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- 2021-06-16 发布
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§5.3 平面向量的数量积
最新考纲
考情考向分析
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.
4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、投影、求模与夹角等问题,考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的垂直关系.一般以选择题、填空题的形式考查,偶尔会在解答题中出现,属于中档题.
1.两个向量的夹角
(1)定义
已知两个非零向量a,b,作=a,=b,则∠AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉.
(2)范围
向量夹角〈a,b〉的范围是[0,π],且〈a,b〉=〈b,a〉.
(3)向量垂直
如果〈a,b〉=,则a与b垂直,记作a⊥b.
2.向量在轴上的正射影
已知向量a和轴l(如图),作=a,过点O,A分别作轴l的垂线,垂足分别为O1,A1,则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影),该射影在轴l上的坐标,称作a在轴l上的
数量或在轴l的方向上的数量.
=a在轴l上正射影的坐标记作al,向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ,则由三角函数中的余弦定义有al=|a|cos θ.
3.向量的数量积
(1)向量的数量积(内积)的定义
|a||b|cos〈a,b〉叫做向量a和b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos〈a,b〉.
(2)向量数量积的性质
①如果e是单位向量,则a·e=e·a=|a|cos〈a,e〉;
②a⊥b⇔a·b=0;
③a·a=|a|2,|a|=;
④cos〈a,b〉= (|a||b|≠0);
⑤|a·b|≤|a||b|.
(3)向量数量积的运算律
①交换律:a·b=b·a.
②对λ∈R,λ(a·b)=(λa)·b=a·(λb).
③分配律:(a+b)·c=a·c+b·c.
(4)向量数量积的坐标运算与度量公式
设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则
①a·b=a1b1+a2b2;
②a⊥b⇔a1b1+a2b2=0;
③|a|=;
④cos〈a,b〉=.
概念方法微思考
1.a在b方向上的正投影与b在a方向上的正投影相同吗?
提示 不相同.因为a在b方向上的正投影为|a|cos θ,而b在a方向上的正投影为|b|cos θ,其中θ为a与b的夹角.
2.两个向量的数量积大于0,则夹角一定为锐角吗?
提示 不一定.当夹角为0°时,数量积也大于0.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)向量在另一个向量方向上的正投影为数量,而不是向量.( √ )
(2)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( √ )
(3)由a·b=0可得a=0或b=0.( × )
(4)(a·b)c=a(b·c).( × )
(5)两个向量的夹角的范围是.( × )
(6)若a·b<0,则a和b的夹角为钝角.( × )
题组二 教材改编
2.已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0,则k=________.
答案 12
解析 ∵2a-b=(4,2)-(-1,k)=(5,2-k),
由a·(2a-b)=0,得(2,1)·(5,2-k)=0,
∴10+2-k=0,解得k=12.
3.已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角θ=120°,则向量b在向量a方向上的正投影为________.
答案 -2
解析 由数量积的定义知,b在a方向上的正投影为
|b|cos θ=4×cos 120°=-2.
题组三 易错自纠
4.已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=________.
答案 2
解析 方法一 |a+2b|=
=
=
==2.
方法二 (数形结合法)
由|a|=|2b|=2知,以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB,如图,则|a+2b|=||.
又∠AOB=60°,所以|a+2b|=2.
5.已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量在方向上的正投影为________.
答案
解析 =(2,1),=(5,5),
由定义知,在方向上的正投影为
==.
6.已知△ABC的三边长均为1,且=c,=a,=b,则a·b+b·c+a·c=________.
答案 -
解析 ∵〈a,b〉=〈b,c〉=〈a,c〉=120°,|a|=|b|=|c|=1,
∴a·b=b·c=a·c=1×1×cos 120°=-,
∴a·b+b·c+a·c=-.
题型一 平面向量数量积的基本运算
1.已知a=(x,1),b=(-2,4),若(a+b)⊥b,则x等于( )
A.8 B.10 C.11 D.12
答案 D
解析 ∵a=(x,1),b=(-2,4),
∴a+b=(x-2,5),
又(a+b)⊥b,
∴(x-2)×(-2)+20=0,
∴x=12.
2.(2018·全国Ⅱ)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)等于( )
A.4 B.3 C.2 D.0
答案 B
解析 a·(2a-b)=2a2-a·b=2|a|2-a·b.
∵|a|=1,a·b=-1,∴原式=2×12+1=3.
3.(2019·铁岭模拟)设D,E为正三角形ABC中BC边上的两个三等分点,且BC=2,则·等于( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 如图,
||=||=2,〈,〉=60°,
∵D,E是边BC的两个三等分点,
∴·=·=·
=||2+·+||2=×4+×2×2×+×4=.
思维升华 平面向量数量积的三种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a·b=|a||b|cos〈a,b〉.
(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.
(3)利用数量积的几何意义求解.
