【数学】2018届一轮复习人教A版1-3简单逻辑联结词、全称量词与特称量词学案 13页

‎ ‎ ‎1．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断 p q p∧q p∨q 綈p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 ‎2.全称量词和存在量词 量词名词 常见量词 表示符号 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个、任给等 ‎∀‎ 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 ‎∃‎ ‎3.全称命题和特称命题 命题名称 命题结构 命题简记 全称命题 对M中任意一个x，有p(x)成立 ‎∀x∈M，p(x)‎ 特称命题 存在M中的一个x0，使p(x0)成立 ‎∃x0∈M，p(x0)‎ ‎4.含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 ‎∀x∈M，p(x)‎ ‎∃x0∈M，綈p(x0)‎ ‎∃x0∈M，p(x0)‎ ‎∀x∈M，綈p(x)‎ ‎【知识拓展】‎ ‎1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律 ‎(1)p∨q：p、q中有一个为真，则p∨q为真，即有真为真；‎ ‎(2)p∧q：p、q中有一个为假，则p∧q为假，即有假即假；‎ ‎(3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．‎ ‎2．含一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)命题p∧q为假命题，则命题p、q都是假命题．(　×　)‎ ‎(2)命题p和綈p不可能都是真命题．(　√　)‎ ‎(3)若命题p、q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．(　√　)‎ ‎(4)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题．(　×　)‎ ‎(5)“长方形的对角线相等”是特称命题．(　×　)‎ ‎(6)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．(　×　)‎ ‎1．设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x＝对称，则下列判断正确的是(　　)‎ A．p为真 B．綈q为假 C．p∧q为假 D．p∨q为真 答案　C 解析　函数y＝sin 2x的最小正周期为＝π，故命题p为假命题；x＝不是y＝cos x的对称轴，命题q为假命题，故p∧q为假．故选C.‎ ‎2．已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　綈p为真知p为假，可得p∧q为假；反之，若p∧q为假，则可能是p真q假，从而綈p为假，故“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件，故选A.‎ ‎3．(教材改编)下列命题中， 为真命题的是(　　)‎ A．∀x∈R，－x2－1<0‎ B．∃x0∈R，x＋x0＝－1‎ C．∀x∈R，x2－x＋>0‎ D．∃x0∈R，x＋2x0＋2<0‎ 答案　A ‎4．(2017·西安调研)命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是(　　)‎ A．全等三角形的面积不一定都相等 B．不全等三角形的面积不一定都相等 C．存在两个不全等三角形的面积相等 D．存在两个全等三角形的面积不相等 答案　D 解析　命题是省略量词的全称命题，易知选D.‎ ‎5．(2015·山东)若“∀x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．‎ 答案　1‎ 解析　∵函数y＝tan x在上是增函数，‎ ‎∴ymax＝tan ＝1.‎ 依题意，m≥ymax，即m≥1.‎ ‎∴m的最小值为1.‎ 题型一　含有逻辑联结词的命题的真假判断 例1　(1)已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是(　　)‎ A．p∧q B．(綈p)∧(綈q)‎ C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)‎ ‎(2)(2016·聊城模拟)若命题“p∨q”是真命题，“綈p为真命题”，则(　　)‎ A．p真，q真 B．p假，q真 C．p真，q假 D．p假，q假 答案　(1)D　(2)B 解析　(1)∵p是真命题，q是假命题，‎ ‎∴p∧(綈q)是真命题．‎ ‎(2)∵綈p为真命题，∴p为假命题，‎ 又p∨q为真命题，∴q为真命题．‎ 思维升华　“p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤 ‎(1)确定命题的构成形式；‎ ‎(2)判断其中命题p、q的真假；‎ ‎(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假．‎ ‎　已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是(　　)‎ A．①③ B．①④‎ C．②③ D．②④‎ 答案　C 解析　当x>y时，－x<－y，‎ 故命题p为真命题，从而綈p为假命题．‎ 当x>y时，x2>y2不一定成立，‎ 故命题q为假命题，从而綈q为真命题．‎ 由真值表知：①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧(綈q)为真命题；④(綈p)∨q为假命题，‎ 故选C.‎ 题型二　含有一个量词的命题 命题点1　全称命题、特称命题的真假 例2　不等式组的解集记为D，有下面四个命题：p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2，p2：∃(x，y)∈D, x＋2y≥2，p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3，p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.‎ 其中的真命题是(　　)‎ A．p2，p3 B．p1，p4‎ C．p1，p2 D．p1，p3‎ 答案　C 解析　画出不等式组的可行域D如图阴影部分所示，两直线交于点A(2，－1)，设直线l0的方程为x＋2y＝0.