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  • 2021-06-16 发布

【数学】2020届一轮复习人教B版函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用学案

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‎§5.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用 最新考纲 考情考向分析 了解函数y=Asin(ωx+φ)的实际意义,掌握y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数A,ω,φ对函数图象变化的影响.‎ 以考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象的五点法画图、图象之间的平移伸缩变换以及由图象求函数解析式为主,常与三角函数的性质、三角恒等变换结合起来进行综合考查,加强数形结合思想的应用意识.题型为选择题和填空题,中档难度.‎ ‎1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x≥0‎ 振幅 周期 频率 相位 初相 A T= f== ωx+φ φ ‎2.用五点法画y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)一个周期内的简图时,要找五个特征点 如下表所示:‎ x ωx+φ ‎0‎ π ‎2π y=Asin(ωx+φ)‎ ‎0‎ A ‎0‎ ‎-A ‎0‎ ‎3.函数y=sinx的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种途径 概念方法微思考 ‎1.怎样从y=sinωx的图象变换得到y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的图象?‎ 提示 向左平移个单位长度.‎ ‎2.函数y=sin(ωx+φ)图象的对称轴是什么?‎ 提示 x=+-(k∈Z).‎ 题组一 思考辨析 ‎1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)y=sin的图象是由y=sin的图象向右平移个单位长度得到的.( √ )‎ ‎(2)将函数y=sinωx的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到函数y=sin(ωx-φ)的图象.( × )‎ ‎(3)函数y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为T,那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.( √ )‎ ‎(4)函数y=sinx的图象上各点纵坐标不变,横坐标缩短为原来的,所得图象对应的函数解析式为y=sinx.( × )‎ 题组二 教材改编 ‎2.[P55T2]为了得到函数y=2sin的图象,可以将函数y=2sin2x的图象向________平移________个单位长度.‎ 答案 右  ‎3.[P56T3]y=2sin的振幅、频率和初相分别为__________________.‎ 答案 2,,- 题组三 易错自纠 ‎4.(2018·嘉兴第一中学期中考试)为了得到函数y=sin的图象,可以将函数y=cos2x的图象(  )‎ A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度 答案 A 解析 y=sin=cos ‎=cos=cos,‎ 故把函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度得到函数y=sin的图象.‎ ‎5.将函数y=2sin的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为________________.‎ 答案 y=2sin 解析 函数y=2sin的周期为π,将函数y=2sin的图象向右平移个周期,即个单位长度,‎ 所得函数为y=2sin=2sin.‎ ‎6.y=cos(x+1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________.‎ 答案  解析 相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2,横坐标之差恰为半个周期π,故它们之间的距离为.‎ ‎7.若函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,则f的值为________.‎ 答案  解析 由题干图象可知A=2,T=-=,‎ ‎∴T=π,∴ω=2,∵当x=时,函数f(x)取得最大值,‎ ‎∴2×+φ=+2kπ(k∈Z),∴φ=+2kπ(k∈Z),‎ 又0<φ<π,∴φ=,∴f(x)=2sin,‎ 则f=2sin=2cos=.‎ 题型一 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换 例1已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的最小正周期是π,且当x=时,f(x)取得最大值2.‎ ‎(1)求f(x)的解析式;‎ ‎(2)作出f(x)在[0,π]上的图象(要列表).‎ 解 (1)因为函数f(x)的最小正周期是π,所以ω=2.‎ 又因为当x=时,f(x)取得最大值2.‎ 所以A=2,‎ 同时2×+φ=2kπ+,k∈Z,‎ φ=2kπ+,k∈Z,‎ 因为-<φ<,‎ 所以φ=,‎ 所以函数y=f(x)的解析式为f(x)=2sin.