• 346.90 KB
  • 2021-06-16 发布

【数学】2020届一轮复习(文)人教通用版5-3平面向量的数量积学案

  • 17页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
‎§5.3 平面向量的数量积 最新考纲 考情考向分析 ‎1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.‎ ‎2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.‎ ‎3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.‎ ‎4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.‎ 主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、投影、求模与夹角等问题,考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的垂直关系.一般以选择题、填空题的形式考查,偶尔会在解答题中出现,属于中档题.‎ ‎1.两个向量的夹角 ‎(1)定义 已知两个非零向量a,b,作=a,=b,则∠AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉.‎ ‎(2)范围 向量夹角〈a,b〉的范围是[0,π],且〈a,b〉=〈b,a〉.‎ ‎(3)向量垂直 如果〈a,b〉=,则a与b垂直,记作a⊥b.‎ ‎2.向量在轴上的正射影 已知向量a和轴l(如图),作=a,过点O,A分别作轴l的垂线,垂足分别为O1,A1,则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影),该射影在轴l上的坐标,称作a在轴l上的 数量或在轴l的方向上的数量.‎ =a在轴l上正射影的坐标记作al,向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ,则由三角函数中的余弦定义有al=|a|cos θ.‎ ‎3.向量的数量积 ‎(1)向量的数量积(内积)的定义 ‎|a||b|cos〈a,b〉叫做向量a和b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos〈a,b〉.‎ ‎(2)向量数量积的性质 ‎①如果e是单位向量,则a·e=e·a=|a|cos〈a,e〉;‎ ‎②a⊥b⇔a·b=0;‎ ‎③a·a=|a|2,|a|=;‎ ‎④cos〈a,b〉= (|a||b|≠0);‎ ‎⑤|a·b|≤|a||b|.‎ ‎(3)向量数量积的运算律 ‎①交换律:a·b=b·a.‎ ‎②对λ∈R,λ(a·b)=(λa)·b=a·(λb).‎ ‎③分配律:(a+b)·c=a·c+b·c.‎ ‎(4)向量数量积的坐标运算与度量公式 设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则 ‎①a·b=a1b1+a2b2;‎ ‎②a⊥b⇔a1b1+a2b2=0;‎ ‎③|a|=;‎ ‎④cos〈a,b〉=.‎ 概念方法微思考 ‎1.a在b方向上的正投影与b在a方向上的正投影相同吗?‎ 提示 不相同.因为a在b方向上的正投影为|a|cos θ,而b在a方向上的正投影为|b|cos θ,其中θ为a与b的夹角.‎ ‎2.两个向量的数量积大于0,则夹角一定为锐角吗?‎ 提示 不一定.当夹角为0°时,数量积也大于0.‎ 题组一 思考辨析 ‎1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)向量在另一个向量方向上的正投影为数量,而不是向量.( √ )‎ ‎(2)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( √ )‎ ‎(3)由a·b=0可得a=0或b=0.( × )‎ ‎(4)(a·b)c=a(b·c).( × )‎ ‎(5)两个向量的夹角的范围是.( × )‎ ‎(6)若a·b<0,则a和b的夹角为钝角.( × )‎ 题组二 教材改编 ‎2.已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0,则k=________.‎ 答案 12‎ 解析 ∵2a-b=(4,2)-(-1,k)=(5,2-k),‎ 由a·(2a-b)=0,得(2,1)·(5,2-k)=0,‎ ‎∴10+2-k=0,解得k=12.‎ ‎3.已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角θ=120°,则向量b在向量a方向上的正投影为________.‎ 答案 -2‎ 解析 由数量积的定义知,b在a方向上的正投影为 ‎|b|cos θ=4×cos 120°=-2.‎ 题组三 易错自纠 ‎4.