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  • 2021-06-16 发布

【数学】2020届一轮复习人教版(理)第2章第6讲对数与对数函数学案

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第6讲 对数与对数函数 ‎[考纲解读] 1.理解对数的概念及其运算性质,能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数,熟悉对数在简化运算中的作用.‎ ‎2.理解对数函数的概念及对数函数的相关性质,掌握其图象通过的特殊点.(重点、难点)‎ ‎3.通过具体实例了解对数函数模型所刻画的数量关系,并体会对数函数是一类重要的函数模型.‎ ‎4.了解指数函数y=ax(a>0且a≠1)与对数函数y=logax(a>0且a≠1)互为反函数.‎ ‎[考向预测] 从近三年高考情况来看,本讲为高考中的一个热点.预测2020年高考主要以考查对数函数的单调性的应用、最值、比较大小为主要命题方向,此外,与对数函数有关的复合函数也是一个重要的考查方向,主要以复合函数的单调性、恒成立问题呈现.‎ ‎1.对数 ‎2.对数函数的图象与性质 续表 ‎3.反函数 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.‎ ‎1.概念辨析 ‎(1)log2x2=2log2x.(  )‎ ‎(2)函数y=log2(x+1)是对数函数.(  )‎ ‎(3)函数y=ln 与y=ln (1+x)-ln (1-x)的定义域相同.(  )‎ ‎(4)当x>1时,若logax>logbx,则a0,a≠1,函数y=ax与y=loga(-x)的图象可能是(  )‎ 答案 B 解析 y=loga(-x)的定义域是(-∞,0),所以排除A,C;对于选项D,由y=ax的图象知01,矛盾,故排除D.故选B.‎ ‎(2)设a=log2,b=e,c=ln π,则(  )‎ A.c1,所以a0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中应注意互化.如举例说明3中18b=5的变形.                    ‎ 计算下列各式:‎ ‎(1)计算(lg 2)2+lg 2·lg 50+lg 25的结果为________;‎ ‎(2)若lg x+lg y=2lg (2x-3y),则log的值为________;‎ ‎(3)计算:(log32+log92)·(log43+log83)=________.‎ 答案 (1)2 (2)2 (3) 解析 (1)原式=lg 2(lg 2+lg 50)+lg 52‎ ‎=lg 2×lg 100+2lg 5=2(lg 2+lg 5)=2lg 10=2.‎ ‎(2)由已知得lg (xy)=lg (2x-3y)2,‎ 所以xy=(2x-3y)2,整理得4x2-13xy+9y2=0,‎ 即42-13×+9=0,‎ 解得=1或=.‎ 由x>0,y>0,2x-3y>0可得=1,不符合题意,舍去,‎ 所以log=log=2.‎ ‎(3)原式=· ‎=· ‎=·=.‎ 题型  对数函数的图象及应用 ‎1.(2019·青岛模拟)函数f(x)=lg (|x|-1)的大致图象是(  )‎ 答案 B 解析 易知f(x)为偶函数,且 f(x)= 当x>1时,y=lg x的图象向右平移1个单位,可得y=lg (x-1)的图象,结合选项可知,f(x)的大致图象是B.‎ ‎2.当01时,显然不成立;‎ 当01时,图象上升;01和00且a≠1,b>0且b≠1),则函数f(x)=ax与g(x)=-logbx的图象可能是(  )‎ 答案 B 解析 因为lg a+lg b=0,所以lg (ab)=0,所以ab=1,即b=,故g(x)=-logbx=-logx=logax,则f(x)与g(x)互为反函数,其图象关于直线y=x对称,结合图象知,B正确.‎ ‎2.设实数a,b是关于x的方程|lg x|=c的两个不同实数根,且ab>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 答案 D 解析 因为e=2.71828…>2,所以a=log2e>log22=1;b=ln 2log22=1,又因为a=log2ea>b.‎ 角度2 解对数不等式 ‎2.(2018·银川模拟)设函数f(x)= 若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是(  )‎ A.(-1,0)∪(0,1)‎ B.(-∞,-1)∪(1,+∞)‎ C.(-1,0)∪(1,+∞)‎ D.(-∞,-1)∪(0,1)‎ 答案 C 解析 若a>0,则log‎2a>loga,即2log‎2a>0,所以a>1.‎ 若a<0,则log(-a)>log2(-a),即2log2(-a)<0,‎ 所以0<-a<1,-10,且a≠1).‎ ‎(1)判断f(x)的奇偶性,并说明理由;‎ ‎(2)当00,且a≠1,-30,且a≠1,-3logab 借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0b 需先将b化为以a为底的对数式的形式,再借助y=logax的单调性求解 ‎3.解决与对数函数有关的综合问题单调性的步骤 一求 求出函数的定义域 二判 判断对数函数的底数与1的关系,分a>1与0b>1,0b>1,0bc,A错误;‎ ‎∵0ac-1,又ab>0,∴ab·bc-1>ab·ac-1,即abc>bac,B错误;易知y=logcx是减函数,‎ ‎∴0>logcb>logca,‎ ‎∴logbc-logac>0,又a>b>1>0,∴-alogbc>-blogac>0,‎ ‎∴alogbc1,则f[f(x)]=log2(log2x)≥-2,log2x≥2-2,x≥2=,所以x≥.‎ ‎③若0