新教材数学北师大版（2019）必修第二册课件：6-5-2 平面与平面垂直 课件（111张） 111页

5.2　平面与平面垂直 必备知识·自主学习 1.半平面 一个平面内的一条直线,把这个平面分成两部分,其中的每一部分都称为半平面. 2.二面角 (1)定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角. (2)相关概念: ①这条直线称为二面角的棱,②这两个半平面称为二面角的面. 导思 1.平面与平面垂直的定义是什么? 2.面面垂直能得到线线垂直吗?能得到线面垂直吗? 3.怎样理解二面角? (3)画法: (4)记法:二面角α-AB-β或α-l-β. (5)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为 端点,在两个半平面内分别作_____于棱的两条 射线,这两条射线所成的角称为二面角的平面角. 如图:则二面角α-l-β的平面角是∠AOB. (6)二面角的平面角θ的取值范围:0°≤θ≤180°. 垂直 【思考】 两个平面相交成90°的二面角时,两个平面什么位置关系呢? 提示:两平面相交,平面角是直角的叫做直二面角,就说这两个平面互相垂直. 3.平面与平面垂直的性质定理 (1)文字叙述:两个平面垂直,如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的 _____,那么这条直线与另一个平面垂直. (2)图形表示: 交线 (3)符号表示:α⊥β,a⊂α,α∩β=l,a⊥l⇒a⊥β. (4)作用:证明直线和平面垂直. 【思考】 应用面面垂直的性质定理的关键点是什么呢? 提示:应用面面垂直的性质定理的关键是两个垂直的平面中,一个平面内的直线 如果垂直于两个平面的交线即实现面面垂直向线面垂直的转化. 4.平面与平面垂直的判定定理 (1)语言叙述:如果一个平面过另一个平面的_____,那么这两个平面垂直. (2)图形表示: (3)符号表示:l⊂α,l⊥β⇒α⊥β. 垂线 【思考】 从转化的角度看,空间中的垂直关系是怎样的呢? 提示: 【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系. (　　) (2)异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角 相等或互补. (　　) (3)已知两个平面垂直,那么一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数 条直线.(　　) (4)已知两个平面垂直,那么过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必 垂直于另一个平面. (　　) (5)若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条平行线,则α⊥β. (　　) 提示:(1)正确;(2)正确;(3)正确;(4)当这个点在两个平面的交线上时,命题不 正确;(5)平面α内的这一条直线和平面β垂直时,才有α⊥β. 答案:(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)× 2.直线l⊥平面α,l⊂平面β,则α与β的位置关系是(　　) A.平行　　　　　　 B.可能重合 C.相交且垂直 D.相交不垂直 【解析】选C.由面面垂直的判定定理,得α与β垂直. 3.(教材二次开发:习题改编)经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直 的平面有________个.  【解析】设平面外的点为A,平面内的点为B,过点A作平面α的垂线l,若点B恰为 垂足,则所有过AB的平面均与α垂直,此时有无数个平面与α垂直;若点B不是垂 足,则l与点B确定唯一平面β满足α⊥β. 答案:1个或无数个 关键能力·合作学习 类型一　平面与平面垂直性质定理及应用(直观想象、逻辑推理) 【题组训练】 1.已知平面α、β和直线m、l,则下列命题中正确的是(　　) A.若α⊥β,α∩β=m,l⊥m,则l⊥β B.若α∩β=m,l⊂α,l⊥m,则l⊥β C.若α⊥β,l⊂α,则l⊥β D.若α⊥β,α∩β=m,l⊂α,l⊥m,则l⊥β 2.如图所示,三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥底面ABC,且PA=PB=PC,则△ABC是 ________三角形.  3.如图所示,P是四边形ABCD所在平面外的一点,四边形ABCD是∠DAB=60°且边 长为a的菱形.侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.G为AD边的中点. 求证: (1)BG⊥平面PAD; (2)AD⊥PB. 【解析】1.选D.选项A缺少了条件l⊂α;选项B缺少了条件α⊥β;选项C缺少了 条件α∩β=m,l⊥m;选项D具备了面面垂直的性质定理的全部条件. 2.设P在平面ABC上的射影为O,因为平面PAB⊥底面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB, 所以O∈AB. 因为PA=PB=PC,所以OA=OB=OC, 所以O是△ABC的外心,且是AB的中点, 所以△ABC是直角三角形. 答案:直角 3.(1)由题意知△PAD为正三角形,G是AD的中点,所以PG⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PG⊂平面PAD, 所以PG⊥平面ABCD,由BG⊂平面ABCD,所以PG⊥BG.又因为四边形ABCD是菱形且 ∠DAB=60°, 所以△ABD是正三角形,所以BG⊥AD.又AD∩PG=G,AD,PG⊂平面PAD,所以BG⊥平 面PAD. (2)由(1)可知BG⊥AD,PG⊥AD,BG∩PG=G,BG,PG⊂平面PBG,所以AD⊥平面PBG, 又PB⊂平面PBG,所以AD⊥PB. 【解题策略】 对面面垂直的性质定理的理解 (1)定理成立的条件有三个: ①两个平面互相垂直; ②直线在其中一个平面内; ③直线与两平面的交线垂直. (2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直,故可用来证明线面垂直. (3)已知面面垂直时,可以利用此定理转化为线面垂直,再转化为线线垂直. 【补偿训练】 如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2. 求证:BF⊥平面ACFD. 【证明】延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示. 因为平面BCFE⊥平面ABC,平面BCFE∩平面ABC=BC, 且AC⊥BC,AC⊂平面ABC,所以AC⊥平面BCK,因此 BF⊥AC. 又因为EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以△BCK为 等边三角形,且F为CK的中点,则BF⊥CK.又CK∩ AC=C,CK,AC⊂平面ACFD,所以BF⊥平面ACFD. 类型二　平面与平面垂直的判定(逻辑推理) 【典例】 如图所示,在四面体A-BCS中,已知∠BSC=90°,∠BSA=∠CSA=60°,又SA=SB=SC. 求证:平面ABC⊥平面SBC. 四步 内容 理解 题意 条件:在四面体ABCS中,已知 ∠BSC=90°,∠BSA=∠CSA=60°,又SA=SB=SC. 结论:平面ABC⊥平面SBC. 思路 探求 求证平面ABC⊥平面SBC,可证明二面角A-BC-S为直二面角, 也可以证明AD⊥平面SBC,其中D为斜边BC的中点. 四步 内容 书写 表达 【证明】方法一:(利用定义证明) 因为∠BSA=∠CSA=60°,SA=SB=SC, 所以△ASB和△ASC均是等边三角形,则有SA=SB=SC =AB=AC,令其值为a, 则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形.取BC的 中点D,如图所示, 连接AD,SD,则AD⊥BC,SD⊥BC, 所以∠ADS为二面角A-BC-S的平面角. 在Rt△BSC中,因为SB=SC=a,所以SD= a,BD= = a. 在Rt△ABD中,AD= a, 在△ADS中,因为SD2+AD2=SA2, 所以∠ADS=90°,即二面角A-BC-S为直二面角,故平面ABC⊥平面SBC. 2 2 BC 2 2 2 2 2 四步 内容 书写 表达 方法二:(利用判定定理) 因为SA=SB=SC,且∠BSA=∠CSA=60°,所以△ASB和△ASC均是等边三 角形, 所以SA=AB=AC, 所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心.因为△SBC为直角三角 形, 所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点,所以AD⊥平面SBC.又因 为AD⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面SBC. 注意书写的规范性:在立体几何中的证明问题,需要特别注意符号语 言的规范性,证明面面垂直,条件一定要写全,不能有遗漏,特别是“ 垂线在平面内”这个条件. 