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- 2021-06-16 发布
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第 3 节 定积分与微积分基本定理
最新考纲 1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概
念,几何意义;2.了解微积分基本定理的含义.
知 识 梳 理
1.定积分的概念与几何意义
(1)定积分的定义
设函数 y=f(x)定义在区间[a,b]上用分点 a=x00,
求实数 a 的值.
解 ∫a
-a
a2-x2dx 表示以原点为圆心,以 a 为半径的圆的面积的1
2,
∴∫a
-a
a2-x2dx=1
2πa2,又∵∫a
-a
2xdx=x2|a
-a =0,
∴∫a
-a
(2x+ a2-x2)dx=∫a
-a
2xdx+∫a
-a
a2-x2dx=1
2πa2,即1
2πa2=2π,∴a2=
4,又 a>0,故 a=2.
规律方法 (1)运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点:
①对被积函数要先化简,再求积分;
②求被积函数为分段函数的定积分,依据定积分“对区间的可加性”,分段积分
再求和;
③若被积函数具有奇偶性时,可根据奇、偶函数在对称区间上的定积分性质简化
运算.
(2)运用定积分的几何意义求定积分,当被积函数的原函数不易找到时常用此方
法求定积分.
【训练 1】 (1)∫1
-1
e|x|dx 的值为( )
A.2 B.2e C.2e-2 D.2e+2
(2)定积分∫1
-1
(x2+sin x)dx=________.
解析 (1)∫1
-1
e|x|dx=∫0
-1
e-xdx+∫1
0
exdx=-e-x| 0-1+ex|10=[-e0-(-e)]+(e-e 0)=
-1+e+e-1=2e-2,故选 C.
(2)∫1
-1
(x2+sin x)dx=∫1
-1
x2dx+∫1
-1
sin xdx
=2∫1
0
x2dx=2·
x3
3 |10=2
3.
答案 (1)C (2)
2
3
考点二 利用定积分计算平面图形的面积
【例 2】 (1)(2018·郑州模拟)曲线 y=2sin x(0≤x≤π)与直线 y=1 围成的封闭图
形的面积为________.
(2)(一题多解)由抛物线 y 2 =2x 与直线 y=x-4 围成的平面图形的面积为
________.
(3)已知曲线 y=x 2 与直线 y=kx(k>0)所围成的曲边图形的面积为 4
3,则 k=
________.
解析 (1)令 2sin x=1,得 sin x=1
2,当 x∈[0,π]时,得 x=π
6 或 x=5π
6 ,所以
所求面积 S= (2sin x-1)dx=(-2cos x-x) =2 3-2π
3 .
(2) 如图所示,解方程组{y2=2x,
y=x-4,得两交点为(2,-
2),(8,4).
法一 选取横坐标 x 为积分变量,则图中阴影部分的面积 S 可看作两部分面积之
和,
即 S=2∫2
0
2xdx+∫8
2
( 2x-x+4)dx=18.
法二 选取纵坐标 y 为积分变量,则图中阴影部分的面积 S=∫4
-2(y+4-1
2y2)dy=
18.
(3)由{y=x2,
y=kx,得{x=0,
y=0 或{x=k,
y=k2,则曲线 y=x2 与直线 y=kx(k>0)所围成的曲边
梯形的面积为∫k
0
(kx-x2)dx=(k
2x2-1
3x3)|k
0 =k3
2 -1
3k3=4
3,则 k3=8,∴k=2.
答案 (1)2 3-2π
3 (2)18 (3)2
规律方法 利用定积分求解曲边图形的面积,关键把握住两点:一是准确确定被
积函数,一般的原则是“上”-“下”,即根据曲边图形的结构特征,用上方曲
线对应的函数解析式减去下方曲线对应的函数解析式;二是准确确定定积分的上
下限,应为曲边图形左右两边对应的点的横坐标,上下限的顺序不能颠倒.
【训练 2】 (1)(2018·唐山统考)过点(-1,0)的直线 l 与曲线 y= x相切,则曲线 y
= x与 l 及 x 轴所围成的封闭图形的面积为________.
(2)曲线 y= x,y=2-x,y=-1
3x 所围成图形的面积为________.
解析 (1)因为 y= x的导数为 y′= 1
2 x,
设切点为 P(x0,y0),
则切线的斜率为 1
2 x0=
x0
x0+1
,
解得 x0=1,即切线的斜率为1
2,
所以直线 l 的方程为 y=1
2(x+1),
所以所围成的封闭图形的面积为
∫1
0[1
2(x+1)- x]dx+1
2×1×1
2
=(1
4x2+1
2x-2
3x
3
2
)|1
0 +1
4=1
3.
