【数学】2019届一轮复习人教B版（文科数学）极坐标与参数方程学案 13页

极坐标与参数方程 极坐标与参数方程为高考选考内容之一，一道解答题，满分10分，考查难度定位中等偏易，是考生容易突破的一道题目，主要考查直线与特殊位置的圆的极坐标方程，考查直线、圆、椭圆的参数方程，考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、极坐标方程与参数方程的互化，考查利用参数方程求轨迹的问题及轨迹方程的建立，考查参数方程与极坐标方程的直接应用，如极坐标系下两点间距离的求解等，交汇考查直线与圆锥曲线的位置关系、平面几何的有关基础知识、三角函数的性质等. 试题分设两问，第一问考查内容多为“互化”. 第二问考查内容均为利用参数方程中参数的几何意义或极坐标方程中的几何意义解决问题，内容涉及距离、面积、弦长、交点、轨迹等问题. 理论上说，本系列的问题通过“互化”转化为普通直角坐标方程后，均可用解析几何的相关知识加以解决，但是高考全国卷更加关注用本领域知识解决相关问题的考查，下面从学生存在的主要问题剖析出发，提出相应的教学对策.‎ 一、存在的问题及原因分析 ‎（一）对直线参数方程中参数的几何意义认识不到位 ‎【例1】在平面直角坐标系中，直线的参数方程为.直线与曲线交于两点.求的长；‎ ‎【解析】把直线的参数方程化为标准的参数方程（为参数）‎ 代入曲线整理得，所以 所以.‎ ‎【评析】本题易错的主要原因是对直线参数方程中参数的几何意义的认识不清，错误的由点对应的参数分别为得. 当直线的参数方程非标准式时，其参数并不具有距离的几何意义，只有把直线的参数方程化为标准的参数方程时，才表示距离.一般地，直线（t表示参数），当时，表示点到点的距离.‎ ‎【例2】在直角坐标系，直线的参数方程是（是参数）．在以为极点，轴正 半轴为极轴的极坐标系中，曲线：，若直线与曲线相交于两点，设，且,求直线的倾斜角．‎ ‎【解析】直线为经过点倾斜角为的直线，由代入，整理得，，设对应的参数分别为，则，‎ ‎， 所以，异号， 则，所以，又所以直线倾斜角或. ‎ ‎【评析】本题易错的主要原因仍是直线参数方程中参数的几何意义认识不到位所致，表示距离，是包含符号的，由于本题中，在点的两侧，异号，故而不是. 此外，本题的参数方程中含两个字母参量，哪个是参数在审题时也是值得特别注意的.‎ ‎（二）忽略参数的取值范围导致“互化”不等价 ‎【例题3】将曲线的参数方程（为参数）化为普通方程.‎ ‎【解析】把两边平方得，所以，‎ ‎∵∴‎ ‎∴所求曲线的普通方程为，‎ ‎【评析】本题易错点主要在于忽视了三角函数的有界性，即所以在将曲线的参数方程化为普通方程时，不仅要把其中的参数消去，还要注意的取值范围.‎ ‎（三）对极径的意义理解不到位，不能灵活使用极径解决问题 ‎【例题4】（2017全国II卷22）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）M为曲线上的动点,点P在线段上,且满足,求点P的轨迹的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值．‎ ‎【解析】（Ⅰ）设P的极坐标为，M的极坐标为，则由已知得 即，得的极坐标方程为，‎ 所以的直角坐标方程为 ‎（Ⅱ）设点B的极坐标为,由题设知,于是面积 因为，所以，‎ 所以当时，S取得最大值，所以面积的最大值为.‎ ‎【评析】本题的主要问题在于对于极径的意义理解不到位，其一，不能将极径与、建立联系，从而无法快速求出P的轨迹方程，其二，不能利用极径的几何意义建立的面积模型进行求解，而是顺着第一问的思路在直角坐标系下寻求解题出路，结果造成不能顺利建模亦或是建立面积关于直线OB斜率的函数关系，致使解题过程复杂化，计算量加大，最终无法准确求解. 此外，在第（Ⅰ）问题目中还隐含着一个条件，如果审题稍有不慎极易遗漏这一限制条件.‎ ‎（四）思维不严谨性，完备性欠缺 ‎【例题5】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）.‎ ‎ （Ⅰ）将的方程化为普通方程；‎ ‎（Ⅱ）以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线的极坐标方程是求曲线与交点的极坐标.