题后 反思 【解题策略】 证明面面垂直常用的方法 (1)定义法:即说明两个半平面所成的二面角是直二面角; (2)判定定理法:在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直,即把问题 转化为“线面垂直”; (3)性质法:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于此平 面. 【跟踪训练】 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,E为PD的中点. (1)求证:PB∥平面AEC; (2)若PA⊥平面ABCD,PA=AD,求证:平面AEC⊥平面PCD. 【证明】(1)连接BD交AC于点O,连接EO, 因为O为BD中点,E为PD中点,所以EO∥PB, 又EO⊂平面AEC,PB⊄ 平面AEC, 所以PB∥平面AEC. (2)因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD, 所以PA⊥CD,又AD⊥CD,且AD∩PA=A, 所以CD⊥平面PAD,又AE⊂平面PAD, 所以CD⊥AE. 因为PA=AD,E为PD中点, 所以AE⊥PD. 又CD∩PD=D,所以AE⊥平面PDC, 又AE⊂平面AEC,所以平面AEC⊥平面PDC. 【拓展延伸】 垂直关系的综合应用 1.三种垂直的综合问题,一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转 化. 2.垂直与平行的综合问题,求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用. 【拓展训练】 如图,在多面体ABCDPE中,四边形ABCD和CDPE都是直角梯形,AB∥DC,PE∥DC, AD⊥DC,PD⊥平面ABCD,AB=PD=DA=2PE,CD=3PE,F是CE的中点. (1)求证:BF∥平面ADP; (2)已知O是BD的中点,求证:BD⊥平面AOF. 【证明】(1)如图,取PD的中点为G,连接FG,AG. 因为F是CE的中点,所以FG是梯形CDPE的中位线, 因为CD=3PE,所以FG=2PE,FG∥CD. 因为CD∥AB,AB=2PE,所以AB∥FG,AB=FG, 即四边形ABFG是平行四边形, 所以BF∥AG,又BF⊄ 平面ADP,AG⊂平面ADP, 所以BF∥平面ADP. (2)延长AO交CD于M,连接BM,FM. 因为BA⊥AD,CD⊥DA,AB=AD,O为BD的中点, 所以四边形ABMD是正方形,则BD⊥AM,MD=2PE, 所以FM∥PD.因为PD⊥平面ABCD,所以FM⊥平面ABCD, 所以FM⊥BD,因为AM∩FM=M,AM,FM⊂平面AMF,所以BD⊥平面AMF,所以BD⊥ 平面AOF. 类型三　平面与平面相交的综合问题(直观想象、逻辑推理) 　角度1　求二面角  【典例】如图,AB是☉O的直径,PA垂直于☉O所在的平面,C是圆周上的一点,且 PA=AC,求二面角P-BC-A的大小. 【思路导引】求二面角P-BC-A的大小,需要先找到二面角P-BC-A的平面角,再进行 求解. 【解析】由已知PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC, 所以PA⊥BC.因为AB是☉O的直径,且点C在圆周上, 所以AC⊥BC.又因为PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC, 所以BC⊥平面PAC.又PC⊂平面PAC,所以PC⊥BC. 又因为BC是二面角P-BC-A的棱, 所以∠PCA是二面角P-BC-A的平面角. 又因为PA=AC,所以△PAC是等腰直角三角形, 所以∠PCA=45°,即二面角P-BC-A的大小是45°. 【变式探究】 将本例变为:四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,求二面角B-PA-C的大小. 【解析】因为PA⊥平面ABCD, 所以AB⊥PA,AC⊥PA. 所以∠BAC为二面角B-PA-C的平面角. 又四边形ABCD为正方形, 所以∠BAC=45°.即二面角B-PA-C的大小为45°. 角度2　平面与平面相交的平行和垂直问题  【典例】在四面体D-ABC中,CB=CD,AD⊥BD,且E,F分别是AB,BD的中点. 求证:(1)直线EF∥平面ACD; (2)平面EFC⊥平面BCD. 【思路导引】(1)证明线面平行,需要在平面ACD内找到EF的平行线;(2)证明面 面垂直的关键是转化到线面垂直上. 【证明】(1)因为E,F分别是AB,BD的中点, 所以EF是△ABD的中位线,所以EF∥AD, 因为EF⊄ 平面ACD,AD⊂平面ACD, 所以直线EF∥平面ACD. (2)因为AD⊥BD,EF∥AD,所以EF⊥BD. 