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- 2021-06-16 发布
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§11.5 古典概型
考纲展示►
1.理解古典概型及其概率计算公式.
2.会计算一些随机事件所含的基本事件及事件发生的概率.
考点1 古典概型的简单问题
1.基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是________的.
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成________的和.
答案:(1)互斥 (2)基本事件
2.古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.
(1)试验中所有可能出现的基本事件________.
(2)每个基本事件出现的可能性________.
答案:(1)只有有限个 (2)相等
3.如果一次试验中可能出现的结果有n个,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是________;如果某个事件A包括的结果有m个,那么事件A的概率P(A)=________.
答案:
4.古典概型的概率计算公式
P(A)=________________.
答案:
(1)[教材习题改编]从字母a,b,c,d中任意取出两个不同字母的试验中,基本事件共有________个.
答案:6
解析:基本事件有{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d},共6个.
(2)[教材习题改编]抛掷质地均匀的一枚骰子一次,出现正面朝上的点数大于2且小于5的概率为__________.
答案:
解析:抛掷质地均匀的一枚骰子一次,出现点数1,2,3,4,5,6,共6个基本事件,其中正面朝上的点数大于2且小于5的有3,4,共2个基本事件,所以P==.
古典概型:关键在于基本事件的计数.
从1,3,5,7中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值大于3的概率是__________.
答案:
解析:由题意知,“从1,3,5,7中任取2个不同的数”所包含的基本事件为(1,3),(1,5),(1,7),(3,5),(3,7),(5,7),共6个,满足条件的事件包含的基本事件为(1,5),(1,7),(3,7),共3个,所以所求的概率P==.
[典题1] (1)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球、5个红球.从袋中任取2个球,所取的2个球中恰有1个白球、1个红球的概率为( )
A. B. C. D.1
[答案] B
[解析] 从15个球中任取2个球共有C种取法,其中有1个红球、1个白球的情况有CC=50(种),所以P==.
(2)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表:(单位:人)
参加书法社团
未参加书法社团
参加演讲社团
8
5
未参加演讲社团
2
30
①从该班随机选1名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率;
②在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中,有5名男同学A1,A2,A3,A4,A5,
3名女同学B1,B2,B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,求A1被选中且B1未被选中的概率.
[解] ①由调查数据可知,既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人,
故至少参加上述一个社团的共有45-30=15(人),
所以从该班随机选1名同学,该同学至少参加上述一个社团的概率为P==.
②从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,其一切可能的结果组成的基本事件有:
{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{A4,B1},{A4,B2},{A4,B3},{A5,B1},{A5,B2},{A5,B3},共15个.
根据题意,这些基本事件的出现是等可能的.
事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有:{A1,B2},{A1,B3},共2个.
因此A1被选中且B1未被选中的概率为P=.
[点石成金] 古典概型中基本事件的两种探求方法
(1)列举法
适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的情况.
(2)树状图法
适合较为复杂的问题中的基本事件的探求,注意在确定基本事件时(x,y)可以看成是有序的,如(1,2)与(2,1)不同;有时也可以看成是无序的,如(1,2)和(2,1)相同.
考点2 较复杂古典概型的概率
古典概型:基本事件的个数;古典概型概率公式.
(1)[2015·云南昆明模拟]抛掷两颗相同的正方体骰子(骰子质地均匀,且各个面上依次标有点数1,2,3,4,5,6)一次,则两颗骰子向上点数之积等于12的概率为__________.
答案:
解析:
抛掷两颗相同的正方体骰子,共有36种等可能的结果:(1,1),(1,2),(1,3),…,(6,6).点数之积等于12的结果有(2,6),(3,4),(4,3),(6,2),共4种,故所求事件的概率为=.
(2)小明的自行车用的是密码锁,密码锁的四位数码由4个数字2,4,6,8按一定顺序构成,小明不小心忘记了密码中4个数字的顺序,随机地输入由2,4,6,8组成的一个四位数,不能打开锁的概率是__________.
答案:
解析:由2,4,6,8可以组成24个四位数(每个数位上的数都不相同),其中只有一个能打开锁,能打开锁的概率为,所以不能打开锁的概率为1-=.
[典题2] 某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.
(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率;
(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,求参赛女生人数不少于2人的概率.
[解] (1)由题意,参加集训的男生、女生各有6名.
参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为=,
因此,A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-=.
(2)设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件A,记“参赛女生有2人”为事件B,“参赛女生有3人”为事件C.
则P(B)==,P(C)==.
由互斥事件的概率加法,得
P(A)=P(B)+P(C)=+=,
故所求事件的概率为.
[点石成金] 1.求较复杂事件的概率问题,解题关键是理解题目的实际含义,把实际问题转化为概率模型,必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和,或者先求其对立事件的概率,进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解.
2.注意区别排列与组合,以及计数原理的正确使用.
为振兴旅游业,四川省面向国内发行总量为2 000万张的熊猫优惠卡,向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡),向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡).某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜景区旅游,其中 是省外游客,其余是省内游客.在省外游客中有 持金卡,在省内游客中有 持银卡.