‎ ‎(2)因为x∈[0,π],所以2x+∈,‎ 列表如下:‎ ‎2x+ π ‎2π x ‎0‎ π f(x)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎-2‎ ‎0‎ ‎1‎ 描点、连线得图象:‎ 引申探究 在本例条件下,若将函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,且y=g(x)是偶函数,求m的最小值.‎ 解 由已知得y=g(x)=f(x-m)=2sin=2sin是偶函数,所以2m-=(2k+1),k∈Z,m=+,k∈Z,‎ 又因为m>0,所以m的最小值为.‎ 思维升华 (1)y=Asin(ωx+φ)的图象可用“五点法”作简图得到,可通过变量代换z=ωx+φ计算五点坐标.‎ ‎(2)由函数y=sinx的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象有两条途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.‎ 跟踪训练1 (1)把函数y=sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把图象向右平移个单位长度,所得图象的函数解析式为________________.‎ 答案 y=sin 解析 把函数y=sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,得到函数y=sin2x的图象,再把该函数图象向右平移个单位长度,得到函数y=sin2=sin的图象.‎ ‎(2)已知函数f(x)=sin(0<ω<2)满足条件:f=0,为了得到函数y=f(x ‎)的图象,可将函数g(x)=cosωx的图象向右平移m(m>0)个单位长度,则m的最小值为(  )‎ A.1B.C.D. 答案 A 解析 由题意得sin=0,即-ω+=kπ(k∈Z),则ω=-2kπ(k∈Z),结合0<ω<2,得ω=,所以f(x)=sin=cos=cos,所以只需将函数g(x)=cosx的图象向右至少平移1个单位长度,即可得到函数y=f(x)的图象,故选A.‎ 题型二 由图象确定y=Asin(ωx+φ)的解析式 例2(1)若函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则y=________________.‎ 答案 2sin 解析 由题图可知,A=2,T=2=π,所以ω=2,由五点作图法可知2×+φ=,所以φ=-,所以函数的解析式为y=2sin.‎ ‎(2)已知函数f(x)=sin(ωx+φ) 的部分图象如图所示,则y=f取得最小值时x的集合为________.‎ 答案  解析 根据所给图象,周期T=4×=π,故π=,∴ω=2,因此f(x)=sin(2x+φ),另外图象经过点,代入有2×+φ=π+2kπ(k∈Z),‎ 再由|φ|<,得φ=-,∴f(x)=sin,‎ ‎∴f=sin,‎ 当2x+=-+2kπ(k∈Z),即x=-+kπ(k∈Z)时,y=f取得最小值.‎ 思维升华y=Asin(ωx+φ)中φ的确定方法 ‎(1)代入法:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.‎ ‎(2)五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.‎ 跟踪训练2已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B的部分图象如图所示,将函数f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,得到函数g(x)的图象关于点对称,则m的值可能为(  )‎ A.B.C.D. 答案 D 解析 依题意得解得 ==-=,‎ 故ω=2,则f(x)=sin(2x+φ)+.‎ 又f=sin+=,‎ 故+φ=+2kπ(k∈Z),即φ=+2kπ(k∈Z).‎ 因为|φ|<,故φ=,‎ 所以f(x)=sin+.‎ 将函数f(x)的图象向左平移m个单位长度后得到g(x)=sin+的图象,又函数g(x)的图象关于点对称,即h(x)=sin的图象关于点 对称,故sin=0,即+2m=kπ(k∈Z),故m=-(k∈Z).令k=2,则m=.‎ 题型三 三角函数图象、性质的综合应用 命题点1 图象与性质的综合问题 例3(2018·浙江省知名重点中学联考)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+h(A>0,ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式;‎ ‎(2)若将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)的单调递增区间.‎ 解 (1)由三角函数的图象可知,‎ 得 设函数f(x)的最小正周期为T,则由题意得=-,所以T=π,‎ 所以=π,解得ω=2.‎ 因为函数f(x)的图象过点,且0<φ<,‎ 所以2=sin+1,解得φ=.‎ 所以函数f(x)的解析式为f(x)=sin+1.‎ ‎(2)由(1)知,f(x)=sin+1,‎ 因为将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)图象,‎ 所以g(x)=sin+1=sin+1.‎ 由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,‎ 得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.‎ 所以函数g(x)的单调递增区间为,k∈Z.‎ 命题点2 函数零点(方程根)问题 例4已知关于x的方程2sin2x-sin2x+m-1=0在上有两个不同的实数根,则m的取值范围是____________.‎ 答案 (-2,-1)‎ 解析 方程2sin2x-sin2x+m-1=0可转化为 m=1-2sin2x+sin2x=cos2x+sin2x ‎=2sin,x∈.