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- 2021-06-16 发布
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§5.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
最新考纲
考情考向分析
了解函数y=Asin(ωx+φ)的实际意义,掌握y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数A,ω,φ对函数图象变化的影响.
以考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象的五点法画图、图象之间的平移伸缩变换以及由图象求函数解析式为主,常与三角函数的性质、三角恒等变换结合起来进行综合考查,加强数形结合思想的应用意识.题型为选择题和填空题,中档难度.
1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念
y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x≥0
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T=
f==
ωx+φ
φ
2.用五点法画y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)一个周期内的简图时,要找五个特征点
如下表所示:
x
ωx+φ
0
π
2π
y=Asin(ωx+φ)
0
A
0
-A
0
3.函数y=sinx的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种途径
概念方法微思考
1.怎样从y=sinωx的图象变换得到y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的图象?
提示 向左平移个单位长度.
2.函数y=sin(ωx+φ)图象的对称轴是什么?
提示 x=+-(k∈Z).
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y=sin的图象是由y=sin的图象向右平移个单位长度得到的.( √ )
(2)将函数y=sinωx的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到函数y=sin(ωx-φ)的图象.( × )
(3)函数y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为T,那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.( √ )
(4)函数y=sinx的图象上各点纵坐标不变,横坐标缩短为原来的,所得图象对应的函数解析式为y=sinx.( × )
题组二 教材改编
2.[P55T2]为了得到函数y=2sin的图象,可以将函数y=2sin2x的图象向________平移________个单位长度.
答案 右
3.[P56T3]y=2sin的振幅、频率和初相分别为__________________.
答案 2,,-
题组三 易错自纠
4.(2018·嘉兴第一中学期中考试)为了得到函数y=sin的图象,可以将函数y=cos2x的图象( )
A.向右平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
答案 A
解析 y=sin=cos
=cos=cos,
故把函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度得到函数y=sin的图象.
5.将函数y=2sin的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为________________.
答案 y=2sin
解析 函数y=2sin的周期为π,将函数y=2sin的图象向右平移个周期,即个单位长度,
所得函数为y=2sin=2sin.
6.y=cos(x+1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________.
答案
解析 相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2,横坐标之差恰为半个周期π,故它们之间的距离为.
7.若函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,则f的值为________.
答案
解析 由题干图象可知A=2,T=-=,
∴T=π,∴ω=2,∵当x=时,函数f(x)取得最大值,
∴2×+φ=+2kπ(k∈Z),∴φ=+2kπ(k∈Z),
又0<φ<π,∴φ=,∴f(x)=2sin,
则f=2sin=2cos=.
题型一 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
例1已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的最小正周期是π,且当x=时,f(x)取得最大值2.
(1)求f(x)的解析式;
(2)作出f(x)在[0,π]上的图象(要列表).
解 (1)因为函数f(x)的最小正周期是π,所以ω=2.
又因为当x=时,f(x)取得最大值2.
所以A=2,
同时2×+φ=2kπ+,k∈Z,
φ=2kπ+,k∈Z,
因为-<φ<,
所以φ=,
所以函数y=f(x)的解析式为f(x)=2sin.
(2)因为x∈[0,π],所以2x+∈,
列表如下:
2x+
π
2π
x
0
π
f(x)
1
2
0
-2
0
1
描点、连线得图象:
引申探究
在本例条件下,若将函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,且y=g(x)是偶函数,求m的最小值.
解 由已知得y=g(x)=f(x-m)=2sin=2sin是偶函数,所以2m-=(2k+1),k∈Z,m=+,k∈Z,
又因为m>0,所以m的最小值为.
思维升华 (1)y=Asin(ωx+φ)的图象可用“五点法”作简图得到,可通过变量代换z=ωx+φ计算五点坐标.
(2)由函数y=sinx的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象有两条途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
跟踪训练1 (1)把函数y=sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把图象向右平移个单位长度,所得图象的函数解析式为________________.
答案 y=sin
解析 把函数y=sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,得到函数y=sin2x的图象,再把该函数图象向右平移个单位长度,得到函数y=sin2=sin的图象.