(1)在该团中随机采访2名游客,求恰有1人持银卡的概率;
(2)在该团中随机采访2名游客,求其中持金卡与持银卡人数相等的概率.
解:(1)由题意,得省外游客有27人,其中9人持金卡;省内游客有9人,其中6人持银卡.
设事件A为“采访该团2人,恰有1人持银卡”,
则P(A)==,
所以采访该团2人,恰有1人持银卡的概率是.
(2)设事件B为“采访该团2人,持金卡与持银卡人数相等”,可以分为事件B1为“采访该团2人,持金卡0人,持银卡0人”,或事件B2为“采访该团2人,持金卡1人,持银卡1人”两种情况.
则P(B)=P(B1)+P(B2)=+=,
所以采访该团2人,持金卡与持银卡人数相等的概率是.
考点3 古典概型的交汇命题
[考情聚焦] 古典概型在高考中常与平面向量、集合、函数、解析几何、统计等知识交汇命题,命题的角度新颖,考查知识全面,能力要求较高.
主要有以下几个命题角度:
角度一
古典概型与平面向量相结合
[典题3] 已知向量a=(x,-1),b=(3,y),其中x随机选自集合{-1,1,3},y随机选自集合{1,3,9}.
(1)求a∥b的概率;
(2)求a⊥b的概率.
[解] 由题意,得(x,y)所有的基本事件为(-1,1),(-1,3),(-1,9),(1,1),(1,3),
(1,9),(3,1),(3,3),(3,9),共9个.
(1)设“a∥b”为事件A,则xy=-3.
事件A包含的基本事件有(-1,3),共1个.
故a∥b的概率为P(A)=.
(2)设“a⊥b”为事件B,则y=3x.
事件B包含的基本事件有(1,3),(3,9),共2个.
故a⊥b的概率为P(B)=.
角度二
古典概型与直线、圆相结合
[典题4] [2017·河南洛阳统考]将一颗骰子先后抛掷两次分别得到点数a,b,则直线ax+by=0与圆(x-2)2+y2=2有公共点的概率为________.
[答案]
[解析] 依题意,将一颗骰子先后抛掷两次得到的点数所形成的数组(a,b)有(1,1),(1,2),(1,3),…,(6,6),共36种,
其中满足直线ax+by=0与圆(x-2)2+y2=2有公共点,即满足≤ ,即a2≤b2的数组(a,b)有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),…,(6,6),共6+5+4+3+2+1=21(种),
因此所求的概率为=.
角度三
古典概型与函数相结合
[典题5] 已知关于x的一元二次函数f(x)=ax2-4bx+1.
(1)设集合P={1,2,3}和Q={-1,1,2,3,4},分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b,求函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率;
(2)设点(a,b)是区域内的随机点,求函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率.
[解] (1)∵函数f(x)=ax2-4bx+1的图象的对称轴为x=,
要使f(x)=ax2-4bx+1在区间[1,+∞)上为增函数,
当且仅当a>0且≤1,即2b≤a.
若a=1,则b=-1;
若a=2,则b=-1,1;
若a=3,则b=-1,1.
∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5,
∴所求事件的概率为=.
(2)由(1)知,当且仅当2b≤a且a>0时,
函数f(x)=ax2-4bx+1在区间[1,+∞)上为增函数,
依条件可知,试验的全部结果所构成的区域为.
由得交点坐标为,
∴所求事件的概率为P==.
角度四
古典概型与统计相结合
[典题6] 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问50名职工.根据这50名职工对该部门的评分,绘制成频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为[40,50),[50,60),…,[80,90),[90,100].
(1)求频率分布直方图中a的值;
(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率;
(3)从评分在[40,60)的受访职工中,随机抽取2人,求此2人的评分都在[40,50)的概率.
[解] (1)因为(0.004+a+0.018+0.022×2+0.028)×10=1,所以a=0.006.
(2)由所给频率分布直方图知,50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022+0.018)×10=0.4,
所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.
(3)受访职工中评分在[50,60)的有50×0.006×10=3(人),记为A1,A2,A3;
受访职工中评分在[40,50)的有50×0.004×10=2(人),记为B1,B2.
从这5名受访职工中随机抽取2人,所有可能的结果共有10种,它们是{A1,A2},{A1,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,A3},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2}.
又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种,即{B1,B2},故所求的概率为.
[点石成金] 解决与古典概型交汇命题的关注点
解决与古典概型交汇命题的问题时,把相关的知识转化为事件,列举基本事件,求出基本事件和随机事件的个数,然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.
[方法技巧] 1.确定基本事件的方法
(1)当基本事件总数较少时,可用列举法计算;
(2)当基本事件总数较多时,可用列表法、树状图法.
2.较复杂事件的概率可灵活运用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式简化运算.
