【数学】2020届一轮复习人教B版　不等式选讲学案 6页

考查角度2　不等式选讲 ‎　　分类透析一　解不等式与证明不等式结合 例1 (吉大附中2018届第四次模拟)已知函数f(x)=|x-a|.‎ ‎(1)当a=-2时,解不等式f(x)≥16-|2x-1|.‎ ‎(2)若关于x的不等式f(x)≤1的解集为[0,2],求证:f(x)+f(x+2)≥2a.‎ 分析 (1)把a=-2代入不等式,根据绝对值不等式的解法,即可求出不等式的解集.‎ ‎(2)通过解绝对值不等式,结合不等式的解集确定a的值;根据绝对值不等式的解法即可证明.‎ 解析 (1)当a=-2时,不等式为|x+2|+|2x-1|≥16.‎ 当x≤-2时,原不等式可化为-x-2-2x+1≥16,解得x≤-‎17‎‎3‎;‎ 当-20及f(x)≤1,求交集可得不等式00,得|x-2|>|x-1|,则|x-2|2>|x-1|2,即x2-4x+4>x2-2x+1,解得x<‎3‎‎2‎.‎ 综上,不等式0m恒成立,须有f(x)min>m;(3)不等式的解集为R,即不等式恒成立;(4)不等式的解集为空集,即不等式无解.‎ ‎　　分类透析三　解不等式与探索性问题 例3 (江西师大附中2018届高三测试题)已知函数f(x)=x+‎‎4‎a+x-‎‎1‎b,其中a,b为正实数.‎ ‎(1)若a=b=1,求不等式f(x)≤6的解集.‎ ‎(2)若f(x)的最小值为1,问是否存在正实数a,b,使得不等式a+4b≥16成立?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.‎ 分析 (1)把要解的不等式转化为与之等价的三个不等式组,求出每个不等式组的解集,再取并集,即得所求;(2)利用绝对值三角不等式得到f(x)的最小值,再结合均值不等式即可得到结果.‎ 解析 (1)当a=b=1时,f(x)=|x+4|+|x-1|,不等式f(x)≤6等价于x≤-4,‎‎-(x+4)-(x-1)≤6‎或‎-4‎3‎‎2‎的解集;‎ ‎(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>2x成立,求a的取值范围.‎ 解析 (1)当a=2时,f(x)=|2x+1|-|2x-1|,‎ 即f(x)=‎‎-2,x≤-‎1‎‎2‎,‎‎4x,-‎1‎‎2‎‎3‎‎2‎的解集为x|x>‎‎3‎‎8‎.‎ ‎(2)当x∈(0,1)时,|2x+1|-|ax-1|>2x成立等价于当x∈(0,1)时,|ax-1|<1成立.‎ 若a≤0,则当x∈(0,1)时,|ax-1|≥1,所以不等式|ax-1|<1无解;‎ 若a>0,|ax-1|<1的解集为08-|2x-2|的解集为M.‎ ‎(1)求M.‎ ‎(2)设a,b∈M,证明:f(ab)>f(2a)-f(-2b).‎ 解析 (1)将f(x)=|x+4|代入不等式整理得|x+4|+|2x-2|>8.‎ ‎①当x≤-4时,不等式转化为-x-4-2x+2>8,‎ 解得x<-‎10‎‎3‎,所以此时x≤-4;‎ ‎②当-48,‎ 解得x<-2,所以此时-48,‎ 解得x>2,所以此时x>2.‎ 综上,M={x|x<-2或x>2}.‎ ‎(2)因为f(2a)-f(-2b)=|2a+4|-|-2b+4|≤|2a+4+2b-4|=|2a+2b|,‎ 所以要证f(ab)>f(2a)-f(-2b),‎ 只需证|ab+4|>|2a+2b|,‎ 即证(ab+4)2>(2a+2b)2,‎ 即证a2b2+8ab+16>4a2+8ab+4b2,‎ 即证a2b2-4a2-4b2+16>0,‎ 即证(a2-4)(b2-4)>0.