‎ 设2x+=t,则t∈,‎ ‎∴题目条件可转化为=sint,t∈有两个不同的实数根.‎ ‎∴y1=和y2=sint,t∈的图象有两个不同交点,如图:‎ 由图象观察知,的取值范围是,‎ 故m的取值范围是(-2,-1).‎ 引申探究 本例中,若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”,则m的取值范围是__________.‎ 答案 [-2,1)‎ 解析 由上例题知,的取值范围是,‎ ‎∴-2≤m<1,∴m的取值范围是[-2,1).‎ 思维升华 (1)研究y=Asin(ωx+φ)的性质时可将ωx+φ视为一个整体,利用换元法和数形结合思想进行解题.‎ ‎(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.‎ 跟踪训练3 (1)将函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移个单位长度后关于原点对称,则函数f(x)在上的最小值为(  )‎ A.- B.- C. D. 答案 A 解析 将函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移个单位长度得到y=sin=sin的图象,该图象关于原点对称,即为奇函数,则+φ=kπ(k∈Z),又|φ|<,所以φ=-,即f(x)=sin.当x∈时,2x-∈,所以当2x-=-,即x=0时,f(x)取得最小值,最小值为-.‎ ‎(2)若函数f(x)=sin(ω>0)满足f(0)=f,且函数在上有且只有一个零点,则f(x)的最小正周期为________.‎ 答案 π 解析 ∵f(0)=f,∴x=是f(x)图象的一条对称轴,∴f=±1,∴×ω+=+kπ,k∈Z,‎ ‎∴ω=6k+2,k∈Z,∴T=(k∈Z).‎ 又f(x)在上有且只有一个零点,‎ ‎∴<≤-,∴0)的最小正周期是π,则其图象向右平移个单位长度后对应函数的单调递减区间是(  )‎ A.(k∈Z)‎ B.(k∈Z)‎ C.(k∈Z)‎ D.(k∈Z)‎ 答案 B 解析 由题意知ω==2,将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)=cos=cos=sin2x的图象,由2kπ+≤2x≤2kπ+(k∈Z),解得所求函数的单调递减区间为(k∈Z).‎ ‎4.函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x ‎)的单调递增区间为(  )‎ A.[-1+4kπ,1+4kπ](k∈Z)‎ B.[-3+8kπ,1+8kπ](k∈Z)‎ C.[-1+4k,1+4k](k∈Z)‎ D.[-3+8k,1+8k](k∈Z)‎ 答案 D 解析 由题图知,T=4×(3-1)=8,所以ω==,所以f(x)=sin.把(1,1)代入,得sin=1,即+φ=+2kπ(k∈Z),又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=sin.由2kπ-≤x+≤2kπ+(k∈Z),得8k-3≤x≤8k+1(k∈Z),所以函数f(x)的单调递增区间为[8k-3,8k+1](k∈Z).‎ ‎5.若函数y=sin(ωx-φ)在区间上的图象如图所示,则ω,φ的值分别是(  )‎ A.ω=2,φ= B.ω=2,φ=- C.ω=,φ= D.ω=,φ=- 答案 A 解析 由题图可知,T=2=π,‎ 所以ω==2,又sin=0,‎ 所以-φ=2kπ(k∈Z),‎ 即φ=-2kπ(k∈Z),‎ 又|φ|<,所以φ=,故选A.‎ ‎6.将函数f(x)=sin(x+φ)的图象向左平移个单位长度后是奇函数,则函数f(x)在上的最小值为(  )‎ A.-B.-C.D. 答案 A 解析 将函数f(x)=sin(x+φ)的图象向左平移个单位长度得到y=sin的图象,该函数为奇函数,则+φ=kπ(k∈Z),又|φ|<,所以φ=-,即f(x)=sin.当x∈时,x-∈,所以当x-=-,即x=0时,f(x)取得最小值,最小值为-.‎ ‎7.已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f=________.‎ 答案  解析 由题干图象知=2×=,所以ω=2.‎ 因为2×+φ=kπ+(k∈Z),‎ 所以φ=kπ+(k∈Z),‎ 又|φ|<,所以φ=,这时f(x)=Atan.‎ 又函数图象过点(0,1),代入上式得A=1,所以f(x)=tan.所以f=tan=.‎ ‎8.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,又x1,x2∈,且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)=________.‎ 答案  解析 由题图可知,=-=,‎ 则T=π,ω=2,又=,‎ 所以f(x)的图象过点,即sin=1,‎ 所以2×+φ=+2kπ,k∈Z,‎ 又|φ|<,可得φ=,所以f(x)=sin.‎ 由f(x1)=f(x2),x1,x2∈,‎ 可得x1+x2=-+=,‎ 所以f(x1+x2)=f=sin=sin=.‎ ‎9.(2018·“七彩阳光”联盟期初联考)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象过点,若f(x)≤f对x∈R恒成立,则ω的值为__________;当ω最小时,函数g(x)=f-在区间[0,22]上的零点个数为________.‎ 答案 1+12k(k∈N) 8‎ 解析 由题意得φ=,且当x=时,函数f(x)取得最大值,故ω+=+2kπ,k∈Z,解得ω=1+12k,k∈Z,又ω>0,所以ω=1+12k,k∈N,则ω的最小值为1.因此g(x)=f-=sinx-,又7π<22<8π,所以函数g(x)在区间[0,22]上的零点个数是8.‎ ‎10.已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),x∈R.