(2)已知函数f(x)=sin(0<ω<2)满足条件:f=0,为了得到函数y=f(x
)的图象,可将函数g(x)=cosωx的图象向右平移m(m>0)个单位长度,则m的最小值为( )
A.1B.C.D.
答案 A
解析 由题意得sin=0,即-ω+=kπ(k∈Z),则ω=-2kπ(k∈Z),结合0<ω<2,得ω=,所以f(x)=sin=cos=cos,所以只需将函数g(x)=cosx的图象向右至少平移1个单位长度,即可得到函数y=f(x)的图象,故选A.
题型二 由图象确定y=Asin(ωx+φ)的解析式
例2(1)若函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则y=________________.
答案 2sin
解析 由题图可知,A=2,T=2=π,所以ω=2,由五点作图法可知2×+φ=,所以φ=-,所以函数的解析式为y=2sin.
(2)已知函数f(x)=sin(ωx+φ) 的部分图象如图所示,则y=f取得最小值时x的集合为________.
答案
解析 根据所给图象,周期T=4×=π,故π=,∴ω=2,因此f(x)=sin(2x+φ),另外图象经过点,代入有2×+φ=π+2kπ(k∈Z),
再由|φ|<,得φ=-,∴f(x)=sin,
∴f=sin,
当2x+=-+2kπ(k∈Z),即x=-+kπ(k∈Z)时,y=f取得最小值.
思维升华y=Asin(ωx+φ)中φ的确定方法
(1)代入法:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.
(2)五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.
跟踪训练2已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B的部分图象如图所示,将函数f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,得到函数g(x)的图象关于点对称,则m的值可能为( )
A.B.C.D.
答案 D
解析 依题意得解得
==-=,
故ω=2,则f(x)=sin(2x+φ)+.
又f=sin+=,
故+φ=+2kπ(k∈Z),即φ=+2kπ(k∈Z).
因为|φ|<,故φ=,
所以f(x)=sin+.
将函数f(x)的图象向左平移m个单位长度后得到g(x)=sin+的图象,又函数g(x)的图象关于点对称,即h(x)=sin的图象关于点
对称,故sin=0,即+2m=kπ(k∈Z),故m=-(k∈Z).令k=2,则m=.
题型三 三角函数图象、性质的综合应用
命题点1 图象与性质的综合问题
例3(2018·浙江省知名重点中学联考)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+h(A>0,ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)的单调递增区间.
解 (1)由三角函数的图象可知,
得
设函数f(x)的最小正周期为T,则由题意得=-,所以T=π,
所以=π,解得ω=2.
因为函数f(x)的图象过点,且0<φ<,
所以2=sin+1,解得φ=.
所以函数f(x)的解析式为f(x)=sin+1.
(2)由(1)知,f(x)=sin+1,
因为将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)图象,
所以g(x)=sin+1=sin+1.
由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
所以函数g(x)的单调递增区间为,k∈Z.
命题点2 函数零点(方程根)问题
例4已知关于x的方程2sin2x-sin2x+m-1=0在上有两个不同的实数根,则m的取值范围是____________.
答案 (-2,-1)
解析 方程2sin2x-sin2x+m-1=0可转化为
m=1-2sin2x+sin2x=cos2x+sin2x
=2sin,x∈.
设2x+=t,则t∈,
∴题目条件可转化为=sint,t∈有两个不同的实数根.
∴y1=和y2=sint,t∈的图象有两个不同交点,如图:
由图象观察知,的取值范围是,
故m的取值范围是(-2,-1).
引申探究
本例中,若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”,则m的取值范围是__________.
答案 [-2,1)
解析 由上例题知,的取值范围是,
∴-2≤m<1,∴m的取值范围是[-2,1).
思维升华 (1)研究y=Asin(ωx+φ)的性质时可将ωx+φ视为一个整体,利用换元法和数形结合思想进行解题.
(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.
跟踪训练3 (1)将函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移个单位长度后关于原点对称,则函数f(x)在上的最小值为( )
A.- B.-
C. D.
答案 A
解析 将函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移个单位长度得到y=sin=sin的图象,该图象关于原点对称,即为奇函数,则+φ=kπ(k∈Z),又|φ|<,所以φ=-,即f(x)=sin.当x∈时,2x-∈,所以当2x-=-,即x=0时,f(x)取得最小值,最小值为-.