题型二 平面向量数量积的应用
命题点1 求向量的模
例1 (1)(2019·抚顺模拟)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=5,AC=6,D是AB上一点,且·=-5,则||等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 C
解析 如图所示,
设=k,所以=-=k-,
所以·=·(k-)
=k2-·
=25k-5×6×
=25k-15=-5,
解得k=,所以||=||=3.
(2)如果=2,=3,a·b=4,则的值是( )
A.24 B.2
C.-24 D.-2
答案 B
解析 由=2,=3,a·b=4,
得==
==2.
命题点2 求向量的夹角
例2 (1)(2018·通辽质检)设向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a·(a-b)=3,则a与b的夹角为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 由题意得a·(a-b)=a2-a·b
=4-2×1×cos α=4-2cos α=3,
∴cos α=,∵0≤α≤π,∴α=.
(2)已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若e1-e2与e1+λe2的夹角为60°,则实数λ的值是________.
答案
解析 由题意知|e1|=|e2|=1,e1·e2=0,
|e1-e2|=
=
==2.
同理|e1+λe2|=.
所以cos 60°=
=
==,
解得λ=.
思维升华 (1)求解平面向量模的方法
①利用公式|a|=.
②利用|a|=.
(2)求平面向量的夹角的方法
①定义法:cos θ=,θ的取值范围为[0,π].
②坐标法:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则cos θ=.
③解三角形法:把两向量的夹角放到三角形中.
跟踪训练1 (1)(2019·锦州模拟)已知向量a与b的夹角为30°,且|a|=1,|2a-b|=1,则|b|=________.
答案
解析 ∵|2a-b|=1,
∴|2a-b|2=4a2-4a·b+b2=1,
∴4-4|b|cos 30°+b2=1,
整理得|b|2-2|b|+3=(|b|-)2=0,
解得|b|=.
(2)已知|a|=1,|b|=,且a⊥(a-b),则向量a与向量b的夹角为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 ∵a⊥(a-b),
∴a·(a-b)=a2-a·b=1-cos〈a,b〉=0,
∴cos〈a,b〉=,∴〈a,b〉=.
题型三 平面向量与三角函数
例3 已知向量a=,b=,且x∈.
(1)求a·b及|a+b|;
(2)若f(x)=a·b-|a+b|,求f(x)的最大值和最小值.
解 (1)a·b=cos cos -sin ·sin =cos 2x.
∵a+b=,
∴|a+b|=
==2|cos x|.
∵x∈,
∴cos x>0,∴|a+b|=2cos x.
(2)f(x)=cos 2x-2cos x=2cos2x-2cos x-1
=22-.
∵x∈,∴≤cos x≤1,
∴当cos x=时,f(x)取得最小值-;
当cos x=1时,f(x)取得最大值-1.
思维升华 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解.
(2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域等.
跟踪训练2 在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sin x,cos x),x∈.
(1)若m⊥n,求tan x的值;
(2)若m与n的夹角为,求x的值.
解 (1)因为m=,n=(sin x,cos x),m⊥n.
所以m·n=0,即sin x-cos x=0,
所以sin x=cos x,所以tan x=1.
(2)因为|m|=|n|=1,所以m·n=cos =,
即sin x-cos x=,
所以sin=,
因为00”是“a与b的夹角为锐角”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 B
解析 根据向量数量积的定义式可知,若a·b>0,则a与b的夹角为锐角或零角,若a与b的夹角为锐角,则一定有a·b>0,所以“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件,故选B.
2.已知向量a=(1,1),b=(2,-3),若ka-2b与a垂直,则实数k的值为( )
A.1 B.-1
C.2 D.-2
答案 B
解析 向量a=(1,1),b=(2,-3),
则ka-2b=.
若ka-2b与a垂直,则k-4+k+6=0,
解得k=-1.故选B.
3.(2018·乌海模拟)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a-b=(,),则|2a-b|等于( )
A.2 B.
C. D.2
答案 A
解析 根据题意,|a-b|==,
则(a-b)2=a2+b2-2a·b =5-2a·b=5,
可得a·b=0,结合|a|=1,|b|=2,
可得(2a-b)2=4a2+b2-4a·b=4+4=8,
则=2,故选A.
4.(2018·辽阳模拟)非零向量a,b 满足:|a-b|=|a|,a·(a-b)=0,则a-b 与b 夹角θ的大小为( )
A.135° B.120°
C.60° D.45°
答案 A
解析 ∵非零向量a,b满足a·(a-b)=0,
∴a2=a·b,由|a-b|=|a| 可得,
a2-2a·b+b2=a2,解得|b|=|a|,
∴cos θ==
==-,
∴θ=135°,故选A.
5.(2019·丹东模拟)已知两个单位向量a和b的夹角为60°,则向量a-b在向量a方向上的正投影为( )
A.-1 B.1
C.- D.
答案 D
解析 由题意可得 |a|=|b|=1,
且 a·b=|a|×|b|×cos 60°=,
a·(a-b)=a2-a·b=1-=,
则向量a-b在向量a方向上的正投影为
==.故选D.