(2)如图所示.由{y= x,
y=2-x得交点 A(1,1).
由{y=2-x,
y=-1
3x 得交点 B(3,-1).
故所求面积 S=∫1
0( x+1
3x)dx+∫3
1(2-x+1
3x)dx
=(2
3x
2
3+1
6x2)|1
0 +(2x-1
3x2)|3
1
=2
3+1
6+4
3=13
6 .
答案 (1)
1
3 (2)
13
6
考点三 定积分在物理中的应用
【例 3】 一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度 v(t)=
7-3t+ 25
1+t(t 的单位:s,v 的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距
离(单位:m)是( )
A.1+25ln 5 B.8+25ln
11
3
C.4+25ln 5 D.4+50ln 2
解析 令 v(t)=0,得 t=4 或 t=-8
3(舍去),
∴汽车行驶距离 s=∫4
0(7-3t+ 25
1+t)dt
=[7t-3
2t2+25ln(1+t)]|4
0
=28-24+25ln 5=4+25ln 5(m).
答案 C
规律方法 定积分在物理中的两个应用
(1)变速直线运动的位移:如果变速直线运动物体的速度为 v=v(t),那么从时刻 t
=a 到 t=b 所经过的位移 s=∫b
av(t)dt.
(2)变力做功:一物体在变力 F(x)的作用下,沿着与 F(x)相同方向从 x=a 移动到 x
=b 时,力 F(x)所做的功是 W=∫b
a
F(x)dx.
【训练 3】 一物体在变力 F(x)=5-x2(力单位:N,位移单位:m)作用下,沿与
F(x)成 30°方向作直线运动,则由 x=1 运动到 x=2 时,F(x)做的功为( )
A. 3 J B.
2 3
3 J C.
4 3
3 J D.2 3 J
解析 ∫2
1
F(x)cos 30°dx=∫2
1
3
2 (5-x2)dx
=[(5x-1
3x3) ×
3
2 ]|2
1 =4
3 3,
∴F(x)做的功为4
3 3 J.
答案 C
基础巩固题组
(建议用时:25 分钟)
一、选择题
1.(2018·西安调研)定积分∫1
0
(2x+ex)dx 的值为( )
A.e+2 B.e+1 C.e D.e-1
解析 ∫1
0
(2x+ex)dx=(x2+ex)|1
0 )=1+e1-1=e.
答案 C
2.若 ∫a
1(2x+1
x)dx=3+ln 2(a>1),则 a 的值是( )
A.2 B.3 C.4 D.6
解析 ∫a
1(2x+1
x)dx=(x2+ln x)|a
1 =a2+ln a-1=3+ln 2,即 a2+ln a=4+ln 2,
故 a=2.
答案 A
3.(2018·大连双基测试) sin2x
2dx 等于( )
A.0 B.
π
4 -1
2 C.
π
4 -1
4 D.
π
2 -1
解析 sin2x
2dx= 1-cos x
2 dx
=(1
2x-1
2sin x) =π
4 -1
2.
答案 B
4.定积分∫2
0
|x-1|dx 等于( )
A.1 B.-1 C.0 D.2
解析 ∫2
0
|x-1|dx=∫1
0
(1-x)dx+∫2
1
(x-1)dx
=(x-1
2x2)|1
0 +(1
2x2-x)|2
1 =(1-1
2)+(2-2)-(1
2-1)=1.
答案 A
5.若 f(x)={lg x,x > 0,
x+∫a
0 3t2dt,x ≤ 0,f(f(1))=1,则 a 的值为( )
A.1 B.2 C.-1 D.-2
解析 因为 f(1)=lg 1=0,f(0)=∫a
0
3t2dt=t3|a
0 =a3,所以由 f(f(1))=1,得 a3=
1,a=1.
答案 A
π
2
0
∫
π
2
0
∫
π
2
0
∫
6.由直线 x=-π
3
,x=π
3 ,y=0 与曲线 y=cos x 所围成的封闭图形的面积为( )
A.
1
2 B.1 C.
3
2 D. 3
答案 D
7.由 y=x2,y=x2
4 ,y=1 所围成的图形的面积为( )
A.
4
3 B.
3
4 C.2 D.1
解析 如图所示,阴影部分的面积为
S=2[∫1
0 (x2-1
4x2)dx+ ∫2
1 (1-1
4x2)dx]
=2(1
3- 1
12
+2- 1
12 × 23-1+ 1
12)=4
3.
