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- 2021-06-16 发布
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专题37 数学归纳法
1.了解数学归纳法的原理;
2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
1.数学归纳法
证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立;
(2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.
只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.
2.数学归纳法的框图表示
高频考点一 算法的顺序结构
例1、f(x)=x2-2x-3.求f(3)、f(-5)、f(5),并计算f(3)+f(-5)+f(5)的值.设计出解决该问题的一个算法,并画出程序框图.
第七步,把y1,y2,y3的值代入y=y1+y2+y3.
第八步,输出y1,y2,y3,y的值.
该算法对应的程序框图如图所示:
【特别提醒】(1)顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的.
(2)解决此类问题,只需分清运算步骤,赋值量及其范围进行逐步运算即可.
【变式探究】如图所示的程序框图,根据该图和下列各小题的条件回答下面的几个小题.
(1)该程序框图解决的是一个什么问题?
(2)当输入的x的值为0和4时,输出的值相等,问当输入的x的值为3时,输出的值为多大?
(3)在(2)的条件下要想使输出的值最大,输入的x的值应为多大?
则f(3)=-32+4×3=3,
所以当输入的x的值为3时,输出的f(x)的值为3;
(3)因为f(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4,
当x=2时,f(x)最大值=4,
所以要想使输出的值最大,输入的x的值应为2.
高频考点二 算法的条件结构
例2、如图中x1,x2,x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分,p为该题的最终得分.当x1=6,x2=9,p=8.5时,x3等于( )
A.11B.10C.8D.7
思维点拨 依据第二个判断框的条件关系,判断是利用“x2=x3”,还是利用“x1=x3”,从而验证p是否为8.5.
【答案】C
【特别提醒】
(1)条件结构中条件的判断关键是明确条件结构的功能,然后根据“是”的分支成立的条件进行判断;
(2)对条件结构,无论判断框中的条件是否成立,都只能执行两个分支中的一个,不能同时执行两个分支.
【变式探究】(2014·四川)执行如图所示的程序框图,如果输入的x,y∈R,那么输出的S的最大值为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
【答案】C
高频考点三 算法的循环结构
例3、执行如图所示的程序框图,则输出s的值为( )
A.10 B.17
C.19 D.36
【答案】C
【解析】开始s=0,k=2;
第一次循环s=2,k=3;
第二次循环s=5,k=5;
第三次循环s=10,k=9;
第四次循环s=19,k=17,
不满足条件,退出循环,输出s=19,故选C.
【特别提醒】
利用循环结构表示算法,第一要确定是利用当型还是直到型循环结构;第二准确表示累计变量;第三要注意从哪一步开始循环.弄清进入或终止的循环条件、循环次数是做题的关键.
【变式探究】当m=7,n=3时,执行如图所示的程序框图,输出的S值为( )
A.7B.42C.210D.840
【答案】C
高频考点四 基本算法语句
例4、阅读下面两个算法语句:
i=1
WHILE i*(i+1)<20
i=i+1
WEND
PRINT “i=”;i
END
图1
i=1
DO
i=i+1
LOOP UNTIL i*(i+1)<20
PRINT “i=”;i
END
图2
执行图1中语句的结果是输出________;
执行图2中语句的结果是输出________.
【答案】i=4 i=2
【特别提醒】解决算法语句有三个步骤:首先通读全部语句,把它翻译成数学问题;其次领悟该语句的功能;最后根据语句的功能运行程序,解决问题.
【变式探究】 设计一个计算1×3×5×7×9×11×13的算法.图中给出了程序的一部分,则在横线上不能填入的数是( )
S=1
i=3
WHILE i<
S=S×i
i=i+2
WEND
PRINT S
END
A.13 B.13.5 C.14 D.14.5
【答案】A
【解析】当填i<13时,i值顺次执行的结果是5,7,9,11,当执行到i=11时,下次就是i=13,这时要结束循环,因此计算的结果是1×3×5×7×9×11,故不能填13,但填的数字只要超过13且不超过15均可保证最后一次循环时,得到的计算结果是1×3×5×7×9×11×13.
1.【2016江苏高考,26】(1)求的值;
(2)设m,nN*,n≥m,求证:
(m+1)+(m+2)+(m+3)++n+(n+1)=(m+1).
【答案】(1)0(2)详见解析
1.【2015江苏高考,23】(本小题满分10分)
已知集合,,
,令表示集合所含元素的个数.