因为CB=CD,F是BD的中点,所以CF⊥BD. 又EF∩CF=F,所以BD⊥平面EFC. 因为BD⊂平面BCD,所以平面EFC⊥平面BCD. 【解题策略】 解决二面角问题的策略 (1)清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关,通常可根据需要选 择特殊点作平面角的顶点. (2)求二面角的大小的方法: 一作:即先作出二面角的平面角; 二证:即说明所作角是二面角的平面角; 三求:即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值,其中关键是 “作”. 【题组训练】 1.如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,PA=PB,AD=DB,则 (　　) A.PD⊂平面ABC　 B.PD⊥平面ABC C.PD与平面ABC相交但不垂直 D.PD∥平面ABC 【解析】选B.因为PA=PB,AD=DB,所以PD⊥AB. 因为平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,PD⊂平面PAB, 所以PD⊥平面ABC. 2.如图,在三棱锥P-ABC内,侧面PAC⊥底面ABC,且∠PAC=90°,PA=1,AB=2,则 PB=________. 【解析】因为侧面PAC⊥底面ABC,交线为AC,∠PAC=90°(即PA⊥AC),所以PA⊥ 平面ABC,又AB⊂平面ABC,所以PA⊥AB,所以PB= = = . 答案: 2 2PA AB 1 4 5 5 3.如图所示,在△ABC中,AB⊥BC,SA⊥平面ABC,DE垂直平分SC,且分别交AC,SC 于点D,E,又SA=AB,SB=BC,求二面角E-BD-C的大小. 【解析】因为SA⊥平面ABC, 所以SA⊥BD.由已知SC⊥ED,SE=EC,SB=BC. 所以SC⊥BE,BE∩DE=E,所以SC⊥平面BED,所以SC⊥BD. 又因为BD⊥SA,SA∩SC=S,所以BD⊥平面SAC. 因为AC⊂平面SAC,所以BD⊥AC,所以BD⊥CD. 同理BD⊥DE,即∠EDC是二面角E-BD-C的平面角, 设SA=1,则SA=AB=1, 因为AB⊥BC,所以SB=BC= , 可证得CB⊥SB,所以SC=2, 所以在Rt△SAC中,∠DCS=30°, 所以∠EDC=60°.即二面角E-BD-C的大小为60°. 2 【补偿训练】 在四面体A-BCD中,BD= a,AB=AD=CB=CD=AC=a. 求证:平面ABD⊥平面BCD. 2 【证明】取BD的中点E,连接AE,CE, 因为△ABD与△BCD是全等的等腰三角形, 所以AE⊥BD,CE⊥BD, 即∠AEC为二面角A-BD-C的平面角, 在△ABD中,AB=a,BE= BD= a,所以AE= = a,同理CE= a. 在△AEC中,AE=CE= a,AC=a, 故AC2=AE2+CE2,所以AE⊥CE,即∠AEC=90°,所以二面角A-BD-C的平面角为90°, 所以平面ABD⊥平面BCD. 1 2 2 2 2 2AB BE 2 2 2 2 2 2 备选类型　面面垂直的性质在探究性问题中的应用(直观想象、逻辑推理) 【典例】如图1,在矩形ABCD中,AD=1,AB=3,M为CD上一点,且CM=2MD.将△ADM沿 AM折起,使得平面ADM⊥平面ABCM,如图2,点E是线段AM的中点. (1)求四棱锥D-ABCM的体积; (2)求证:平面BDE⊥平面ABCM; (3)过B点是否存在一条直线l, 同时满足以下两个条件:①l⊂平面ABCM;②l⊥AD,请说明理由. 【解析】(1)由已知DA=DM,E是AM的中点, 所以DE⊥AM.因为平面ADM⊥平面ABCM, 平面ADM∩平面ABCM=AM, 所以DE⊥平面ABCM.四棱锥D-ABCM的体积 ABCM 1 1 1 1 5 2V S DE (1 3 1 1) 2 . 3 3 2 2 12      四边形＝ ＝ － ＝ (2)由(1)可得,DE⊥平面ABCM,DE⊂平面BDE, 所以平面BDE⊥平面ABCM. (3)过B点存在一条直线l,同时满足以下两个条件: ①l⊂平面ABCM;②l⊥AD. 理由: 在平面ABCM中,过点B作直线l,使l⊥AM, 因为平面ADM⊥平面ABCM, 平面ABCM∩平面ADM=AM, 所以l⊥平面ADM,所以l⊥AD. 【解题策略】 1.证明或判定线面垂直的常用方法 (1)线面垂直的判定定理; (2)面面垂直的性质定理; (3)若a∥b,a⊥α,则b⊥α(a,b为直线,α为平面); (4)若a⊥α,α∥β,则a⊥β(a为直线,α,β为平面). 