【数学】2020届一轮复习人教B版简单的三角恒等变换第课时简单的三角恒等变换学案 14页

第2课时　简单的三角恒等变换 题型一　三角函数式的化简 ‎1．化简：＝.‎ 答案　2cosα 解析　原式＝＝2cosα.‎ ‎2．化简：＝.‎ 答案　cos2x 解析　原式＝ ‎＝ ‎＝＝＝cos2x.‎ ‎3．化简：－2cos(α＋β)．‎ 解　原式＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝.‎ 思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征．‎ ‎(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．‎ 题型二　三角函数的求值 命题点1　给角求值与给值求值 例1(1)[2sin50°＋sin10°(1＋tan10°)]·＝.‎ 答案　 解析　原式＝·‎ sin80°＝·‎ cos10°＝2[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)]‎ ‎＝2sin(50°＋10°)＝2×＝.‎ ‎(2)已知cos＝，θ∈，则sin＝.‎ 答案　 解析　由题意可得cos2＝＝，cos＝－sin2θ＝－，即sin2θ＝.‎ 因为cos＝>0，θ∈，‎ 所以0<θ<，2θ∈，‎ 根据同角三角函数基本关系式，可得cos2θ＝，‎ 由两角差的正弦公式，可得 sin＝sin2θcos－cos2θsin ‎＝×－×＝.‎ ‎(3)已知cos＝，<α<，则的值为．‎ 答案　－ 解析　＝ ‎＝ ‎＝sin2α·＝sin2α·tan.‎ 由<α<，得<α＋<2π，又cos＝，‎ 所以sin＝－，tan＝－.‎ cosα＝cos＝－，sinα＝－，‎ sin2α＝.‎ 所以＝×＝－.‎ 命题点2　给值求角 例2(1)设α，β为钝角，且sinα＝，cosβ＝－，则α＋β的值为(　　)‎ A. B. C. D.或 答案　C 解析　∵α，β为钝角，sinα＝，cosβ＝－，‎ ‎∴cosα＝－，sinβ＝，‎ ‎∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝>0.‎ 又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈，∴α＋β＝.‎ ‎(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tanβ＝－，则2α－β的值为．‎ 答案　－ 解析　∵tanα＝tan[(α－β)＋β]‎ ‎＝＝＝>0，‎ ‎∴0<α<.‎ 又∵tan2α＝＝＝>0，∴0<2α<，‎ ‎∴tan(2α－β)＝＝＝1.‎ ‎∵tanβ＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，‎ ‎∴2α－β＝－.‎ 引申探究 本例(1)中，若α，β为锐角，sinα＝，cosβ＝，则α＋β＝.‎ 答案　 解析　∵α，β为锐角，∴cosα＝，sinβ＝，‎ ‎∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ ‎＝×－×＝.‎ 又0<α＋β<π，∴α＋β＝.‎ 思维升华 (1)给角求值与给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法．‎ ‎(2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再求角的范围确定角．‎ 跟踪训练1　(1)已知α∈，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则＝.‎ 答案　 解析　∵α∈，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，‎ 则(2sinα－3cosα)·(sinα＋cosα)＝0，‎ 又∵α∈，sinα＋cosα>0，‎ ‎∴2sinα＝3cosα，又sin2α＋cos2α＝1，‎ ‎∴cosα＝，sinα＝，‎ ‎∴ ‎＝＝＝.‎ ‎(2)已知sinα＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β＝.‎ 答案　 解析　因为α，β均为锐角，所以－<α－β<.‎ 又sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝.‎ 又sinα＝，所以cosα＝，‎ 所以sinβ＝sin[α－(α－β)]‎ ‎＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)‎ ‎＝×－×＝.‎ 所以β＝.‎ 题型三　三角恒等变换的应用 例3(2017·浙江)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sinxcosx(x∈R)．‎ ‎(1)求f的值；‎ ‎(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．‎ 解　(1)由sin＝，cos＝－，得 f＝2－2－2××＝2.