由图象可知，∀(x，y)∈D，x＋2y≥0，故p1为真命题，p2为真命题，p3，p4为假命题．‎ 命题点2　含一个量词的命题的否定 例3　(1)命题“∃x0∈R，x－2x0>0”的否定是(　　)‎ A．∀x∈R，x2－2x<0‎ B．∃x0∈R，x－2x0≥0‎ C．∀x∈R，x2－2x≤0‎ D．∃x0∈R，x－2x0<0‎ ‎(2)(2015·浙江)命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(　　)‎ A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)＞n B．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)＞n C．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)＞n0‎ D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)＞n0‎ 答案　(1)C　(2)D 解析　(1)将“∃”改为“∀”，对结论中的“>”进行否定，可知C正确．‎ ‎(2)由全称命题与特称命题之间的互化关系知选D.‎ 思维升华　(1)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x＝x0，使p(x0)成立．‎ ‎(2)对全(特)称命题进行否定的方法 ‎①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词．‎ ‎②对原命题的结论进行否定．‎ ‎　(1)下列命题是假命题的是(　　)‎ A．∃α，β∈R，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β B．∀φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数 C．∃x0∈R，使x＋ax＋bx0＋c＝0(a，b，c∈R且为常数)‎ D．∀a>0，函数f(x)＝ln2x＋ln x－a有零点 ‎(2)(2017·福州质检)已知命题p：“∃x0∈R，”，则綈p为(　　)‎ A．∃x0∈R，‎ B．∃x0∈R，‎ C．∀x∈R，ex－x－1>0‎ D．∀x∈R，ex－x－1≥0‎ 答案　(1)B　(2)C 解析　(1)取α＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，A正确；‎ 取φ＝时，函数f(x)＝sin(2x＋)＝cos 2x是偶函数，B错误；‎ 对于三次函数y＝f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，当x→－∞时，y→－∞，当x→＋∞时，y→＋∞，又f(x)在R上为连续函数，故∃x0∈R，使x＋ax＋bx0＋c＝0，C正确；‎ 当f(x)＝0时，ln2x＋ln x－a＝0，则有a＝ln2x＋ln x＝(ln x＋)2－≥－，所以∀a>0，函数f(x)＝ln2x＋ln x－a有零点，D正确，综上可知选B.‎ ‎(2)根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p为“∀x∈R，ex－x－1>0”，故选C.‎ 题型三　含参数命题中参数的取值范围 例4　(1)已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数，若p∧q是真命题，则实数a的取值范围是________________．‎ ‎(2)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝()x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．[，＋∞) B．(－∞，]‎ C．[，＋∞) D．(－∞，－]‎ 答案　(1)[－12，－4]∪[4，＋∞)　(2)A 解析　(1)若命题p是真命题，则Δ＝a2－16≥0，‎ 即a≤－4或a≥4；若命题q是真命题，‎ 则－≤3，即a≥－12.‎ ‎∵p∧q是真命题，∴p，q均为真，‎ ‎∴a的取值范围是[－12，－4]∪[4，＋∞)．‎ ‎(2)当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时，‎ g(x)min＝g(2)＝－m，由f(x)min≥g(x)min，‎ 得0≥－m，所以m≥，故选A.‎ 引申探究 本例(2)中，若将“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是________________．‎ 答案　[，＋∞)‎ 解析　当x∈[1,2]时，g(x)max＝g(1)＝－m，‎ 由f(x)min≥g(x)max，得0≥－m，‎ ‎∴m≥.‎ 思维升华　(1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围；(2)含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．‎ ‎　(1)已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥ex”，命题q：“∃x0∈R，x＋4x0＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(4，＋∞) B．[1,4]‎ C．[e,4] D．(－∞，－1)‎ ‎(2)已知函数f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝log2x＋m，对任意的x1，x2∈[1,4]有f(x1)>g(x2)恒成立，则实数m的取值范围是________________．‎ 答案　(1)C　(2)(－∞，0)‎ 解析　(1)由题意知p与q均为真命题，由p为真，可知a≥e，由q为真，知x2＋4x＋a＝0有解，则Δ＝16－4a≥0，∴a≤4.综上可知e≤a≤4.‎ ‎(2)f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，‎ 当x∈[1,4]时，f(x)min＝f(1)＝2，g(x)max＝g(4)＝2＋m，则f(x)min>g(x)max，即2>2＋m，解得m<0，故实数m的取值范围是(－∞，0)．‎ ‎1．常用逻辑用语 考点分析 有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等以下.