若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为________.‎ 答案  解析 f(x)=sinωx+cosωx=sin,‎ 因为f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数图象关于直线x=ω对称,所以f(ω)必为一个周期上的最大值,所以有ω·ω+=2kπ+,k∈Z,所以ω2=+2kπ,k∈Z.又ω-(-ω)≤,即ω2≤,即ω2=,所以ω=.‎ ‎11.已知函数f(x)=2sin(其中0<ω<1),若点是函数f(x)图象的一个对称中心.‎ ‎(1)求ω的值,并求出函数f(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)先列表,再作出函数f(x)在区间[-π,π]上的图象.‎ 解 (1)因为点是函数f(x)图象的一个对称中心,‎ 所以-+=kπ(k∈Z),ω=-3k+(k∈Z),‎ 因为0<ω<1,所以当k=0时,可得ω=.‎ 所以f(x)=2sin.‎ 令2kπ-≤x+≤2kπ+(k∈Z),‎ 解得2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z),‎ 所以函数的单调递增区间为(k∈Z).‎ ‎(2)由(1)知,f(x)=2sin,x∈[-π,π],‎ 列表如下:‎ x+ ‎- ‎- ‎0‎ π x ‎-π ‎- ‎- π f(x)‎ ‎-1‎ ‎-2‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎-1‎ 作出函数部分图象如图所示:‎ ‎12.(2018·浙江五校联考)已知函数f(x)=asin2x+bcos2x(其中a,b为非零常数)的图象经过点,.‎ ‎(1)求函数f(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)若x∈,f(x)=,求cos2x的值.‎ 解 (1)由题意得得 故f(x)=sin2x-cos2x=2sin.‎ 由-+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z),得 ‎-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),‎ ‎∴函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).‎ ‎(2)由f(x)=2sin=,‎ 得sin=,‎ ‎∵x∈,∴-≤2x-≤,‎ ‎∴cos=.‎ ‎∴cos2x=cos ‎=cos×cos -sin×sin  ‎=×-×=-.‎ ‎13.(2018·浙江省六校协作体期末联考)已知函数f(x)=3sin(ωx+θ)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为,将函数f(x ‎)=3sin(ωx+θ)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象,若f(x),g(x)的图象都经过点P,则φ的一个可能值是(  )‎ A.B.C.D. 答案 D 解析 由函数f(x)=3sin(ωx+θ)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为,得函数f(x)的最小正周期为π,则π=,所以ω=2,函数f(x)=3sin(2x+θ)的图象向右平移φ个单位长度,得到g(x)=3sin(2x+θ-2φ)的图象,因为f(x),g(x)的图象都经过点P,所以sinθ=,sin(θ-2φ)=,又-<θ<,所以θ=,所以sin=,所以-2φ=2kπ+(k∈Z)或-2φ=2kπ+(k∈Z),所以φ=-kπ(k∈Z)或φ=-kπ-(k∈Z),因为φ>0,所以结合选项知φ的一个可能值是,故选D.‎ ‎14.已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),x∈R.在曲线y=f(x)与直线y=1的交点中,若相邻交点距离的最小值为,则f(x)的最小正周期为________.‎ 答案 π 解析 f(x)=sinωx+cosωx=2sin(ω>0).‎ 由2sin=1,得sin=,‎ ‎∴ωx+=2kπ+或ωx+=2kπ+(k∈Z).‎ 令k=0,得ωx1+=,ωx2+=,‎ ‎∴x1=0,x2=.由|x1-x2|=,‎ 得=,∴ω=2.故f(x)的最小正周期T==π.‎ ‎15.已知函数y=Msin(ωx+φ)(M>0,ω>0,0<φ<π)的图象关于直线x= 对称.该函数的部分图象如图所示,AC=BC=,C=90°,则f的值为________.‎ 答案  解析 依题意知,△ABC是直角边长为的等腰直角三角形,因此其边AB上的高是,函数f(x)的最小正周期是2,故M=,=2,ω=π,f(x)=sin(πx+φ).‎ 又f(x)的图象关于直线x=对称,‎ ‎∴f=sin=±.‎ ‎∴+φ=kπ+,k∈Z,又0<φ<π,∴φ=,‎ ‎∴f=sin=.‎ ‎16.已知函数f(x)=Asin(2x+φ)-的图象在y轴上的截距为1,且关于直线x=对称,若存在x∈,使m2-3m≥f(x)成立,则实数m的取值范围为________________.‎ 答案 (-∞,1]∪[2,+∞)‎ 解析 ∵函数f(x)=Asin(2x+φ)-的图象在y轴上的截距为1,∴Asinφ-=1,即Asinφ=.‎ ‎∵函数f(x)=Asin(2x+φ)-的图象关于直线x=对称,∴2×+φ=kπ+,k∈Z,‎ 又0<φ<,∴φ=,∴A·sin=,‎ ‎∴A=,∴f(x)=sin-.‎ 当x∈时,2x+∈,‎ ‎∴当2x+=,即x=时,f(x)min=--=-2.‎ 令m2-3m≥-2,解得m≥2或m≤1.‎

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