‎ ‎(2)由cos2x＝cos2x－sin2x与sin2x＝2sinxcosx，‎ 得f(x)＝－cos2x－sin2x＝－2sin.‎ 所以f(x)的最小正周期是π.‎ 由正弦函数的性质，得＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，‎ 解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.‎ 所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．‎ 思维升华三角恒等变换的应用策略 ‎(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．‎ ‎(2)把形如y＝asinx＋bcosx化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．‎ 跟踪训练2(2018·浙江绍兴六校质检)已知函数f(x)＝mcosx＋sin的图象经过点P.‎ ‎(1)求函数f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)若f(α)＝，α∈，求sinα的值．‎ 解　(1)由题意可知f＝，即＋＝，解得m＝1.‎ 所以f(x)＝cosx＋sin＝cosx＋sinx ‎＝sin，‎ 由正弦函数的性质得，－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，‎ 即2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，‎ 所以函数f(x)的单调递增区间为 (k∈Z)．‎ ‎(2)由f(α)＝，得sin＝，‎ 所以sin＝.又α∈，‎ 所以α＋∈，sin＝<，‎ 所以α＋∈，‎ 所以cos＝－＝－.‎ 所以sinα＝sin＝×－×＝.‎ 化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用 讨论形如y＝asinωx＋bcosωx型函数的性质，一律化成y＝sin(ωx＋φ)型的函数；研究y＝Asin(ωx＋φ)型函数的最值、单调性，可将ωx＋φ视为一个整体，换元后结合y＝sinx的图象解决．‎ 例已知函数f(x)＝4tanx·sin·cos－.‎ ‎(1)求f(x)的定义域与最小正周期；‎ ‎(2)讨论f(x)在区间上的单调性．‎ 解　(1)f(x)的定义域为.‎ f(x)＝4tanxcosxcos－ ‎＝4sinxcos－ ‎＝4sinx－ ‎＝2sinxcosx＋2sin2x－ ‎＝sin2x＋(1－cos2x)－ ‎＝sin2x－cos2x＝2sin.‎ 所以f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)因为x∈，‎ 所以2x－∈，‎ 由y＝sinx的图象可知，当2x－∈，‎ 即x∈时，f(x)单调递减；‎ 当2x－∈，即x∈时，f(x)单调递增．‎ 所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．‎ ‎1．若sin＝，则cos等于(　　)‎ A．－B．－C.D. 答案　A 解析　cos＝cos ‎＝－cos＝－ ‎＝－＝－.‎ ‎2．4cos50°－tan40°等于(　　)‎ A. B. C. D．2－1‎ 答案　C 解析　原式＝4sin40°－ ‎＝＝ ‎＝ ‎＝＝＝.‎ ‎3．已知sin2α＝，tan(α－β)＝，则tan(α＋β)等于(　　)‎ A．－2B．－1C．－D. 答案　A 解析　由题意，可得cos2α＝－，则tan2α＝－，tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝＝－2.‎ ‎4．在斜三角形ABC中，sinA＝－cosBcosC，且tanB·tanC＝1－，则角A的值为(　　)‎ A.B.C.D. 答案　A 解析　由题意知，sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝－cosBcosC，‎ 在等式－cosBcosC＝sinBcosC＋cosBsinC两边同除以cosBcosC，得tanB＋tanC＝－，‎ 又tan(B＋C)＝＝－1＝－tanA，‎ 即tanA＝1，因为00，∴cosα＝，‎ 又α∈(0，π)，∴α＝.将α＝代入①得cosβ＝－，‎ 又β∈(0，π)，∴β＝.‎ ‎16．已知函数f(x)＝2sinxcosx－2cos2x＋1(x∈R)．‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；‎ ‎(2)若f(x0)＝，x0∈，求cos2x0的值．‎ 解　(1)由f(x)＝2sinxcosx－2cos2x＋1，‎ 得f(x)＝(2sinxcosx)－(2cos2x－1)‎ ‎＝sin2x－cos2x ‎＝2sin，‎ 所以函数f(x)的最小正周期为π.‎ 易知f(x)＝2sin在区间上为增函数，‎ 在区间上为减函数，‎ 又f(0)＝－1，f＝2，f＝－1，所以函数f(x)在上的最大值为2，最小值为－1.‎ ‎(2)∵2sin＝，‎ ‎∴sin＝.‎ 又x0∈，‎ ‎∴2x0－∈，‎ ‎∴cos＝.‎ ‎∴cos2x0＝cos ‎＝coscos－sinsin ‎＝×－×＝.‎