6.(2018·通辽质检)已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内(含边界)一动点,则·的取值范围是( )
A.[-1,0] B.[-1,2]
C.[-1,3] D.[-1,4]
答案 C
解析 如图所示,
由题意可得,点M所在区域的不等式表示为(x-1)2+(y-1)2≤1(0≤x≤2,0≤y≤2).
可设点M(x,y),
A(0,0),B(2,0).
∴·=(-x,-y)·(2-x,-y)
=-x(2-x)+y2=(x-1)2+y2-1,
由∈[0,2],
∴·∈[-1,3],故选C.
7.(2018·营口模拟)若平面向量a,b满足·b=7,|a|=,|b|=2,则向量a与b的夹角为________.
答案
解析 ∵(a+b)·b=a·b+b2=7,
∴a·b=7-b2=3.
设向量a与b的夹角为α,
则cos α===.
又0≤α≤π,∴α=,
即向量a与b的夹角为.
8.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=,|a+b|=,则a在b方向上的正投影为________.
答案 -
解析 向量a,b满足|a|=1,|b|=,|a+b|=,
∴|a+b|=
===,
解得a·b=-1.
a在b方向上的正投影为==-.
9.如图,在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°,D是BC的中点,则·的值为________.
答案 -17
解析 如图,建立平面直角坐标系,
则C(0,0),A(3,0),B(0,4),D(0,2).
则=(3,-4),=(-3,2).
∴·=3×(-3)-4×2=-17.
10.如图,在△ABC中,AB=3,AC=2,D是边BC的中点,则·=________.
答案 -
解析 利用向量的加减法法则可知,
·=(+)·(-+)
=(-2+2)=-.
11.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.
(1)求a与b的夹角θ;
(2)求|a+b|;
(3)若=a,=b,求△ABC的面积.
解 (1)因为(2a-3b)·(2a+b)=61,
所以4|a|2-4a·b-3|b|2=61.
又|a|=4,|b|=3,
所以64-4a·b-27=61,
所以a·b=-6,
所以cos θ===-.
又0≤θ≤π,所以θ=.
(2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2
=42+2×(-6)+32=13,
所以|a+b|=.
(3)因为与的夹角θ=,
所以∠ABC=π-=.
又||=|a|=4,||=|b|=3,
所以S△ABC=||||·sin∠ABC
=×4×3×=3.
12.已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,求·(+)的最小值.
解 方法一 设BC的中点为D,AD的中点为E,
则有+=2,
则·(+)=2·
=2(+)·(-)
=2(2-2).
而2=2=,
当P与E重合时,2有最小值0,
故此时·(+)取最小值,
最小值为-22=-2×=-.
方法二 以AB所在直线为x轴,AB的中点为原点建立平面直角坐标系,如图,
则A(-1,0),B(1,0),C(0,),
设P(x,y),取BC的中点D,
则D.
·(+)=2·
=2(-1-x,-y)·
=2
=2.
因此,当x=-,y=时,
·(+)取最小值,为2×=-.
13.(2018·南宁摸底)已知O是△ABC内部一点,++=0,·=2且∠BAC=60°,则△OBC的面积为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 ∵++=0,
∴+=-,
∴O为三角形的重心,
∴△OBC的面积为△ABC面积的,
∵·=2,
∴||||cos∠BAC=2,
∵∠BAC=60°,∴||||=4,
△ABC的面积为||||sin∠BAC=,
∴△OBC的面积为,故选A.
14.(2019·衡阳模拟)在△ABC中,∠A=120°,·=-3,点G是△ABC的重心,则||的最小值是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 设BC的中点为D,
因为点G是△ABC的重心,
所以==×(+)=(+),
再令||=c,||=b,
则·=bccos 120°=-3,所以bc=6,
所以||2=(||2+2·+||2)
=(c2+b2-6)≥(2bc-6)=,
所以||≥,
当且仅当b=c=时取等号,故选B.
15.如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥AD,AB=,BC=2,点E为AB的中点,若·=-2,则向量在向量上的投影为________.
答案 -
解析 如图,以BC,BA为x,y轴建立平面直角坐标系,则C(2,0),B(0,0),A(0,),E.
设AD=a,则D(a,),
则=,=(a,),
∴·=-2a+1=-2,a=,=,
∴·=·(2,0)=-1,
∴在方向上的投影是-.
16.如图,等边△ABC的边长为2,顶点B,C分别在x轴的非负半轴,y轴的非负半轴上滑动,M为AB的中点,求·的最大值.
解 设∠OBC=θ,
则B,C,
A,
M,
·=×+2sin×sin
=4cos2θ+2cos2-6cos θcos+2sin2
=2+4cos2θ-6cos θcos
=2+4cos2θ-6cos θ
=2+cos2θ+3sin θcos θ=+cos 2θ+sin 2θ
=+sin.
∴·的最大值为+.