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- 2021-06-16 发布
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专题六 数列
【真题典例】
6.1 数列的概念及其表示
挖命题
【考情探究】
考点
内容解读
5年考情
预测热度
考题示例
考向
关联考点
数列的有关概念及性质
1.了解数列的概念和几种表示方法
2.了解递推公式的概念及数列前n项和的定义
2018课标Ⅰ,14
求数列的前n项和
等比数列的判定
★☆☆
分析解读 掌握数列的概念和有关的表示方法,了解数列的通项公式、递推公式,了解数列的通项公式与前n项和之间的关系,知道数列是自变量为正整数的一类函数.培养学生的创新能力、抽象概括能力.本节内容在高考中分值约为5分.属于中低档题.北京近八年高考没有对本节内容进行直接命题,而是与后面的内容结合在一起考查.
破考点
【考点集训】
考点 数列的有关概念及性质
1.在数列{an}中,a1=0,an+1=3+an1-3an,则a2 016=( )
A.23 B.3 C.0 D.-3
答案 D
2.已知数列{an}满足a1=1,且an=n(an+1-an)(n∈N*),则a2= ;an= .
答案 2;n
3.已知数列{an}满足an=3an-1+3n-1(n∈N*,n≥2),且a1=5,则an= .
答案 (n+4)·3n-1
4.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=an+1-2n+2,a2=2,则an= .
答案 2,n=12n-2,n>1
炼技法
【方法集训】
方法1 利用an与Sn的关系求通项
1.已知数列{an}的前n项和为Sn,若3Sn=2an-3n,则a2 018=( )
A.22 018-1 B.32 018-6 C.122 018-72 D.132 018-103
答案 A
2.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-1,则S6a6=( )
A.6332 B.3116 C.12364 D.127128
答案 A
3.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=(n+1)an2,则a2 017=( )
A.2 016 B.2 017 C.4 032 D.4 034
答案 B
4.已知Sn为数列{an}的前n项和,且log2(Sn+1)=n+1,则数列{an}的通项公式为 .
答案 an=3,n=12n,n≥2
方法2 利用递推关系求数列的通项
5.已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+1(n∈N*),Sn为其前n项和,则S5的值为( )
A.57 B.61 C.62 D.63
答案 A
6.在数列{an}中,a1=1,an+1=2anan+2,则数列{an}的通项an= .
答案 2n+1
7.已知数列{an}的前n项之和为Sn,若a1=2,an+1=an+2n-1+1,则S10= .
答案 1 078
过专题
【五年高考】
统一命题、省(区、市)卷题组
1.(2018课标Ⅰ,14,5分)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6= .
答案 -63
2.(2016浙江,13,6分)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则a1= ,S5= .
答案 1;121
3.(2015课标Ⅱ,16,5分)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn= .
答案 -1n
4.(2016课标Ⅲ,17,12分)已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,an2-(2an+1-1)an-2an+1=0.
(1)求a2,a3;
(2)求{an}的通项公式.
解析 (1)由题意得a2=12,a3=14.
(2)由an2-(2an+1-1)an-2an+1=0得2an+1(an+1)=an(an+1).
因为{an}的各项都为正数,所以an+1an=12.
故{an}是首项为1,公比为12的等比数列,因此an=12n-1.
评析本题主要考查了数列的递推公式及等比数列的定义,属基础题.
C组 教师专用题组
1.(2013课标Ⅰ,14,5分)若数列{an}的前n项和Sn=23an+13,则{an}的通项公式是an= .
答案 (-2)n-1
2.(2013安徽,14,5分)如图,互不相同的点A1,A2,…,An,…和B1,B2,…,Bn,…分别在角O的两条边上,所有AnBn相互平行,且所有梯形AnBnBn+1An+1的面积均相等.设OAn=an.若a1=1,a2=2,则数列{an}的通项公式是 .
答案 an=3n-2
3.(2014大纲全国,17,10分)数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.
(1)设bn=an+1-an,证明{bn}是等差数列;
(2)求{an}的通项公式.
解析 (1)证明:由an+2=2an+1-an+2得,
an+2-an+1=an+1-an+2,即bn+1=bn+2.
又b1=a2-a1=1.
所以{bn}是首项为1,公差为2的等差数列.
(2)由(1)得bn=1+2(n-1),即an+1-an=2n-1.
于是∑k=1n(ak+1-ak)=∑k=1n(2k-1),
所以an+1-a1=n2,即an+1=n2+a1.
又a1=1,所以{an}的通项公式为an=n2-2n+2.
【三年模拟】
一、选择题(每小题5分,共15分)
1.(2017北京西城一模,7)若数列{an}的通项公式为an=|n-c|(n∈N*),则“c≤1”是“{an}为递增数列”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A
2.(2019届北京海淀期中文,7)数列{an}的通项公式为an=n+an,若数列{an}单调递增,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,0] B.[0,+∞) C.(-∞,2) D.[1,+∞)
答案 C
3.(2019届北京朝阳期中,8)将正奇数数列1,3,5,7,9,…依次按两项、三项分组,得到分组序列如下:(1,3),(5,7,9),(11,13),(15,17,19),…,称(1,3)为第1组,(5,7,9)为第2组,依此类推,则原数列中的2 019位于分组序列中的( )
A.第404组 B.第405组 C.第808组 D.第809组
答案 A
二、填空题(每小题5分,共35分)
4.(2017北京海淀期末,10)已知数列{an}满足an+1-an=2,n∈N*,且a3=3,则a1= ,其前n项和Sn= .
答案 -1;n2-2n
5.(2017北京石景山一模,10)在数列{an}中,a1=1,an·an+1=-2(n=1,2,3,…),那么a8等于 .
答案 -2
6.(2019届北京杨镇一中10月月考文,12)已知数列{an}的通项公式为an=n2-an(n∈N*),若{an}是递增数列,则实数a的取值范围是 .
答案 a<3
7.(2019届北京人大附中期中,13)无穷数列{an}由k个不同的数组成,Sn为{an}的前n项和.若对任意n∈N*,Sn∈{2,3},则k的最大值为 .
答案 4
8.(2019届北京潞河中学10月月考文,12)数列{an}中,如果an+1=an-32(n∈N*),且a1=12,那么数列{an}的前5项的和S5的值为 .
答案 -252
9.(2018北京朝阳期末,12)已知数列{an}满足an+1=an-an-1(n≥2),a1=p,a2=q(p,q∈R).设Sn=∑i=1nai,则a10= ;S2 018= .(用含p,q的式子表示)
答案 -p;p+q
10.(2018北京朝阳一模,13)等比数列{an}满足如下条件:
①a1>0;②数列{an}的前n项和Sn<1.
试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式: .
答案 an=12n(答案不唯一)