【数学】2019届一轮复习人教A版应用均值不等式求最值学案（文） 12页

母题十三 应用均值不等式求最值 ‎【母题原题1】【2018天津，文13】‎ 已知，且，则的最小值为 ．‎ ‎【答案】‎ 综上可得的最小值为．‎ ‎【名师点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．‎ ‎【母题原题2】【2017天津，文13】‎ 若，，则的最小值为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，当且仅当且，即时取等号．‎ ‎【考点】均值不等式 ‎【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式，（1），当且仅当时取等号；（2），，当且仅当时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值．若是使用2次，更要注意两次使用的条件是不是能同时成立．‎ ‎【母题原题3】【2015天津，文12】‎ 已知 则当a的值为 时取得最大值．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】当时取等号，结合可得 ‎ ‎【考点定位】本题主要考查对数运算法则及基本不等式应用．学 ‎ ‎【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件，注意创造“定”这个条件时常要对所给式子进行拆分、组合、添加系数等处理，使之可用基本不等式来解决，若多次使用基本不等式，必须保持每次取等的一致性．‎ ‎【命题意图】 高考对本部分内容重点用基本不等式求最值．‎ ‎【命题规律】 高考试题对该部分内容考查的主要角度有两种：一种正用；一种是逆用．‎ ‎【答题模板】解答本类题目，以2018年试题为例，一般考虑如下三步： 学 ‎ 第一步：选基本不等式的形式．‎ 第二步：选相当于公式中字母的代数式 第三步：下结论．学/ ‎ ‎【方法总结】‎ ‎1．基本不等式：‎ ‎（1）基本不等式成立的条件：． 学 ‎ ‎（2）等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 学+ + ‎ ‎2．几个重要的不等式 ‎（1）a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；‎ ‎（2）＋≥2(a，b同号)；‎ ‎（3）ab≤2(a，b∈R)；‎ ‎（4）≥2(a， b∈R)． 学+ + ‎ ‎3．算术平均数与几何平均数 设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数．‎ ‎4．利用基本不等式求最值问题 已知x＞0，y＞0，则 ‎（1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2．(简记：积定和最小)[ ： ‎ ‎（2）如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是．(简记：和定积最大)‎ ‎1．【2018天津河西区三模】已知正数，满足，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【名师点睛】本题主要考查柯西不等式求最值，属于中档题．解决问题的关键是利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件，配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答．‎ ‎2．【2018天津河东区二模】已知正实数满足，当取最小值时，的最大值为（）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：首先根据题中的条件可以得到，之后将式子中的c用来代换，接着化简为，能够发现当前的式子满足积为定值，从而得到和取最小值时，是当相等的时候，从而得到，接着将化为关于的式子，配方即可得结果．‎ 所以可以发现，当时取得最大值，故选C．‎ ‎【名师点睛】该题考查的是有关应用基本不等式求最值的问题，在求解的过程中，可以发现式子中有三个未知数，利用题的条件，逐步转化，首先将c代换，求得当取得最小值时的关系，之后将化成关于的二次式，配方求得结果．‎ ‎3．【2018天津河北区二模】若正数a，b满足，则的最小值为（ ）‎ A．1 B．6 C．9 D．16‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由得，由此可得，，将代入所求值的式子中，利用基本不等式可求得最小值．‎ 详解：∵正数满足，∴，解得．同理．‎ ‎∴，当且仅当，即时等号成立．∴的最小值为6．故选B．‎ ‎【名师点睛】利用基本不等式求最值的类型及方法 ‎（1）若已经满足基本不等式的条件，则直接应用基本不等式求解．‎ ‎（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等．‎ ‎4．【2018江西莲塘一中、临川二中联考】已知，，，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【名师点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．‎ ‎5．【2018天津七校联考】已知点在圆和圆的公共弦上，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】圆和圆的公共弦方程为，‎ ‎，选D．‎ ‎【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．‎ ‎6．【2018河南濮阳模拟】已知，则的最小值为（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】C ‎【名师点睛】条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．‎ ‎7．【2018山东肥城模拟】已知函数（，），若，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：利用函数的解析式，表示所求表达式，利用表达式的几何意义转化求解即可．