解决这类问题应熟练把握各类内在联系.‎ 一、命题的真假判断 典例1　(1)已知命题p：∃x0∈R，x＋1<2x0；命题q：若mx2－mx－1<0恒成立，则－45”是“x2－4x－5>0”的充分不必要条件；‎ ‎③命题p：∃x0∈R，x＋x0－1<0，则綈p：∀x∈R，x2＋x－1≥0；‎ ‎④命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2－3x＋2≠0”．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 解析　(1)由于x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，‎ 即x2＋1≥2x，所以p为假命题；‎ 对于命题q，当m＝0时，－1<0恒成立，‎ 所以命题q为假命题．‎ 综上可知，綈p为真命题，‎ p∧q为假命题，p∨q为假命题，故选C.‎ ‎(2)对于①，若p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真，即可能有一个为假，所以p∧q不一定为真命题，所以①错误；对于②，由x2－4x－5>0可得x>5或x<－1，所以“x>5”是“x2－4x－5>0”的充分不必要条件，所以②正确；对于③，根据特称命题的否定为全称命题，可知③正确；对于④，命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2，则x2－3x＋2≠0”，所以④错误，所以错误命题的个数为2，故选B.‎ 答案　(1)C　(2)B 二、求参数的取值范围 典例2　(1)已知p：x≥k，q：<1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是(　　)‎ A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)‎ C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]‎ ‎(2)(2016·郑州一模)已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈[，3]，∃x2∈[2,3]使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．a≤1 B．a≥1‎ C．a≤0 D．a≥0‎ 解析　(1)由<1，得－1＝<0，‎ 即(x－2)(x＋1)>0，‎ 解得x<－1或x>2，由p是q的充分不必要条件，知k>2，故选B.‎ ‎(2)∵x∈[，3]，∴f(x)≥2 ＝4，当且仅当x＝2时，f(x)min＝4，当x∈[2,3]时，g(x)min＝22＋a＝4＋a，依题意f(x)min≥g(x)min，∴a≤0，故选C.‎ 答案　(1)B　(2)C 三、利用逻辑推理解决实际问题 典例3　(1)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，‎ 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；‎ 乙说：我没去过C城市；‎ 丙说：我们三人去过同一城市．‎ 由此可判断乙去过的城市为________．‎ ‎(2)对于中国足球参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测：‎ 甲：中国非第一名，也非第二名；‎ 乙：中国非第一名，而是第三名；‎ 丙：中国非第三名，而是第一名．‎ 竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名．‎ 解析　(1)由题意可推断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过A城市，由此可知，乙去过的城市为A.‎ ‎(2)由题意可知：甲、乙、丙均为“p且q”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国足球队得了第一名．‎ 答案　(1)A　(2)一 ‎1．命题p：若sin x>sin y，则x>y；命题q：x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是(　　)‎ A．p∨q B．p∧q C．q D．綈p 答案　B 解析　命题p假，q真，故命题p∧q为假命题．‎ ‎2．下列命题中，真命题是(　　)‎ A．∀x∈R，x2>0 B．∀x∈R，－10，故C错，D正确．‎ ‎3．(2017·西安质检)已知命题p：∃x0∈R，则(　　)‎ A．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0‎ B．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0‎ C．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0‎ D．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0‎ 答案　B 解析　∵3x>0，∴3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0，∴p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0，故选B.‎ ‎4．(2016·河北邯郸收官考试)已知p：∀x∈R，x2－x＋1>0，q：∃x0∈(0，＋∞)，sin x0>1，则下列命题为真命题的是(　　)‎ A．p∨(綈q) B．(綈p)∨q C．p∧q D．(綈p)∧(綈q)‎ 答案　A 解析　因为x2－x＋1＝(x－)2＋>0恒成立，所以命题p是真命题；∀x∈R，sin x≤1，所以命题q是假命题，所以p∨(綈q)是真命题，故选A.‎ ‎5．下列命题中的假命题是(　　)‎ A．∀x∈R,2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0‎ C．∃x0∈R，lg x0<1 D．∃x0∈R，tan＝5‎ 答案　B 解析　A项，∵x∈R，∴x－1∈R，由指数函数性质得2x－1>0；B项，∵x∈N*，∴当x＝1时，(x－1)2＝0与(x－1)2>0矛盾；C项，当x0＝时，lg ＝－1<1；D项，当x∈R时，tan x∈R，∴∃x0∈R，tan＝5.‎ ‎6．