‎ ‎【解析】（Ⅰ）曲线的参数方程为为参数）的普通方程为；‎ ‎（Ⅱ）把代入得曲线的极坐标方程为，把代入得，又因为曲线和曲线的均过原点，.所以曲线与交点的极坐标为 ‎【评析】本题直接用极坐标方程求交点的极坐标非常容易遗漏（0,0）点.在极坐标方程与直角坐标方程互化的过程中，经常需要在方程两边同乘以或除以，这时需要考虑等价问题：如果曲线不通过极点，那么与不等价；如果曲线通过极点，那么与等价，这是因为包含在方程的曲线中. 本题由于曲线和曲线的均过原点，所以交点的极坐标还包含有.如果本题用直角坐标方程求解也不难，且不易遗漏原点.所以求交点坐标的问题，一般宜用我们熟悉的直角坐标方程求解.‎ ‎【例题6】在直角坐标系中，直线曲线（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（Ⅰ）写出直线与的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若射线分别交与于A，B两点，求的取值范围.‎ ‎【解析】（Ⅰ）在直角坐标系xOy中，直线直线的极坐标方程为 曲线的普通方程为，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅱ）设则 ‎，‎ 的取值范围是 ‎【评析】本题的易漏点在于对题目隐含条件的挖掘，求出后直接得的取值范围是忽略了射线分别交与于相交，隐含着这一条件.‎ 二、解决问题的思考与对策 ‎（一）关注两个“互化”的技能训练 参数方程和普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化是高考每年必考的内容之一，考查形式多样，有直接要求互化的，也有通过转化化为直角坐标方程或普通方程，然后利用解析几何的相关知识解决问题的，因此，应通过专项训练使之熟练化、自动化.‎ ‎【例7】（2017年高考全国III卷23）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为．设与的交点为，当变化时，的轨迹为曲线．‎ ‎（Ⅰ）写出的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，为与的交点，求的极径．‎ ‎【解析】（Ⅰ）将参数方程转化为一般方程 ①， ②‎ ‎，消可得，即点的轨迹方程为.‎ ‎（Ⅱ）将极坐标方程转化为一般方程，联立，解得.‎ 由，解得，即的极半径是．‎ ‎（二）强化对直线参数方程中参数的几何意义的认识 利用直线参数方程中参数的几何意义，可以快速求解与线段长度、距离等相关的问题. 使用时应注意表示距离时方程的特征和所具有的“方向”性.‎ ‎ 【例8】在极坐标系中，已知曲线：和曲线：，以极点为坐标原点，极轴为轴非负半轴建立平面直角坐标系.‎ ‎ （Ⅰ）求曲线和曲线的直角坐标方程；‎ ‎ （Ⅱ）若点是曲线上一动点，过点作线段的垂线交曲线于点，求线段长度的最小值.‎ ‎【解析】（Ⅰ）的直角坐标方程为，的直角坐标方程为；‎ ‎（Ⅱ）设曲线与x轴异于原点的交点为A,,过点A,‎ 设直线PQ的参数方程为，‎ 代入可得解得，‎ 可知 代入可得解得，‎ 可知 所以PQ=当且仅当时取等号，‎ 所以线段PQ长度的最小值为.‎ ‎（三）关注圆、椭圆参数方程在求最值方面的应用 ‎ 涉及有关最值或参数范围问题的求解，常可利用圆与椭圆的参数方程，化为三角函数的最值问题处理.‎ ‎【例9】（2017年高考全国I卷22）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为.‎ ‎（Ⅰ）若，求与的交点坐标；‎ ‎（Ⅱ）若上的点到的距离的最大值为，求.‎ ‎ 【解析】（Ⅰ）当时，直线的方程为，曲线的标准方程为.‎ 联立方程，解得或，则与交点坐标是和.‎ ‎（Ⅱ）直线一般式方程为，设曲线上点．‎ 则点到的距离，其中．‎ 依题意得，解得或. ‎ ‎（四）关注极径、极角几何意义的认识与应用 ‎【例10】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎ （Ⅰ）求曲线普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎ （Ⅱ）已知曲线的极坐标方程为，点是曲线与的交点，点是曲线与的交点，且，均异于原点，且，求实数的值.‎ ‎ 【解析】（Ⅰ）由消去参数可得普通方程为，.