已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=________.‎ 答案 2 解析 方法一 |a+2b|= ‎= ‎= ‎==2.‎ 方法二 (数形结合法)‎ 由|a|=|2b|=2知,以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB,如图,则|a+2b|=||.‎ 又∠AOB=60°,所以|a+2b|=2.‎ ‎5.已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量在方向上的正投影为________.‎ 答案  解析 =(2,1),=(5,5),‎ 由定义知,在方向上的正投影为 ==.‎ ‎6.已知△ABC的三边长均为1,且=c,=a,=b,则a·b+b·c+a·c=________.‎ 答案 - 解析 ∵〈a,b〉=〈b,c〉=〈a,c〉=120°,|a|=|b|=|c|=1,‎ ‎∴a·b=b·c=a·c=1×1×cos 120°=-,‎ ‎∴a·b+b·c+a·c=-.‎ 题型一 平面向量数量积的基本运算 ‎1.已知a=(x,1),b=(-2,4),若(a+b)⊥b,则x等于(  )‎ A.8 B.10 C.11 D.12‎ 答案 D 解析 ∵a=(x,1),b=(-2,4),‎ ‎∴a+b=(x-2,5),‎ 又(a+b)⊥b,‎ ‎∴(x-2)×(-2)+20=0,‎ ‎∴x=12.‎ ‎2.(2018·全国Ⅱ)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)等于(  )‎ A.4 B.3 C.2 D.0‎ 答案 B 解析 a·(2a-b)=2a2-a·b=2|a|2-a·b.‎ ‎∵|a|=1,a·b=-1,∴原式=2×12+1=3.‎ ‎3.(2019·铁岭模拟)设D,E为正三角形ABC中BC边上的两个三等分点,且BC=2,则·等于(  )‎ A. B. ‎ C. D. 答案 C 解析 如图,‎ ‎||=||=2,〈,〉=60°,‎ ‎∵D,E是边BC的两个三等分点,‎ ‎∴·=·=· ‎=||2+·+||2=×4+×2×2×+×4=.‎ 思维升华 平面向量数量积的三种运算方法 ‎(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a·b=|a||b|cos〈a,b〉.‎ ‎(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.‎ ‎(3)利用数量积的几何意义求解.‎ 题型二 平面向量数量积的应用 命题点1 求向量的模 例1 (1)(2019·抚顺模拟)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=5,AC=6,D是AB上一点,且·=-5,则||等于(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 答案 C 解析 如图所示,‎ 设=k,所以=-=k-,‎ 所以·=·(k-)‎ ‎=k2-· ‎=25k-5×6× ‎=25k-15=-5,‎ 解得k=,所以||=||=3.‎ ‎(2)如果=2,=3,a·b=4,则的值是(  )‎ A.24 B.2 C.-24 D.-2 答案 B 解析 由=2,=3,a·b=4,‎ 得== ‎==2.‎ 命题点2 求向量的夹角 例2 (1)(2018·通辽质检)设向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a·(a-b)=3,则a与b的夹角为(  )‎ A. B. C. D. 答案 B 解析 由题意得a·(a-b)=a2-a·b ‎=4-2×1×cos α=4-2cos α=3,‎ ‎∴cos α=,∵0≤α≤π,∴α=.‎ ‎(2)已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若e1-e2与e1+λe2的夹角为60°,则实数λ的值是________.‎ 答案  解析 由题意知|e1|=|e2|=1,e1·e2=0,‎ ‎|e1-e2|= ‎= ‎==2.‎ 同理|e1+λe2|=.‎ 所以cos 60°= ‎= ‎==,‎ 解得λ=.‎ 思维升华 (1)求解平面向量模的方法 ‎①利用公式|a|=.‎ ‎②利用|a|=.‎ ‎(2)求平面向量的夹角的方法 ‎①定义法:cos θ=,θ的取值范围为[0,π].‎ ‎②坐标法:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则cos θ=.‎ ‎③解三角形法:把两向量的夹角放到三角形中.‎ 跟踪训练1 (1)(2019·锦州模拟)已知向量a与b的夹角为30°,且|a|=1,|2a-b|=1,则|b|=________.‎ 答案  解析 ∵|2a-b|=1,‎ ‎∴|2a-b|2=4a2-4a·b+b2=1,‎ ‎∴4-4|b|cos 30°+b2=1,‎ 整理得|b|2-2|b|+3=(|b|-)2=0,‎ 解得|b|=.