(2)若函数f(x)=sin(ω>0)满足f(0)=f,且函数在上有且只有一个零点,则f(x)的最小正周期为________.
答案 π
解析 ∵f(0)=f,∴x=是f(x)图象的一条对称轴,∴f=±1,∴×ω+=+kπ,k∈Z,
∴ω=6k+2,k∈Z,∴T=(k∈Z).
又f(x)在上有且只有一个零点,
∴<≤-,∴0)的最小正周期是π,则其图象向右平移个单位长度后对应函数的单调递减区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案 B
解析 由题意知ω==2,将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)=cos=cos=sin2x的图象,由2kπ+≤2x≤2kπ+(k∈Z),解得所求函数的单调递减区间为(k∈Z).
4.函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x
)的单调递增区间为( )
A.[-1+4kπ,1+4kπ](k∈Z)
B.[-3+8kπ,1+8kπ](k∈Z)
C.[-1+4k,1+4k](k∈Z)
D.[-3+8k,1+8k](k∈Z)
答案 D
解析 由题图知,T=4×(3-1)=8,所以ω==,所以f(x)=sin.把(1,1)代入,得sin=1,即+φ=+2kπ(k∈Z),又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=sin.由2kπ-≤x+≤2kπ+(k∈Z),得8k-3≤x≤8k+1(k∈Z),所以函数f(x)的单调递增区间为[8k-3,8k+1](k∈Z).
5.若函数y=sin(ωx-φ)在区间上的图象如图所示,则ω,φ的值分别是( )
A.ω=2,φ= B.ω=2,φ=-
C.ω=,φ= D.ω=,φ=-
答案 A
解析 由题图可知,T=2=π,
所以ω==2,又sin=0,
所以-φ=2kπ(k∈Z),
即φ=-2kπ(k∈Z),
又|φ|<,所以φ=,故选A.
6.将函数f(x)=sin(x+φ)的图象向左平移个单位长度后是奇函数,则函数f(x)在上的最小值为( )
A.-B.-C.D.
答案 A
解析 将函数f(x)=sin(x+φ)的图象向左平移个单位长度得到y=sin的图象,该函数为奇函数,则+φ=kπ(k∈Z),又|φ|<,所以φ=-,即f(x)=sin.当x∈时,x-∈,所以当x-=-,即x=0时,f(x)取得最小值,最小值为-.
7.已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f=________.
答案
解析 由题干图象知=2×=,所以ω=2.
因为2×+φ=kπ+(k∈Z),
所以φ=kπ+(k∈Z),
又|φ|<,所以φ=,这时f(x)=Atan.
又函数图象过点(0,1),代入上式得A=1,所以f(x)=tan.所以f=tan=.
8.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,又x1,x2∈,且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)=________.
答案
解析 由题图可知,=-=,
则T=π,ω=2,又=,
所以f(x)的图象过点,即sin=1,
所以2×+φ=+2kπ,k∈Z,
又|φ|<,可得φ=,所以f(x)=sin.
由f(x1)=f(x2),x1,x2∈,
可得x1+x2=-+=,
所以f(x1+x2)=f=sin=sin=.
9.(2018·“七彩阳光”联盟期初联考)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象过点,若f(x)≤f对x∈R恒成立,则ω的值为__________;当ω最小时,函数g(x)=f-在区间[0,22]上的零点个数为________.
答案 1+12k(k∈N) 8
解析 由题意得φ=,且当x=时,函数f(x)取得最大值,故ω+=+2kπ,k∈Z,解得ω=1+12k,k∈Z,又ω>0,所以ω=1+12k,k∈N,则ω的最小值为1.因此g(x)=f-=sinx-,又7π<22<8π,所以函数g(x)在区间[0,22]上的零点个数是8.
10.已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),x∈R.若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为________.
答案
解析 f(x)=sinωx+cosωx=sin,
因为f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数图象关于直线x=ω对称,所以f(ω)必为一个周期上的最大值,所以有ω·ω+=2kπ+,k∈Z,所以ω2=+2kπ,k∈Z.又ω-(-ω)≤,即ω2≤,即ω2=,所以ω=.
