【数学】2018届一轮复习人教A版导数与函数的极值最值学案 7页

第3讲　导数与函数的极值、最值 最新考纲　了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次).‎ 知 识 梳 理 ‎1.函数的极值与导数 ‎(1)判断f(x0)是极值的方法 一般地，当函数f(x)在点x0处连续且f′(x0)＝0，‎ ‎①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；‎ ‎②如果在x0附近的左侧f′(x)≤0，右侧f′(x)≥0，那么f(x0)是极小值.‎ ‎(2)求可导函数极值的步骤 ‎①求f′(x)；‎ ‎②求方程f′(x)＝0的根；‎ ‎③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.‎ ‎2.函数的最值与导数 ‎(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.‎ ‎(2)设函数f(x)在[a，b]上连续且在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：‎ ‎①求f(x)在(a，b)内的极值；‎ ‎②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.(　　)‎ ‎(2)函数的极大值不一定比极小值大.(　　)‎ ‎(3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件.(　　)‎ ‎(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.(　　)‎ 解析　(1)函数在某区间上或定义域内的极大值不唯一.(3)x0为f(x)的极值点的充要条件是f′(x0)＝0，且x0两侧导数符号异号.‎ 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√‎ ‎2.函数f(x)＝－x3＋3x＋1有(　　)‎ A.极小值－1，极大值1 B.极小值－2，极大值3‎ C.极小值－2，极大值2 D.极小值－1，极大值3‎ 解析　因为f(x)＝－x3＋3x＋1，故有y′＝－3x2＋3，令y′＝－3x2＋3＝0，解得x＝±1，‎ 于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(－∞，－1)‎ ‎－1‎ ‎(－1，1)‎ ‎1‎ ‎(1，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ f(x)‎  极大值  极小值  所以f(x)的极小值为f(－1)＝－1，f(x)的极大值为f(1)＝3.‎ 答案　D ‎3.(选修2－2P‎32A4改编)如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(　　)‎ A.1 B‎.2 ‎C.3 D.4‎ 解析　由题意知在x＝－1处f′(－1)＝0，且其左右两侧导数符号为左负右正.‎ 答案　A ‎4.(2017·武汉模拟)函数y＝2x3－2x2在区间[－1，2]上的最大值是________.‎ 解析　y′＝6x2－4x，令y′＝0，得x＝0或x＝.‎ ‎∵f(－1)＝－4，f(0)＝0，f＝－，f(2)＝8, 所以最大值为8.‎ 答案　8‎ ‎5.函数f(x)＝ln x－ax在x＝1处有极值，则常数a＝________.‎ 解析　∵f′(x)＝－a，∴f′(1)＝1－a＝0，∴a＝1，经检验符合题意.‎ 答案　1‎ ‎6.(2017·杭州调研)函数y＝x＋2cos x在区间上的最大值为________；最小值为________.‎ 解析　∵y＝x＋2cos x，x∈，∴y′＝1－2sin x，x∈，令y′＝0，得x＝，当x∈时，y′>0，当x∈时，y′<0，故x＝时，∴y最大＝y极大＝＋，又x＝0时，y＝2；x＝时，y＝，∴y最小＝.‎ 答案　＋　 考点一　用导数解决函数的极值问题 ‎【例1】 求下列函数的极值：‎ ‎(1)f(x)＝x2－2x－4ln x；‎ ‎(2)f(x)＝ax3－3x2＋1－(a∈R且a≠0).‎ 解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，‎ f′(x)＝2x－2－＝，‎ 令f′(x)＝0得x＝2或－1(舍).‎ 随着x的变化，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(0，2)‎ ‎2‎ ‎(2，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎  极小值  ‎∴f(x)有极小值f(2)＝－4ln 2，无极大值.‎ ‎(2)由题设知a≠0，f′(x)＝3ax2－6x＝3ax.‎ 令f′(x)＝0得x＝0或.‎ 当a>0时，随着x的变化，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(－∞，0)‎ ‎0‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎  极大值  极小值  ‎∴f(x)极大值＝f(0)＝1－，‎ f(x)极小值＝f＝－－＋1.