‎ ‎(2)已知|a|=1,|b|=,且a⊥(a-b),则向量a与向量b的夹角为(  )‎ A. B. C. D. 答案 B 解析 ∵a⊥(a-b),‎ ‎∴a·(a-b)=a2-a·b=1-cos〈a,b〉=0,‎ ‎∴cos〈a,b〉=,∴〈a,b〉=.‎ 题型三 平面向量与三角函数 例3 已知向量a=,b=,且x∈.‎ ‎(1)求a·b及|a+b|;‎ ‎(2)若f(x)=a·b-|a+b|,求f(x)的最大值和最小值.‎ 解 (1)a·b=cos cos -sin ·sin =cos 2x.‎ ‎∵a+b=,‎ ‎∴|a+b|= ‎==2|cos x|.‎ ‎∵x∈,‎ ‎∴cos x>0,∴|a+b|=2cos x.‎ ‎(2)f(x)=cos 2x-2cos x=2cos2x-2cos x-1‎ ‎=22-.‎ ‎∵x∈,∴≤cos x≤1,‎ ‎∴当cos x=时,f(x)取得最小值-;‎ 当cos x=1时,f(x)取得最大值-1.‎ 思维升华 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 ‎(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解.‎ ‎(2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域等.‎ 跟踪训练2 在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sin x,cos x),x∈.‎ ‎(1)若m⊥n,求tan x的值;‎ ‎(2)若m与n的夹角为,求x的值.‎ 解 (1)因为m=,n=(sin x,cos x),m⊥n.‎ 所以m·n=0,即sin x-cos x=0,‎ 所以sin x=cos x,所以tan x=1.‎ ‎(2)因为|m|=|n|=1,所以m·n=cos =,‎ 即sin x-cos x=,‎ 所以sin=,‎ 因为00”是“a与b的夹角为锐角”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 根据向量数量积的定义式可知,若a·b>0,则a与b的夹角为锐角或零角,若a与b的夹角为锐角,则一定有a·b>0,所以“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件,故选B.‎ ‎2.已知向量a=(1,1),b=(2,-3),若ka-2b与a垂直,则实数k的值为(  )‎ A.1 B.-1‎ C.2 D.-2‎ 答案 B 解析 向量a=(1,1),b=(2,-3),‎ 则ka-2b=.‎ 若ka-2b与a垂直,则k-4+k+6=0,‎ 解得k=-1.故选B.‎ ‎3.(2018·乌海模拟)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a-b=(,),则|2a-b|等于(  )‎ A.2 B. C. D.2 答案 A 解析 根据题意,|a-b|==,‎ 则(a-b)2=a2+b2-2a·b =5-2a·b=5,‎ 可得a·b=0,结合|a|=1,|b|=2,‎ 可得(2a-b)2=4a2+b2-4a·b=4+4=8,‎ 则=2,故选A.‎ ‎4.(2018·辽阳模拟)非零向量a,b 满足:|a-b|=|a|,a·(a-b)=0,则a-b 与b 夹角θ的大小为(  )‎ A.135° B.120°‎ C.60° D.45°‎ 答案 A 解析 ∵非零向量a,b满足a·(a-b)=0,‎ ‎∴a2=a·b,由|a-b|=|a| 可得,‎ a2-2a·b+b2=a2,解得|b|=|a|,‎ ‎∴cos θ== ‎==-,‎ ‎∴θ=135°,故选A.‎ ‎5.(2019·丹东模拟)已知两个单位向量a和b的夹角为60°,则向量a-b在向量a方向上的正投影为(  )‎ A.-1 B.1‎ C.- D. 答案 D 解析 由题意可得 |a|=|b|=1,‎ 且 a·b=|a|×|b|×cos 60°=,‎ a·(a-b)=a2-a·b=1-=,‎ 则向量a-b在向量a方向上的正投影为 ‎ ==.故选D.‎ ‎6.(2018·通辽质检)已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内(含边界)一动点,则·的取值范围是(  )‎ A.[-1,0] B.[-1,2]‎ C.[-1,3] D.[-1,4]‎ 答案 C 解析 如图所示,‎ 由题意可得,点M所在区域的不等式表示为(x-1)2+(y-1)2≤1(0≤x≤2,0≤y≤2).‎ 可设点M(x,y),‎ A(0,0),B(2,0).‎ ‎∴·=(-x,-y)·(2-x,-y)‎ ‎=-x(2-x)+y2=(x-1)2+y2-1,‎ 由∈[0,2],‎ ‎∴·∈[-1,3],故选C.‎ ‎7.(2018·营口模拟)若平面向量a,b满足·b=7,|a|=,|b|=2,则向量a与b的夹角为________.