‎ ‎，，‎ 由，得曲线的直角坐标方程为；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得曲线：，其极坐标方程为，‎ 由题意设，，‎ 则，‎ ‎，，‎ ‎，.‎ ‎（五）注重算法的选择，关注运用本领域知识进行的问题解决 将陌生的问题化为已知的问题加以解决，是问题解决的常见思维模式，对极坐标、参数方程的有关问题解决，最简洁的思路就是将极坐标方程转化为直角坐标方程、参数方程转化为普通方程，再利用解析几何的知识解决问题，然而在有些情况下这种转化却会加大运算过程，有时还会出现无法计算结果的情形，近年来高考全国卷就经常出现这种情况，因此除了掌握化为普通直角坐标方程求解的算法外，还应关注运用本领域知识解决问题的算法.‎ ‎【例11】（2016年高考全国Ⅲ卷22）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .‎ ‎（Ⅰ）写出的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设点P在上，点Q在上，求的最小值及此时P的直角坐标.‎ ‎【解法一】（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为.‎ ‎（Ⅱ）设点，因为直线，所以的最小值即为点到直线的距离的最小值.‎ 而点到直线的距离为 当且仅当时，取得最小值，即的最小值为，此时点.‎ ‎【解法二】（Ⅰ）同法（Ⅰ）. ‎ ‎（Ⅱ）将向下平移至与第一次相切，得切线：，由题意可得，且的最小值即为，间的距离，切点即为所求.‎ 由消元得，，‎ ‎，得，，所以，‎ 当时，方程可化为，即 所以，，即切点，此时 ，即的最小值为.‎ 显然，法一优于法二，即利用椭圆参数方程，将问题转化为三角函数最值运算优于转化为直角坐标用解析几何知识解决.‎ ‎（六）关注作图能力的培养 ‎ 与解析几何相同，本部分核心内容也是利用代数的手段研究几何问题，因此正确的作图对于成功解题有着决定性作用，应养成边读边画，以图助理解，以图找思路的良好习惯，图形引领数形结合，战无不胜.‎ 三、典型问题剖析 ‎（一）两种“互化”及其应用 ‎【例题12】（2013年高考全国课标卷23） 已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.‎ ‎(Ⅰ)把C1的参数方程化为极坐标方程；‎ ‎(Ⅱ)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．‎ ‎【解析】(Ⅰ)将消去参数t，化为普通方程，‎ 即.‎ 将代入得.‎ 所以的极坐标方程为.‎ ‎(Ⅱ)的普通方程为.‎ 由 解得或 所以与交点的极坐标分别为，.‎ ‎【评析】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及利用“互化”解决有关曲线交点的问题.解题的关键在于两种“互化”相关公式的理解与熟练掌握.‎ ‎（二）利用参数方程解决问题 ‎【例题13】已知圆锥曲线和定点是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求直线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）经过点且与直线垂直的直线交此圆锥曲线于两点，求的值．‎ ‎【解析】（Ⅰ）曲线可化为焦点为 经过和的直线方程为即 ‎（Ⅱ）由(Ⅰ)知，直线的斜率为，因为所以的斜率为倾斜角为，‎ 所以的参数方程为（为参数），‎ 代入椭圆的方程中，得 因为在点的两侧，所以 ‎【评析】本题主要考查参数方程与直角坐标方程互化及直线参数方程的几何意义，其第（Ⅱ）问解题的关键是构建用于解决问题的直线的参数方程，并利用参数的几何意义求解. 特别应注意由于的符号判断错误引起的失分.‎ ‎【例题14】（2014年全国课标Ⅰ卷23） 已知曲线，直线（为参数）‎ ‎（Ⅰ）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）过曲线上任意一点作与夹角为30°的直线，交于点，求的最大值与最小值.‎ ‎【解析】（Ⅰ）曲线的参数方程为： （为参数）， ‎ 直线l的普通方程为：. ‎ ‎（Ⅱ）在曲线C上任意取一点P (2cos,3sin)到l的距离为，‎ 则，其中为锐角．