学 ‎ 详解：，表示点A（p，q）与B连线的斜率，又≥4，故取点E（4，4），当AB与圆的切线EC重合时取最小值，可求 EC=tan15°=2-，∴则的最小值为2-；当AB与圆的切线ED重合时取最大值，可求 ED=tan75°=2+，则 最大值为2+；故的取值范围是：[2-，2+ ．故选D．‎ ‎【名师点睛】本题考查函数一方程的应用，判断表达式的几何意义，利用数形结合转化求解是解题的关键．‎ ‎8．【2018浙江金华模拟】已知实数满足，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：先分离出a2+b2，应用基本不等式转化为关于c的二次函数，进而求出最小值．‎ 详解：若ab+c取最小值，则ab异号，c＜0，根据题意得：1-c2=a2+b2，又由a2+b2≥2|ab|=-2ab，即有 ‎1-c2≥-2ab，，即ab+c的最小值为-1，故选C．‎ ‎【名师点睛】本题考查代数式求和，考查一元二次不等式性质、完全平方和、完全平方差公式基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎9．【2018浙江金丽衢十二校二模】设a＞b＞0，当 取得最小值c时，函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|的最小值为（　　）‎ A．3 B． C．5 D．‎ ‎【答案】A 因为，所以 因此当时，f（x）取最小值为3．选A．‎ ‎【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．‎ ‎10．【2018天津南开中学模拟】平行四边形中，，是平行四边形内一点，且，若，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】2．‎ ‎【解析】分析：根据，利用，利用向量的平方和向量模的平方是相等的，利用基本不等式得出的最大值．‎ 详解：因为，所以 ，‎ 又，即，所以，当且仅当，即时，取得最大值2，故答案是2．‎ ‎【名师点睛】该题考查的是求式子的最值的问题，涉及到的知识点有向量的平方和向量模的平方是相等的，向量数量积的定义式，利用基本不等式求最值，在解题的过程中，注意式子的正确使用．‎ ‎11．【2018天津部分区二模】已知函数的图象过点，则的最小值为_______．‎ ‎【答案】9‎ 故答案为：9．‎ ‎【名师点睛】在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等．①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值．‎ ‎12．【2018天津十二校二模】已知，二次三项式对于一切实数恒成立，又，使成立，则的最小值为__________．学 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：对于一切实数恒成立，可得；再由，使成立，可得，所以可得，可化为，平方后换元，利用基本不等式可得结果．‎ ‎（当时，等号成立），所以，的最小值为，‎ 故的最小值为，故答案为．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查一元二次不等式恒成立问题以及利用基本不等式求最值，属于难题．利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）．‎ ‎13．【2018天津9校联考】已知，，函数的图象经过点，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】a，b∈R+，函数f（x）=alog2x+b的图象经过点，‎ 可得2a+b=，则+=2（+）（2a+b）=8+≥=16，‎ 当且仅当b=2a=时取等号，表达式的最小值为16．故答案为：16．‎ ‎【名师点睛】在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等．①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值．‎ ‎14．【2018天津滨海新区七校模拟】已知正实数满足且，则的最小值为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得，，当且仅当，，填．‎ ‎【点睛】当时， (当且仅当时取“”号)．‎ 利用基本不等式求最值满足条件：一正、二定、三相等．‎ ‎15．【2018天津市十二模拟一】已知，则的最小值为___________．‎ ‎∴当时，，即取得最小值为．故答案为．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题．利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）．‎ ‎16．【2018天津十二校联考】已知，且是与的等差中项，则的最大值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【易错点晴】本题主要考查等差中项的应用以及利用基本不等式求最值，属于难题．利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）．‎ ‎17．【2018天津部分区期末考】已知函数，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】∵，∴，故．‎ ‎∴，当且仅当，即时等号成立．∴的最小值为3．答案：．‎ ‎18．【2018天津一中月考五】已知点在椭圆上运动，则最小值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎ 即所求的最小值为，‎ 故答案为．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查了利用椭圆的方程，利用基本不等式求解最小值，解题的关键是利用了的代换，从而把所求的式子变形为积为定值的形式．‎ ‎19．【2018天津一中月考三】对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，所以．‎ ‎【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．‎ ‎20．【2018天津耀华中学模拟三】已知三次函数在上单调递增，则的最小值为_________．‎ ‎【答案】22‎ ‎【解析】．‎