‎ 当a<0时，随着x的变化，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎0‎ ‎(0，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ f(x)‎  极小值  极大值  ‎∴f(x)极大值＝f(0)＝1－，‎ f(x)极小值＝f＝－－＋1.‎ 综上，f(x)极大值＝f(0)＝1－，‎ f(x)极小值＝f＝－－＋1.‎ 规律方法　函数极值的两类热点问题 ‎(1)求函数f(x)极值这类问题的一般解题步骤为：‎ ‎①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值.‎ ‎(2)由函数极值求参数的值或范围.‎ 讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f′(x)＝0根的有无(个数).然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号.‎ ‎【训练1】 (1)设函数f(x)＝ax3－2x2＋x＋c.若f(x)在R上无极值点，则实数a的取值范围为________.‎ ‎(2)设a∈R，若函数y＝eax＋3x，x∈R有大于零的极值点，则(　　)‎ A.a>－3 B.a<－3‎ C.a>－ D.a<－ 解析　(1)由题得f′(x)＝3ax2－4x＋1.‎ 若f(x)在R上无极值点，则f(x)在R上是单调函数，即f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立.‎ ‎①当a＝0时，f′(x)＝－4x＋1，显然不满足条件；‎ ‎②当a≠0时，f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立的充要条件是Δ＝(－4)2－4×‎3a×1≤0，即16－‎12a≤0，解得a≥.‎ 综上，实数a的取值范围为.‎ ‎(2)y′＝f′(x)＝aeax＋3，‎ 当a≥0时，f′(x)>0在R上恒成立，∴f(x)无极值点；‎ 当a<0时，令f′(x)＝0得x＝ln，‎ ‎∴ln>0得a<－3，故选B.‎ 答案　(1)　(2)B 考点二　用导数解决函数的最值问题 ‎【例2】 (2017·郑州质检)已知函数f(x)＝(4x2＋4ax＋a2)，其中a＜0.‎ ‎(1)当a＝－4时，求f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)若f(x)在区间[1，4]上的最小值为8，求a的值.‎ 解　(1)当a＝－4时，由f′(x)＝＝0得x＝或x＝2，由f′(x)＞0得x∈或x∈(2，＋∞)，‎ 故函数f(x)的单调递增区间为和(2，＋∞).‎ ‎(2)因为f′(x)＝，a＜0，由f′(x)＝0得x＝－或x＝－.‎ 当x∈时，f(x)单调递增.‎ 当x∈时，f(x)单调递减；‎ 当x∈时，f(x)单调递增.‎ 易知f(x)＝(2x＋a)2≥0，且f＝0.‎ ‎①当－≤1时，‎ 即－2≤a＜0时，f(x)在[1，4]上的最小值为f(1)，由f(1)＝4＋‎4a＋a2＝8，得a＝±2－2，均不符合题意.‎ ‎②当1＜－≤4时，即－8≤a＜－2时，f(x)在[1，4]上的最小值为f＝0，不符合题意.‎ ‎③当－＞4时，即a＜－8时，f(x)在[1，4]上的最小值可能在x＝1或x＝4处取得，而f(1)≠8，‎ 由f(4)＝2(64＋‎16a＋a2)＝8得a＝－10或a＝－6(舍去)，‎ 当a＝－10时，f(x)在(1，4)上单调递减，f(x)在[1，4]上的最小值为f(4)＝8，符合题意.‎ 综上有，a＝－10.‎ 规律方法　(1)求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：①求函数在(a，b ‎)内的极值；②求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；③将函数f(x)的极值与 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.‎ ‎(2)含参数的函数的最值一般不通过比值求解，而是先讨论函数的单调性，再根据单调性求出最值.含参函数在区间上的最值通常有两类：一是动极值点定区间，二是定极值点动区间，这两类问题一般根据区间与极值点的位置关系来分类讨论.‎ ‎【训练2】 已知函数f(x)＝(ax－2)ex在x＝1处取得极值.‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)求函数在区间[m，m＋1]上的最小值.‎ 解　(1)f′(x)＝(ax＋a－2)ex，‎ 由已知得f′(1)＝(a＋a－2)e＝0，‎ 解得a＝1，经检验a＝1符合题意，所以a的值为1.‎ ‎(2)由(1)得f(x)＝(x－2)ex，f′(x)＝(x－1)ex.‎ 令f′(x)>0得x>1，令f′(x)<0得x<1.‎ 所以函数f(x)在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增.‎ 当m≥1时，f(x)在[m，m＋1]上递增，f(x)min＝f(m)＝(m－2)em，‎ 当0