(1)写出的值;
(2)当时,写出的表达式,并用数学归纳法证明.
【答案】(1)13(2)
下面用数学归纳法证明:
①当时,,结论成立;
②假设()时结论成立,那么时,在的基础上新增加的元素在,,中产生,分以下情形讨论:
1)若,则,此时有
,结论成立;
2)若,则,此时有
,结论成立;
3)若,则,此时有
,结论成立;
6)若,则,此时有
,结论成立.
综上所述,结论对满足的自然数均成立.
2.【2015高考北京,理20】已知数列满足:,,且.
记集合.
(Ⅰ)若,写出集合的所有元素;
(Ⅱ)若集合存在一个元素是3的倍数,证明: 的所有元素都是3的倍数;
(Ⅲ)求集合的元素个数的最大值.
【答案】(1),(2)证明见解析,(3)8
【解析】(Ⅰ)由已知可知:
(Ⅱ)因为集合存在一个元素是3的倍数,所以不妨设是3的倍数,由已知,可用用数学归纳法证明对任意,是3的倍数,当时,则M中的所有元素都是3的倍数,如果时,因为或,所以是3的倍数,于是是3的倍数,类似可得,都是3的倍数,从而对任意,是3的倍数,因此的所有元素都是3的倍数.
(Ⅲ)由于中的元素都不超过36,由,易得,类似可得,其次中的元素个数最多除了前面两个数外,都是4的倍数,因为第二个数必定为偶数,由的定义可知,第三个数及后面的数必定是4的倍数,另外,M中的数除以9的余数,由定义可知,和除以9的余数一样,
①若中有3的倍数,由(2)知:所有的都是3的倍数,所以都是3的倍数,所以除以9的余数为为3,6,3,6,...... ,或6,3,6,3......,或0,0,0,...... ,而除以9余3且是4的倍数只有12,除以9余6且是4的倍数只有24,除以9余0且是4的倍数只有36,则M中的数从第三项起最多2项,加上前面两项,最多4项.
3.(2014·安徽卷) 设实数c>0,整数p>1,n∈N*.
(1)证明:当x>-1且x≠0时,(1+x)p>1+px;
(2)数列{an}满足a1>c,an+1=an+a,证明:an>an+1>c.
【解析】证明:(1)用数学归纳法证明如下.
①当p=2时,(1+x)2=1+2x+x2>1+2x,原不等式成立.
②假设p=k(k≥2,k∈N*)时,不等式(1+x)k>1+kx成立.
当p=k+1时,(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x.
所以当p=k+1时,原不等式也成立.
综合①②可得,当x>-1,x≠0时,对一切整数p>1,不等式(1+x)p>1+px均成立.
(2)方法一:先用数学归纳法证明an>c.
①当n=1时,由题设知a1>c成立.
②假设n=k(k≥1,k∈N*)时,不等式ak>c成立.
由an+1=an+a易知an>0,n∈N*.
当n=k+1时,=+a=
1+.
由ak>c>0得-1<-<<0.
综上所述,an>an+1>c,n∈N*.
方法二:设f(x)=x+x1-p,x≥c,则xp≥c,
所以f′(x)=+(1-p)x-p=>0.
由此可得,f(x)在[c,+∞)上单调递增,因而,当x>c时,f(x)>f(c)=c.
①当n=1时,由a1>c>0,即a>c可知
a2=a1+a=a1c,从而可得a1>a2>c,
故当n=1时,不等式an>an+1>c成立.
②假设n=k(k≥1,k∈N*)时,不等式ak>ak+1>c成立,则当n=k+1时,f(ak)>f(ak+1)>f(c),
即有ak+1>ak+2>c,
所以当n=k+1时,原不等式也成立.
综合①②可得,对一切正整数n,不等式an>an+1>c均成立.
4.(2014·陕西卷) 设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x),x≥0,其中f′(x)是f(x)的导函数.
(1)令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+,求gn(x)的表达式;
(2)若f(x)≥ag(x)恒成立,求实数a的取值范围;
(3)设n∈N+,比较g(1)+g(2)+…+g(n)与n-f(n)的大小,并加以证明.
(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立,即ln(1+x)≥恒成立.
设φ(x)=ln(1+x)-(x≥0),
则φ′(x)=-=,
当a≤1时,φ′(x)≥0(仅当x=0,a=1时等号成立),
∴φ(x)在[0,+∞)上单调递增,又φ(0)=0,
∴φ(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,
∴a≤1时,ln(1+x)≥恒成立(仅当x=0时等号成立).