答案 A
8.如图,指数函数的图象过点 E(2,9),则图中阴影部分
的面积等于( )
A.
8
ln 3 B.8
C.
9
ln 3 D.9
解析 设指数函数为 y=ax(a>0 且 a≠1),因为其过点 E(2,
9),所以 a2=9,解得 a=3,所以图中阴影部分的面积 S= ∫2
0
3xdx= 3x
ln 3|2
0 =
8
ln 3.
答案 A
二、填空题
9.∫e
1(x+1
x)dx=________.
解析 ∫e
1(x+1
x)dx=(x2
2 +ln x)|e
1
=e2
2 +1-1
2=e2+1
2 .
答案
e2+1
2
10.一物体作变速直线运动,其 v-t 曲线如图所示,则该物
体在1
2 s~6 s 间的运动路程为________m.
解析 由题图可知,v(t)={2t (0 ≤ t < 1),
2 (1 ≤ t ≤ 3),
1
3t+1 (3 < t ≤ 6).
由变速直线运动的路程公式,可得
所以物体在1
2 s~6 s 间的运动路程是49
4 m.
答案
49
4
11.(2018·洛阳统考)函数 f(x)= {x+1,-1 ≤ x < 0,
ex,0 ≤ x ≤ 1 的图象与直线 x=1 及 x 轴
所围成的封闭图形的面积为________.
解析 由题意知所求面积为∫0
-1
(x+1)dx+ ∫1
0
exdx=(1
2x2+x)|0
-1 +ex|1
0 =-
(1
2-1)+(e-1)=e-1
2.
答案 e-1
2
12. 如图所示,函数 y=-x2+2x+1 与 y=1 相交形
成一个闭合图形(图中的阴影部分),则该闭合图形的面积是________.
解析 由{y=-x2+2x+1,
y=1,
解得 x1=0,x2=2.
∴S=∫2
0
(-x2+2x+1-1)dx=∫2
0
(-x2+2x)dx
=(-x3
3+x2)|2
0 =-8
3+4=4
3.
答案
4
3
能力提升题组
(建议用时:10 分钟)
13.(2018·广州调研)设 f(x)={ 1-x2,x ∈ [-1,1),
x2-1,x ∈ [1,2], 则 ∫2
-1
f(x)dx 的值为( )
A.
π
2 +4
3 B.
π
2 +3 C.
π
4 +4
3 D.
π
4 +3
解析 ∫2
-1
f(x)dx=∫1
-1
1-x2dx+∫2
1
(x2-1)dx
=1
2π×12+(1
3x3-x)|2
1 =π
2 +4
3.
答案 A
14.若 f(x)=x2+2∫1
0
f(x)dx,则 ∫1
0
f(x)dx=( )
A.-1 B.-1
3 C.
1
3 D.1
解析 由题意知 f(x)=x2+2∫1
0
f(x)dx,
设 m=∫1
0
f(x)dx,
∴f(x)=x2+2m,
∫1
0
f(x)dx=∫1
0
(x2+2m)dx=(1
3x3+2mx)|1
0
=1
3+2m=m,
∴m=-1
3.
答案 B
15.一物体在力 F(x)={5,0 ≤ x ≤ 2,
3x+4,x>2 (单位:N)的作用下沿与力 F 相同的方
向,从 x=0 处运动到 x=4(单位:m)处,则力 F(x)做的功为________ J.
解析 由题意知,力 F(x)所做的功为
W=∫4
0
F(x)dx=∫2
0
5dx+∫4
2
(3x+4)dx
=10+[3
2 × 42+4 × 4-(3
2 × 22+4 × 2)]=36(J).
答案 36
16.(2018·长春模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,将直线 y=x 与直线 x=1 及 x 轴
所围成的图形绕 x 轴旋转一周得到一个圆锥,圆锥的体积 V 圆锥=∫1
0
πx2dx=π
3 x3
|1
0 =π
3 .据此类比:将曲线 y=2 ln x 与直线 y=1 及 x 轴、y 轴所围成的图形绕
y 轴旋转一周得到一个旋转体,该旋转体的体积 V=________.
解析 类比已知结论,将曲线 y=2ln x 与直线 y=1 及 x 轴、y 轴所围成的图形绕 y
轴旋转一周得到旋转体的体积应为一定积分,被积函数为π(e
y
2 ) 2
=πey,积
分变量为 y,积分区间为[0,1],即 V=∫1
0
πeydy=πey|1
0 =π(e-1).
答案 π(e-1)