(2016·开封一模)已知命题p1：∀x∈(0，＋∞)，有3x>2x，p2：∃θ∈R，sin θ＋cos θ＝，则在命题q1：p1∨p2；q2：p1∧p2；q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命题是(　　)‎ A．q1，q3 B．q2，q3‎ C．q1，q4 D．q2，q4‎ 答案　C 解析　因为y＝()x在R上是增函数，即y＝()x>1在(0，＋∞)上恒成立，所以p1是真命题；sin θ＋cos θ＝sin(θ＋)≤，所以命题p2是假命题，綈p2是真命题，所以命题q1：p1∨p2，q4：p1∧(綈p2)是真命题，选C.‎ ‎7．已知命题“∃x0∈R，使2x＋(a－1)x0＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－1) B．(－1,3)‎ C．(－3，＋∞) D．(－3,1)‎ 答案　B 解析　依题意可知“∀x∈R,2x2＋(a－1)x＋>0”为真命题，所以Δ＝(a－1)2－4×2×<0，即(a＋1)(a－3)<0，解得－10)，若∃x0∈R，使得∀x1∈[1,2]都有f(x1)0)，‎ 当x∈(0，a)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；‎ 故f(x)max＝f(a)，∃x0∈R，使得∀x1∈[1,2]都有f(x1)f(x1)对∀x1∈[1,2]恒成立，故a∉[1,2]，所以实数a的取值范围是(0,1)∪(2，＋∞)，选D.‎ ‎9．以下四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．4‎ 答案　A 解析　∵x2－3x＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，‎ ‎∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，‎ ‎∴①为假命题；‎ 当且仅当x＝±时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题；‎ 对∀x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题；‎ ‎4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，‎ 即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，‎ ‎∴④为假命题．‎ ‎∴①②③④均为假命题．‎ ‎10．(2016·成都模拟)已知函数f(x)的定义域为(a，b)，若“∃x0∈(a，b)，f(x0)＋f(－x0)≠0”是假命题，则f(a＋b)＝________.‎ 答案　0‎ 解析　若“∃x0∈(a，b)，f(x0)＋f(－x0)≠0”是假命题，则“∀x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)＝0”是真命题，即f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数，则a＋b＝0，即f(a＋b)＝0.‎ ‎11．下列结论：‎ ‎①若命题p：∃x0∈R，tan x0＝1；命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0.则命题“p∧(綈q)”是假命题；‎ ‎②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3；‎ ‎③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题是：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．‎ 其中正确结论的序号为________．‎ 答案　①③‎ 解析　①中命题p为真命题，命题q为真命题，‎ 所以p∧(綈q)为假命题，故①正确；‎ ‎②当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；‎ ‎③正确，所以正确结论的序号为①③.‎ ‎12．已知命题p：x2＋2x－3>0；命题q：>1，若“(綈q)∧p”为真，则x的取值范围是________________．‎ 答案　(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)‎ 解析　因为“(綈q)∧p”为真，即q假p真，而q为真命题时，<0，即20，解得x>1或x<－3，由得x≥3或1＜x≤2或x<－3，‎ 所以x的取值范围是{x|x≥3或1＜x≤2或x＜－3}．‎ ‎13．(2017·江西五校联考)已知命题p：∃x0∈R，(m＋1)·(x＋1)≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立．若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为______________．‎ 答案　(－∞，－2]∪(－1，＋∞)‎ 解析　由命题p：∃x0∈R，(m＋1)(x＋1)≤0可得m≤－1，由命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，可得－2－1.‎ ‎14．已知命题p：“∀x∈R，∃m∈R,4x－2x＋1＋m＝0”，若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围是________. ‎ 答案　(－∞，1]‎ 解析　若綈p是假命题，则p是真命题，‎ 即关于x的方程4x－2·2x＋m＝0有实数解，‎ 由于m＝－(4x－2·2x)＝－(2x－1)2＋1≤1，‎ ‎∴m≤1.‎ ‎*15.已知函数f(x)＝(x≥2)，g(x)＝ax(a>1，x≥2)．‎ ‎(1)若∃x0∈[2，＋∞)，使f(x0)＝m成立，则实数m的取值范围为________________；‎ ‎(2)若∀x1∈[2，＋∞)，∃x2∈[2, ＋∞)使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围为________________．‎ 答案　(1)[3，＋∞)　(2)(1，]‎ 解析　(1)因为f(x)＝＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时等号成立，所以若∃x0∈[2，＋∞)，使f(x0)＝m成立，则实数m的取值范围为[3，＋∞)．‎ ‎(2)因为当x≥2时，f(x)≥3，g(x)≥a2，若∀x1∈[2，＋∞)，∃x2∈[2，＋∞)使得f(x1)＝g(x2)，则解得a∈(1，]．‎