝－1.‎ 当0≤a≤1时，f(x)max＝f(a)＝a2－a＋1.‎ ‎∴a2－a＋1＝2，即a2－a－1＝0.‎ ‎∴a＝(舍去)．‎ 当a>1时，f(x)max＝f(1)＝a，∴a＝2.‎ 综上可知，a＝－1或a＝2.‎ 考向3　二次函数中的恒成立问题 ‎【例5】　已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，求实数a的取值范围．‎ ‎【解】　由题意知2ax2＋2x－3<0在[－1，1]上恒成立，‎ 当x＝0时，－3<0，适合；‎ 当x≠0时，a<2－，‎ 因为∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x＝1时，右边取最小值，所以a<.‎ 综上，实数a的取值范围是.‎ ‎【总结反思】‎ ‎1．二次函数最值问题的三种类型及解题思路 ‎(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．‎ ‎(2)思路：抓“三点一轴”，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴．‎ ‎2．由不等式恒成立求参数取值范围的两大思路及一个关键 ‎(1)两大思路：一是分离参数；二是不分离参数．‎ ‎(2)一个关键：两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)⇔a≥f(x)max，a≤f(x)⇔a≤f(x)min.‎ ‎(1)(2017·宜春模拟)已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c，且a＋b＋c＝0，则它的图象是(　　)‎ ‎(2)(2017·定州模拟)已知函数f(x)＝－x2＋4x在区间[－1，n]上的值域是[－5,4]，则n的取值范围是(　　)‎ A．[2,5] B．[1,5]‎ C．[－1,2] D．[0,5]‎ ‎(3)(2017·开封模拟)已知f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，如果对x∈[－3,1]，f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围为____‎ ‎.‎ 解析：(1)因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，得a>0，且c<0，所以f(0)＝c<0，所以函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，与y轴的交点在y轴的负半轴上．‎ ‎(2)f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，‎ 所以f(2)＝4，又由f(x)＝－5，得x＝－1或5.‎ 由f(x)的图象知：2≤n≤5.‎ ‎(3)因为f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，‎ 对称轴x＝－(a－2)，‎ 对x∈[－3,1]，f(x)>0恒成立，所以讨论对称轴与区间[－3,1]的位置关系得：‎ 或 或解得a∈∅或1≤a<4或－