2.两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直,方法是在其 中一个面内作(找)与交线垂直的直线. 【跟踪训练】 　如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F(E与A,D 不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD. 求证:(1)EF∥平面ABC;(2)AD⊥AC. 【证明】(1)在平面ABD内,AB⊥AD,EF⊥AD,则AB∥EF. 因为AB⊂平面ABC,EF⊄ 平面ABC, 所以EF∥平面ABC. (2)因为BC⊥BD,平面ABD∩平面BCD=BD,平面ABD⊥平面BCD,BC⊂平面BCD, 所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD,所以BC⊥AD. 因为AB⊥AD,BC,AB⊂平面ABC,BC∩AB=B, 所以AD⊥平面ABC, 又AC⊂平面ABC,所以AD⊥AC. 1.下列命题中错误的是 (　　) A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β B.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ D.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β 【解析】选D.由平面与平面垂直的有关性质可以判断出D项错误. 课堂检测·素养达标 2.已知直线l⊥平面α,则经过l且和α垂直的平面(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.有一个 B.有两个 C.有无数个 D.不存在 【解析】选C.经过l的任一平面都和α垂直. 3.(教材二次开发:练习改编)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角D1-BC-D的 平面角的大小为(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 【解析】选B.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BC⊥CD,BC⊥CC1,CD∩CC1=C,所以BC⊥ 平面D1C. 又D1C⊂平面D1C,所以BC⊥D1C, 所以∠D1CD是二面角D1-BC-D的平面角. 在△D1CD中,D1D⊥CD,D1D=CD, 所以∠D1CD=45°,即二面角D1-BC-D的平面角的大小是45°. 4.在三棱锥P-ABC中,已知PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,如图,则在三棱锥P-ABC的四 个面中,互相垂直的面有________对. 【解析】平面PAB⊥平面PAC,平面PAB⊥平面PBC,平面PAC⊥平面PBC. 答案:3 5.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,AB∥DC,CD=2AB,AD⊥CD,E为棱PD的 中点. (1)求证:CD⊥AE; (2)试判断PB与平面AEC是否平行?并说明理由. 【解析】(1)因为PD⊥底面ABCD, DC⊂底面ABCD,所以PD⊥DC. 又AD⊥DC,AD∩PD=D,所以CD⊥平面PAD. 又AE⊂平面PAD,所以CD⊥AE. (2)PB与平面AEC不平行. 假设PB∥平面AEC,设BD∩AC=O,连接OE, 则平面EAC∩平面PDB=OE, 又PB⊂平面PDB, 所以PB∥OE. 所以在△PDB中有 = , 由E是PD中点可得 = =1, 即OB=OD. OB OD PE ED OB OD PE ED 因为AB∥DC,所以 = = , 这与OB=OD矛盾, 所以假设错误,PB与平面AEC不平行. AB CD OB OD 1 2 四十七　平面与平面垂直 【基础通关——水平一】 (15分钟　30分) 1.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,△ABD的面积是△ACD的面积的2倍,沿AD将 △ABC翻折,使翻折后BC⊥平面ACD,此时二面角B-AD-C的大小为 (　　) A.30°　　B.45°　　C.60°　　D.90° 课时素养评价 【解析】选C.由已知得BD=2CD,翻折后,在Rt△BCD中,∠BDC=60°,而AD⊥BD, CD⊥AD,故∠BDC是二面角B-AD-C的平面角,其大小为60°. 2.