当a>1时,对x∈(0,a-1]有φ′(x)<0,
∴φ(x)在(0,a-1]上单调递减,
∴φ(a-1)<φ(0)=0.
即a>1时,存在x>0,使φ(x)<0,
故知ln(1+x)≥不恒成立.
综上可知,a的取值范围是(-∞,1].
(3)由题设知g(1)+g(2)+…+g(n)=++…+,
比较结果为g(1)+g(2)+…+g(n)>n-ln(n+1).
证明如下:
方法二:上述不等式等价于++…+,x>0.
令x=,n∈N+,则ln>.
故有ln 2-ln 1>,
ln 3-ln 2>,
……
ln(n+1)-ln n>,
上述各式相加可得ln(n+1)>++…+,
结论得证.
方法三:如图,dx是由曲线y=,x=n及x轴所围成的曲边梯形的面积,而++…+是图中所示各矩形的面积和,
∴++…+>dx=
dx=n-ln(n+1),
结论得证.
5.(2014·重庆卷) 设a1=1,an+1=+b(n∈N*).
(1)若b=1,求a2,a3及数列{an}的通项公式.
(2)若b=-1,问:是否存在实数c使得a2nf(a2k+1)=a2k+2,
a2(k+1)=f(a2k+1)f(a2n+1),即a2n+1>a2n+2.
所以a2n+1>-1,解得a2n+1>. ④
综上,由②③④知存在c=使a2n1,n∈N*),求证:S2n>1+(n≥2,n∈N*).
【解析】
证明 (1)当n=2时,S2n=S4=1+++=>1+,即n=2时命题成立;
(2)假设当n=k(k≥2,k∈N*)时命题成立,即S2k=1+++…+>1+,
则当n=k+1时,S2k+1=1+++…+++…+>1++++…+>1++=1++=1+,
故当n=k+1时,命题成立.
由(1)和(2)可知,对n≥2,n∈N*.不等式S2n>1+都成立.
12.已知数列{an}:a1=1,a2=2,a3=r,an+3=an+2(n∈N*),与数列{bn}:b1=1,b2=0,b3=-1,b4=0,bn+4=bn(n∈N*).记Tn=b1a1+b2a2+b3a3+…+bnan.
(1)若a1+a2+a3+…+a12=64,求r的值;
(2)求证:T12n=-4n(n∈N*).
【解析】
(1)解 a1+a2+a3+…+a12=1+2+r+3+4+(r+2)+5+6+(r+4)+7+8+(r+6)=48+4r.
∵48+4r=64,∴r=4.
(2)证明 用数学归纳法证明:当n∈N*时,T12n=-4n.
①当n=1时,T12=a1-a3+a5-a7+a9-a11=-4,故等式成立.
②假设n=k时等式成立,即T12k=-4k,那么当n=k+1时,
T12(k+1)=T12k+a12k+1-a12k+3+a12k+5-a12k+7+a12k+9-a12k+11=-4k+(8k+1)-(8k+r)+(8k+4)-(8k+5)+(8k+r+4)-(8k+8)=-4k-4=-4(k+1),等式也成立.
根据①和②可以断定:当n∈N*时,T12n=-4n.
13.设数列{an}满足a1=3,an+1=a-2nan+2,n=1,2,3,…
(1)求a2,a3,a4的值,并猜想数列{an}的通项公式(不需证明);
(2)记Sn为数列{an}的前n项和,试求使得Sn<2n成立的最小正整数n,并给出证明.
14.数列{xn}满足x1=0,xn+1=-x+xn+c(n∈N*).
(1)证明:{xn}是递减数列的充分必要条件是c<0;
(2)求c的取值范围,使{xn}是递增数列.
【解析】
(1)证明 先证充分性,若c<0,由于xn+1=-x+xn+c≤xn+c0,即xn<1-.
由②式和xn≥0还可得,对任意n≥1都有-xn+1≤(1-)(-xn).③
反复运用③式,得
-xn≤(1-)n-1(-x1)<(1-)n-1,
xn<1-和-xn<(1-)n-1两式相加,知
2-1<(1-)n-1对任意n≥1成立.
根据指数函数y=(1-)n的性质,得
2-1≤0,c≤,故00,即证xn<对任意n≥1成立.
下面用数学归纳法证明当0