‎ 答案  解析 ∵(a+b)·b=a·b+b2=7,‎ ‎∴a·b=7-b2=3.‎ 设向量a与b的夹角为α,‎ 则cos α===.‎ 又0≤α≤π,∴α=,‎ 即向量a与b的夹角为.‎ ‎8.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=,|a+b|=,则a在b方向上的正投影为________.‎ 答案 - 解析 向量a,b满足|a|=1,|b|=,|a+b|=,‎ ‎∴|a+b|= ‎===,‎ 解得a·b=-1.‎ a在b方向上的正投影为==-.‎ ‎9.如图,在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°,D是BC的中点,则·的值为________.‎ 答案 -17‎ 解析 如图,建立平面直角坐标系,‎ 则C(0,0),A(3,0),B(0,4),D(0,2).‎ 则=(3,-4),=(-3,2).‎ ‎∴·=3×(-3)-4×2=-17.‎ ‎10.如图,在△ABC中,AB=3,AC=2,D是边BC的中点,则·=________.‎ 答案 - 解析 利用向量的加减法法则可知,‎ ·=(+)·(-+)‎ ‎=(-2+2)=-.‎ ‎11.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.‎ ‎(1)求a与b的夹角θ;‎ ‎(2)求|a+b|;‎ ‎(3)若=a,=b,求△ABC的面积.‎ 解 (1)因为(2a-3b)·(2a+b)=61,‎ 所以4|a|2-4a·b-3|b|2=61.‎ 又|a|=4,|b|=3,‎ 所以64-4a·b-27=61,‎ 所以a·b=-6,‎ 所以cos θ===-.‎ 又0≤θ≤π,所以θ=.‎ ‎(2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2‎ ‎=42+2×(-6)+32=13,‎ 所以|a+b|=.‎ ‎(3)因为与的夹角θ=,‎ 所以∠ABC=π-=.‎ 又||=|a|=4,||=|b|=3,‎ 所以S△ABC=||||·sin∠ABC ‎=×4×3×=3.‎ ‎12.已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,求·(+)的最小值.‎ 解 方法一 设BC的中点为D,AD的中点为E,‎ 则有+=2,‎ 则·(+)=2· ‎=2(+)·(-)‎ ‎=2(2-2).‎ 而2=2=,‎ 当P与E重合时,2有最小值0,‎ 故此时·(+)取最小值,‎ 最小值为-22=-2×=-.‎ 方法二 以AB所在直线为x轴,AB的中点为原点建立平面直角坐标系,如图,‎ 则A(-1,0),B(1,0),C(0,),‎ 设P(x,y),取BC的中点D,‎ 则D.‎ ·(+)=2· ‎=2(-1-x,-y)· ‎=2 ‎=2.‎ 因此,当x=-,y=时,‎ ·(+)取最小值,为2×=-.‎ ‎13.(2018·南宁摸底)已知O是△ABC内部一点,++=0,·=2且∠BAC=60°,则△OBC的面积为(  )‎ A. B. C. D. 答案 A 解析 ∵++=0,‎ ‎∴+=-,‎ ‎∴O为三角形的重心,‎ ‎∴△OBC的面积为△ABC面积的,‎ ‎∵·=2,‎ ‎∴||||cos∠BAC=2,‎ ‎∵∠BAC=60°,∴||||=4,‎ ‎△ABC的面积为||||sin∠BAC=,‎ ‎∴△OBC的面积为,故选A.‎ ‎14.(2019·衡阳模拟)在△ABC中,∠A=120°,·=-3,点G是△ABC的重心,则||的最小值是(  )‎ A. B. C. D. 答案 B 解析 设BC的中点为D,‎ 因为点G是△ABC的重心,‎ 所以==×(+)=(+),‎ 再令||=c,||=b,‎ 则·=bccos 120°=-3,所以bc=6,‎ 所以||2=(||2+2·+||2)‎ ‎=(c2+b2-6)≥(2bc-6)=,‎ 所以||≥,‎ 当且仅当b=c=时取等号,故选B.‎ ‎15.如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥AD,AB=,BC=2,点E为AB的中点,若·=-2,则向量在向量上的投影为________.‎ 答案 - 解析 如图,以BC,BA为x,y轴建立平面直角坐标系,则C(2,0),B(0,0),A(0,),E.‎ 设AD=a,则D(a,),‎ 则=,=(a,),‎ ‎∴·=-2a+1=-2,a=,=,‎ ‎∴·=·(2,0)=-1,‎ ‎∴在方向上的投影是-.‎ ‎16.如图,等边△ABC的边长为2,顶点B,C分别在x轴的非负半轴,y轴的非负半轴上滑动,M为AB的中点,求·的最大值.‎ 解 设∠OBC=θ,‎ 则B,C,‎ A,‎ M,‎ ·=×+2sin×sin ‎=4cos2θ+2cos2-6cos θcos+2sin2 ‎=2+4cos2θ-6cos θcos ‎=2+4cos2θ-6cos θ ‎=2+cos2θ+3sin θcos θ=+cos 2θ+sin 2θ ‎=+sin.‎ ‎∴·的最大值为+.‎

相关文档