如图所示,AB是圆O的直径,C是异于A,B两点的圆周上的任意一点,PA垂直于 圆O所在的平面,则△PAB,△PAC,△ABC,△PBC中,直角三角形的个数是(　　) A.1　　　 B.2　 　　 C.3　　　 D.4 【解析】选D.因为AB是☉O的直径,所以∠ACB=90°,即BC⊥AC. 所以△ABC为直角三角形. 又PA⊥圆O所在平面,AC,AB,BC都在圆O所在平面内, 所以PA⊥AC,PA⊥AB,PA⊥BC, 所以△PAC,△PAB是直角三角形, 又PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC. 因为PC⊂平面PAC,所以BC⊥PC, 所以△PBC是直角三角形, 从而△PAB,△PAC,△ABC,△PBC均为直角三角形. 3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2 ,CC1= ,二面角C1-BD-C的大小为 (　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 3 2 【解析】选A.如图,连接AC交BD于点O,连接C1O, 因为C1D=C1B,O为BD中点, 所以C1O⊥BD,因为AC⊥BD, 所以∠C1OC是二面角C1-BD-C的平面角, 在Rt△C1CO中,C1C= , 可以计算C1O=2 , 所以sin∠C1OC= = ,所以∠C1OC=30°. 2 2 1 1 C C C O 1 2 4.如图所示,已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的 中点.若CD=2,平面ABCD⊥平面DCEF,则线段MN的长等于________. 【解析】取CD的中点G,连接MG,NG.因为四边形ABCD,DCEF为正方形,且边长为2, 所以MG⊥CD,MG=2,NG= . 因为平面ABCD⊥平面DCEF, 所以MG⊥平面DCEF,可得MG⊥NG, 所以MN= = . 答案: 2 2 2MG NG 6 6 5.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的 一动点,当点M满足________时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正 确的条件即可) 【解析】由题意可知,BD⊥PC.所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时, 即有PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD, 所以平面MBD⊥平面PCD. 答案:DM⊥PC(答案不唯一) 6.如图,在三棱锥P-ABC中,PC⊥底面ABC,AB⊥BC,D,E分别是AB,PB的中点. (1)求证:DE∥PA; (2)求证:DE∥平面PAC; (3)求证:AB⊥PB. 【证明】(1)因为D,E分别是AB,PB的中点,所以DE∥PA. (2)因为PA⊂平面PAC,DE∥PA,且DE⊄ 平面PAC,所以DE∥平面PAC. (3)因为PC⊥平面ABC,且AB⊂平面ABC, 所以AB⊥PC. 又因为AB⊥BC,且PC∩BC=C. 所以AB⊥平面PBC. 又因为PB⊂平面PBC,所以AB⊥PB. 【能力进阶——水平二】 (30分钟　60分) 一、单选题(每小题5分,共20分) 1.设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若α∥β,α∥γ,则β∥γ; ②若α⊥β,m∥α,则m⊥β; ③若m⊥α,m∥β,则α⊥β; ④若m∥n,n⊂α,则m∥α. 其中正确命题的序号是 (　　) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 【解析】选A.对于①,若α∥β,α∥γ,根据面面平行的性质容易得到β∥γ, 故①正确; 对于②,若α⊥β,m∥α,m与β的关系不确定,故②错误;对于③,若 m⊥α,m∥β,可以在β找到一条直线n与m平行,所以n⊥α,故α⊥β,故③正 确; 对于④,若m∥n,n⊂α,那么m与α的位置关系为m∥α或者m⊂α,故④错误. 2.如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面α内,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,点 P,A,B是定点,则动点C的轨迹是 (　　) A.一条线段 B.一条直线 C.一个圆 D.一个圆,但要去掉两个点 【解析】选D.因为平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,平面PAC∩平面PBC=PC,AC⊂ 平面PAC, 所以AC⊥平面PBC. 