‎ 因为a,b∈M,所以a2>4,b2>4,‎ 所以(a2-4)(b2-4)>0成立,‎ 所以原不等式成立.‎ ‎3.(2017年全国Ⅱ卷,文23改编)已知a>0,b>0,a2+b2=a+b.证明:‎ ‎(1)(a+b)2≤2(a2+b2);‎ ‎(2)(a+1)(b+1)≤4.‎ 解析 (1)因为(a+b)2-2(a2+b2)=2ab-a2-b2=-(a-b)2≤0,‎ 所以(a+b)2≤2(a2+b2).‎ ‎(2)由(1)及a2+b2=a+b得a+b≤2,‎ 因为a>b,b>0,所以00),求‎4‎a+‎1‎b的取值范围.‎ 解析 (1)由f(x)≤1,即|2x+1|≤1⇔-1≤2x+1≤1,解得-1≤x≤0,故不等式的解集为{x|-1≤x≤0}.‎ ‎(2)g(x)=f(x)+f(x-1)=|2x+1|+|2x-1|≥|2x+1-(2x-1)|=2,‎ ‎∴a+b=2(a,b>0),‎ ‎∴‎4‎a+‎1‎b=‎1‎‎2‎(a+b)‎4‎a‎+‎‎1‎b=‎1‎‎2‎‎5+‎4ba+‎ab≥‎1‎‎2‎‎5+2‎‎4ba‎·‎ab=‎9‎‎2‎,‎ 当且仅当‎4ba=ab⇔a=2b,即a=‎4‎‎3‎,b=‎2‎‎3‎时等号成立.‎ 综上,‎4‎a+‎1‎b的取值范围为‎9‎‎2‎‎,+∞‎.‎ ‎3.(山西省太原市2018届高三模拟题)设函数f(x)=|x+2|+|x-1|.‎ ‎(1)求f(x)的最小值及取得最小值时x的取值范围;‎ ‎(2)若关于x的不等式f(x)+ax-1>0的解集为R,求实数a的取值范围.‎ 解析 (1)∵函数f(x)=|x+2|+|x-1|≥|x+2-(x-1)|=3,当且仅当(x+2)(x-1)≤0时,等号成立.‎ ‎∴函数f(x)=|x+2|+|x-1|的最小值为3,‎ 此时x的取值范围为{x|-2≤x≤1}.‎ ‎　　(2)当不等式f(x)+ax-1>0的解集为R时,函数f(x)>-ax+1恒成立,‎ 即f(x)的图象恒位于直线y=-ax+1的上方.‎ ‎∵函数f(x)=|x+2|+|x-1|=‎‎-2x-1,x<-2,‎‎3,-2≤x≤1,‎‎2x+1,x>1,‎ 而函数y=-ax+1表示过点(0,1),斜率为-a的一条直线.‎ 如图所示,当直线y=-ax+1过点A(1,3)时,3=-a+1,∴a=-2;‎ 当直线y=-ax+1过点B(-2,3)时,3=2a+1,∴a=1.‎ ‎∴由数形结合可得a的取值范围为(-2,1).‎ ‎4.(湖北师大第一附属中学2018届高三5月押题)已知函数f(x)=|2x-1|-a(a∈R).‎ ‎(1)若f(x)在[-1,2]上的最大值是最小值的2倍,解不等式f(x)≥5;‎ ‎(2)若存在实数x使得f(x)<‎1‎‎2‎f(x+1)成立,求a的取值范围.‎ 解析 (1)∵x∈[-1,2],‎ ‎∴f(x)min=f‎1‎‎2‎=-a,f(x)max=f(-1)=f(2)=3-a,‎ ‎∴3-a=-2a,解得a=-3.‎ 由不等式f(x)≥5,即|2x-1|≥2,‎ 解得x≥‎3‎‎2‎或x≤-‎1‎‎2‎,‎ 故不等式f(x)≥5的解集为x|x≥‎3‎‎2‎或x≤-‎‎1‎‎2‎.‎ ‎(2)由f(x)<‎1‎‎2‎f(x+1),得a>|4x-2|-|2x+1|,‎ 令g(x)=|4x-2|-|2x+1|,问题转化为a>g(x)min.‎ 又g(x)=‎‎-2x+3,x≤-‎1‎‎2‎,‎‎-6x+1,-‎1‎‎2‎-2.‎ ‎∴实数a的取值范围为(-2,+∞).‎