且.‎ 当时，取得最大值，最大值为；‎ 当时，取得最小值，最小值为. ‎ ‎【评析】本题解题的关键之一在于将的最值问题，转化为点P到直线的距离的最值问题，其二在于确定P点的坐标形式，通过椭圆的参数方程设点，进而利用三角函数有界性解决问题，解题过程轻松、快捷.‎ ‎（三）利用的几何意义解决问题 ‎【例题15】(2016年高考全国Ⅱ卷22)在直角坐标系中，圆的方程为．‎ ‎（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）, 与交于两点，，求的 斜率．‎ ‎【解析】（Ⅰ）由，得，‎ 因为，所以的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅱ）设对应的极径分别为，则 得，，‎ 所以，‎ 由得，所以的斜率为或． ‎ ‎（四）极坐标与参数方程的综合应用 ‎ 【例题16】（2018宁德市第一次质检卷22）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为，为曲线上异于极点的动点，点在射线上，且成等 比数列．‎ ‎（Ⅰ）求点的轨迹的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）已知,是曲线上的一点且横坐标为，直线与交于两点，试求 的值．‎ 解：（1）设，，则由成等比数列，可得，‎ 即，．又满足，即，∴，‎ 故的直角坐标方程为．‎ ‎（Ⅱ）依题意可得，故，即直线倾斜角为，‎ ‎∴直线的参数方程为 代入圆的直角坐标方程，得，‎ 故，，∴．‎ 四、过关练习 ‎1.在直角坐标系，直线的参数方程是（是参数）．在以为极点，轴正半轴为极 轴的极坐标系中，曲线：． ‎ ‎（Ⅰ）当，时，判断直线与曲线的位置关系；‎ ‎　　（Ⅱ）当时，若直线与曲线相交于两点，设，且,求直线的倾斜角．‎ ‎【解析】（Ⅰ）由，得，又，，‎ 得曲线的普通方程为，所以曲线是以为圆心，2为半径的圆.‎ 由直线的参数方程为（为参数），得直线的直角坐标方程为． ‎ 由圆心到直线的距离，故直线与曲线相交.‎ ‎（Ⅱ）直线为经过点倾斜角为的直线，‎ 把代入，整理得，，‎ 设对应的参数分别为，则，， ‎ 所以异号， 则，‎ 所以 又，所以直线的倾斜角或. ‎ ‎2.在直角坐标系中，直线：=2，圆：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（I）求，的极坐标方程；‎ ‎（II）若直线的极坐标方程为，设与的交点为,，求的面积.‎ ‎【解析】（I）因为，所以的极坐标方程为，的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅱ）将代入，得，解得=，=，|MN|=－=，因为的半径为1，则的面积=.‎ ‎3.在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线．‎ ‎（Ⅰ）说明是哪一种曲线，并将的方程化为极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）直线的极坐标方程为，其中满足，若曲线与的公共点都在上，求．‎ ‎【解法一】（Ⅰ） （均为参数）,∴ ①‎ ‎∴为以为圆心，为半径的圆．方程为 ‎∵,∴ 即为的极坐标方程 ‎（Ⅱ）,两边同乘得 ‎,即 ②,：化为普通方程为 由题意：和的公共方程所在直线即为,①—②得：，即为 ‎∴,∴‎ ‎【解法二】（Ⅰ）同解法一；‎ ‎（Ⅱ）曲线的公共点的极坐标满足方程组 若由方程组由已知 可得从而解得（舍去）‎ 时，极点也为的公共点，在上所以 ‎4.在平面直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为（为参数，）．以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）已知曲线与曲线交于、两点，且，求实数的值．‎ ‎【解析】（Ⅰ）曲线参数方程为,∴其普通方程，‎ 由曲线的极坐标方程为,∴‎ ‎∴,即曲线的直角坐标方程.‎ ‎（Ⅱ）设、两点所对应参数分别为，把代入，得 由已知,即，又 根据参数方程的几何意义可知，‎ 又由可得，即或 ‎∴当时，有，符合题意．‎ 当时，有，符合题意．‎ 综上所述，实数的值为或．‎