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- 2021-06-16 发布
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第6讲 对数与对数函数
[考纲解读] 1.理解对数的概念及其运算性质,能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数,熟悉对数在简化运算中的作用.
2.理解对数函数的概念及对数函数的相关性质,掌握其图象通过的特殊点.(重点、难点)
3.通过具体实例了解对数函数模型所刻画的数量关系,并体会对数函数是一类重要的函数模型.
4.了解指数函数y=ax(a>0且a≠1)与对数函数y=logax(a>0且a≠1)互为反函数.
[考向预测] 从近三年高考情况来看,本讲为高考中的一个热点.预测2020年高考主要以考查对数函数的单调性的应用、最值、比较大小为主要命题方向,此外,与对数函数有关的复合函数也是一个重要的考查方向,主要以复合函数的单调性、恒成立问题呈现.
1.对数
2.对数函数的图象与性质
续表
3.反函数
指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.
1.概念辨析
(1)log2x2=2log2x.( )
(2)函数y=log2(x+1)是对数函数.( )
(3)函数y=ln 与y=ln (1+x)-ln (1-x)的定义域相同.( )
(4)当x>1时,若logax>logbx,则a0,a≠1,函数y=ax与y=loga(-x)的图象可能是( )
答案 B
解析 y=loga(-x)的定义域是(-∞,0),所以排除A,C;对于选项D,由y=ax的图象知01,矛盾,故排除D.故选B.
(2)设a=log2,b=e,c=ln π,则( )
A.c1,所以a0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中应注意互化.如举例说明3中18b=5的变形.
计算下列各式:
(1)计算(lg 2)2+lg 2·lg 50+lg 25的结果为________;
(2)若lg x+lg y=2lg (2x-3y),则log的值为________;
(3)计算:(log32+log92)·(log43+log83)=________.
答案 (1)2 (2)2 (3)
解析 (1)原式=lg 2(lg 2+lg 50)+lg 52
=lg 2×lg 100+2lg 5=2(lg 2+lg 5)=2lg 10=2.
(2)由已知得lg (xy)=lg (2x-3y)2,
所以xy=(2x-3y)2,整理得4x2-13xy+9y2=0,
即42-13×+9=0,
解得=1或=.
由x>0,y>0,2x-3y>0可得=1,不符合题意,舍去,
所以log=log=2.
(3)原式=·
=·
=·=.
题型 对数函数的图象及应用
1.(2019·青岛模拟)函数f(x)=lg (|x|-1)的大致图象是( )
答案 B
解析 易知f(x)为偶函数,且
f(x)=
当x>1时,y=lg x的图象向右平移1个单位,可得y=lg (x-1)的图象,结合选项可知,f(x)的大致图象是B.
2.当01时,显然不成立;
当01时,图象上升;01和00且a≠1,b>0且b≠1),则函数f(x)=ax与g(x)=-logbx的图象可能是( )
答案 B
解析 因为lg a+lg b=0,所以lg (ab)=0,所以ab=1,即b=,故g(x)=-logbx=-logx=logax,则f(x)与g(x)互为反函数,其图象关于直线y=x对称,结合图象知,B正确.
2.设实数a,b是关于x的方程|lg x|=c的两个不同实数根,且ab>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b
答案 D
解析 因为e=2.71828…>2,所以a=log2e>log22=1;b=ln 2log22=1,又因为a=log2ea>b.
角度2 解对数不等式
2.(2018·银川模拟)设函数f(x)=
若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是( )
A.(-1,0)∪(0,1)
B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-1,0)∪(1,+∞)
D.(-∞,-1)∪(0,1)
答案 C
解析 若a>0,则log2a>loga,即2log2a>0,所以a>1.
若a<0,则log(-a)>log2(-a),即2log2(-a)<0,
所以0<-a<1,-10,且a≠1).
(1)判断f(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)当00,且a≠1,-30,且a≠1,-3logab
借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0b
需先将b化为以a为底的对数式的形式,再借助y=logax的单调性求解
3.解决与对数函数有关的综合问题单调性的步骤
一求
求出函数的定义域
二判
判断对数函数的底数与1的关系,分a>1与0b>1,0b>1,0bc,A错误;
∵0ac-1,又ab>0,∴ab·bc-1>ab·ac-1,即abc>bac,B错误;易知y=logcx是减函数,
∴0>logcb>logca,
∴logbc-logac>0,又a>b>1>0,∴-alogbc>-blogac>0,
∴alogbc1,则f[f(x)]=log2(log2x)≥-2,log2x≥2-2,x≥2=,所以x≥.
③若0