11.已知函数f(x)=2sin(其中0<ω<1),若点是函数f(x)图象的一个对称中心.
(1)求ω的值,并求出函数f(x)的单调递增区间;
(2)先列表,再作出函数f(x)在区间[-π,π]上的图象.
解 (1)因为点是函数f(x)图象的一个对称中心,
所以-+=kπ(k∈Z),ω=-3k+(k∈Z),
因为0<ω<1,所以当k=0时,可得ω=.
所以f(x)=2sin.
令2kπ-≤x+≤2kπ+(k∈Z),
解得2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z),
所以函数的单调递增区间为(k∈Z).
(2)由(1)知,f(x)=2sin,x∈[-π,π],
列表如下:
x+
-
-
0
π
x
-π
-
-
π
f(x)
-1
-2
0
2
0
-1
作出函数部分图象如图所示:
12.(2018·浙江五校联考)已知函数f(x)=asin2x+bcos2x(其中a,b为非零常数)的图象经过点,.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若x∈,f(x)=,求cos2x的值.
解 (1)由题意得得
故f(x)=sin2x-cos2x=2sin.
由-+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z),得
-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),
∴函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)由f(x)=2sin=,
得sin=,
∵x∈,∴-≤2x-≤,
∴cos=.
∴cos2x=cos
=cos×cos -sin×sin
=×-×=-.
13.(2018·浙江省六校协作体期末联考)已知函数f(x)=3sin(ωx+θ)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为,将函数f(x
)=3sin(ωx+θ)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象,若f(x),g(x)的图象都经过点P,则φ的一个可能值是( )
A.B.C.D.
答案 D
解析 由函数f(x)=3sin(ωx+θ)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为,得函数f(x)的最小正周期为π,则π=,所以ω=2,函数f(x)=3sin(2x+θ)的图象向右平移φ个单位长度,得到g(x)=3sin(2x+θ-2φ)的图象,因为f(x),g(x)的图象都经过点P,所以sinθ=,sin(θ-2φ)=,又-<θ<,所以θ=,所以sin=,所以-2φ=2kπ+(k∈Z)或-2φ=2kπ+(k∈Z),所以φ=-kπ(k∈Z)或φ=-kπ-(k∈Z),因为φ>0,所以结合选项知φ的一个可能值是,故选D.
14.已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),x∈R.在曲线y=f(x)与直线y=1的交点中,若相邻交点距离的最小值为,则f(x)的最小正周期为________.
答案 π
解析 f(x)=sinωx+cosωx=2sin(ω>0).
由2sin=1,得sin=,
∴ωx+=2kπ+或ωx+=2kπ+(k∈Z).
令k=0,得ωx1+=,ωx2+=,
∴x1=0,x2=.由|x1-x2|=,
得=,∴ω=2.故f(x)的最小正周期T==π.
15.已知函数y=Msin(ωx+φ)(M>0,ω>0,0<φ<π)的图象关于直线x=
对称.该函数的部分图象如图所示,AC=BC=,C=90°,则f的值为________.
答案
解析 依题意知,△ABC是直角边长为的等腰直角三角形,因此其边AB上的高是,函数f(x)的最小正周期是2,故M=,=2,ω=π,f(x)=sin(πx+φ).
又f(x)的图象关于直线x=对称,
∴f=sin=±.
∴+φ=kπ+,k∈Z,又0<φ<π,∴φ=,
∴f=sin=.
16.已知函数f(x)=Asin(2x+φ)-的图象在y轴上的截距为1,且关于直线x=对称,若存在x∈,使m2-3m≥f(x)成立,则实数m的取值范围为________________.
答案 (-∞,1]∪[2,+∞)
解析 ∵函数f(x)=Asin(2x+φ)-的图象在y轴上的截距为1,∴Asinφ-=1,即Asinφ=.
∵函数f(x)=Asin(2x+φ)-的图象关于直线x=对称,∴2×+φ=kπ+,k∈Z,
又0<φ<,∴φ=,∴A·sin=,
∴A=,∴f(x)=sin-.
当x∈时,2x+∈,
∴当2x+=,即x=时,f(x)min=--=-2.
令m2-3m≥-2,解得m≥2或m≤1.