3.概率的一般加法公式:P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
公式使用中要注意:(1)公式的作用是求A∪B的概率,当A∩B=∅时,A,B互斥,此时P(A∩B)=0,所以P(A∪B)=P(A)+P(B);(2)要计算P(A∪B),需要求P(A)、P(B),更重要的是把握事件A∩B,并求其概率;(3)该公式可以看作一个方程,知三可求一.
[易错防范] 古典概型的重要思想是事件发生的等可能性,一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时,它们是不是等可能的.
真题演练集训
1.[2016·江苏卷]将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是________.
答案:
解析:解法一:将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次,向上的点数有36种结果,其中点数之和小于10的有30种,故所求概率为=.
解法二:将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次,向上的点数有36种结果,其中点数之和不小于10的有(6,6),(6,5),(6,4),(5,6),(5,5),(4,6),共6种,故所求概率为1-=.
2.[2015·新课标全国卷Ⅱ]某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表.
A地区用户满意度评分的频率分布直方图
①
B地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评
分分组
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,
100]
频数
2
8
14
10
6
(1)在图②中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可).
B地区用户满意度评分的频率分布直方图
②
(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度分为三个等级:
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大?说明理由.
解:(1)如图所示.
通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值;B地区用户满意度评分比较集中,而A地区用户满意度评分比较分散.
(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.
记CA表示事件:“A地区用户的满意度等级为不满意”;CB表示事件:“B地区用户的满意度等级为不满意”.由直方图,得P(CA)的估计值为(0.01+0.02+0.03)×10=0.6,P(CB)的估计值为(0.005+0.02)×10=0.25.
所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.
3.[2016·天津卷]某小组共10人,利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.
(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;
(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.
解:(1)由已知,有P(A)==.
所以事件A发生的概率为.
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.
P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==.
所以,随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×=1.
课外拓展阅读
古典概型与平面向量、几何、统计等知识的综合
古典概型的考查可以和平面向量、几何、统计等知识相互交汇,在解题中要重视古典概型的计算,把相关的知识转化为事件,列举基本事件,求出基本事件和随机事件的个数,然后正确使用古典概型的概率计算公式进行计算.
[典例1] 甲、乙分别从底为等腰直角三角形的直三棱柱的9条棱中任选一条,则这2条棱互相垂直的概率为( )
A. B. C. D.
[思路分析]
[解析] 由题意知本题是一个古典概型,试验发生包含的事件是甲从这9条棱中任选一条,乙从这9条棱中任选一条,共有9×9= 81(种)结果,满足条件的事件是这两条棱互相垂直,所有可能情况是:
当甲选底面上的一条直角边时,乙有5种选法,共有4条直角边,则共有20种结果;
当甲选底面上的一条斜边时,乙有3种选法,共有2条底面的斜边,则共有6种结果;
当甲选一条侧棱时,乙有6种选法,共有3条侧棱,则共有18种结果,
综上所述,共有20+6+18=44(种)结果,
故2条棱互相垂直的概率是.
[答案] C
温馨提示
以棱柱、棱锥及异面直线、距离等立体几何知识为载体的古典概型求解是高考中的重要题型,题目综合性较强,有一定的难度,解题的关键是要考虑所有的位置关系.
[典例2] 设连续掷两次骰子得到的点数分别为m,n,令平面向量a=(m,n),b=(1,3).
(1)求使得事件“a∥b”发生的概率;
(2)求使得事件“|a|≤|b|”发生的概率.
[解] (1)由题意知,
m∈{1,2,3,4,5,6},n∈{1,2,3,4,5,6}.
故(m,n)所有可能的取法共36种.
由a∥b,得n=3m,
则(m,n)的取法共有2种,即(1,3),(2,6).
所以事件“a∥b”发生的概率为=.
(2)由|a|≤|b|,得m2+n2≤10,
则(m,n)的取法共有6种,
即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1).
所以事件“|a|≤|b|”发生的概率为=.
[典例3] 城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费,太少又难以满足乘客需求,为此,某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人,将他们的候车时间(单位:分钟)作为样本分成5组,如下表所示:
组别
候车时间
人数
一
[0,5)
2
二
[5,10)
6
三
[10,15)
4
四
[15,20)
2
五
[20,25]
1
(1)求这15名乘客的平均候车时间;
(2)估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数;
(3)若从上表第三、四组的6人中选2人作进一步的问卷调查,求抽到的2人恰好来自不同组的概率.
[思路分析]
[解] (1)×(2.5×2+7.5×6+12.5×4+17.5×2+22.5×1)=×157.5=10.5,
故这15名乘客的平均候车时间为10.5分钟.
(2)由几何概型的概率计算公式可得,候车时间少于10分钟的概率为=,
所以候车时间少于10分钟的人数为60×=32.
(3)将第三组乘客编号为a1,a2,a3,a4,第四组乘客编号为b1,b2.
从6人中任选2人的所有可能情况为(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,b4),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4),(a3,b1),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2),(b1,b2),共15种,
其中2人恰好来自不同组包含8种可能情况,
故所求概率为.