又因为BC⊂平面PBC,所以AC⊥BC,所以∠ACB=90°. 所以动点C的轨迹是以AB为直径的圆,除去A和B两点. 3.已知m是平面α的一条斜线,点A∉ α,l为过点A的一条动直线,那么下列情形中 可能出现的是 (　　) A.l∥m,l⊥α B.l⊥m,l⊥α C.l⊥m,l∥α D.l∥m,l∥α 【解析】选C.如图l可以垂直m,且l平行α. 【补偿训练】 在四面体P-ABC中,若PA=PB=PC,则点P在平面ABC内的射影点O是三角形ABC的 (　　)　　　　　　　　　　　　　 A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 【解析】选B.如图所示,因为PO⊥底面ABC, 所以PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC. 在Rt△POA和Rt△POB中,PA=PB,PO=PO, 所以△POA≌△POB,所以OA=OB. 同理可证OB=OC,所以OA=OB=OC, 所以O是△ABC的外心. 4.如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成 互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论 ①BD⊥AC; ②△BAC是等边三角形; ③三棱锥D-ABC是正三棱锥; ④平面ADC⊥平面ABC. 其中正确的是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.①②④ B.①②③ C.②③④ D.①③④ 【解析】选B.设等腰直角三角形△ABC的腰为a,则斜边BC= a, ①因为D为BC的中点,所以AD⊥BC, 又平面ABD⊥平面ACD,平面ABD∩平面ACD=AD,BD⊥AD,BD⊂平面ABD, 所以BD⊥平面ADC,又AC⊂平面ADC, 所以BD⊥AC,故①正确; 2 ②由①知,BD⊥平面ADC,CD⊂平面ADC, 所以BD⊥CD,又BD=CD= a, 所以由勾股定理得:BC= × a=a, 又AB=AC=a,所以△ABC是等边三角形,故②正确; ③因为△ABC是等边三角形,DA=DB=DC, 所以三棱锥D-ABC是正三棱锥,故③正确. 2 2 2 22 ④因为△ADC为等腰直角三角形,取斜边AC的中点F,则DF⊥AC, 又△ABC为等边三角形,连接BF,则BF⊥AC, 所以∠BFD为平面ADC与平面ABC所成二面角的平面角,由BD⊥平面ADC可知, ∠BDF为直角,∠BFD不是直角, 故平面ADC与平面ABC不垂直,故④错误; 综上所述,正确的结论是①②③. 二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错 的得0分) 5.在四棱锥P-ABCD中,已知PA⊥底面ABCD,且底面ABCD为矩形,则下列结论中正 确的是 (　　) A.平面PAB⊥平面PAD B.平面PAB⊥平面PBC C.平面PBC⊥平面PCD D.平面PCD⊥平面PAD 【解析】选ABD.由面面垂直的判定定理知,平面PAB⊥平面PAD,平面PAB⊥平面 PBC,平面PCD⊥平面PAD,A,B,D正确. 6.如图,正方形SG1G2G3中,E,F分别是G1G2,G2G3的中点,现在沿SE,SF,EF把这个正 方形折成一个四面体,使G1,G2,G3重合,重合后的点记为G.给出下列关系成立的 有 (　　) A.SG⊥平面EFG B.SE⊥平面EFG C.GF⊥SE D.EF⊥平面SEG 【解析】选AC.由SG⊥GE,SG⊥GF,得SG⊥平面EFG, 同理可证GF⊥平面GSE,所以平面EFG,SFG,SEG两两垂直,所以选项A,C正确; 若SE⊥平面EFG,则SE⊥EG,这与SG⊥EG矛盾,同理可知EF⊥平面SEG不正确,所 以B,D不正确. 三、填空题(每小题5分,共10分) 7.如图,二面角α-l-β的大小是60°,线段AB⊂α,B∈l,AB与l所成的角为30°, 则AB与平面β所成的角的正弦值是________. 【解析】如图,作AO⊥β于O,AC⊥l于C,连接OB,OC,则OC⊥l,则∠ACO为二面角 α-l-β的平面角,∠ABC为AB与l所成的角. 设AB与β所成的角为θ,则∠ABO=θ. 由图得sin θ= = · = sin 30°·sin 60°= . 答案: AO AB AC AB AO AC 3 4 3 4 【补偿训练】 在Rt△ABC中,D是斜边AB的中点,AC=6,BC=8,EC⊥平面ABC,且EC=12,则 ED=________. 【解析】如图,连接CD,则在Rt△ABC中,CD= AB. 因为AC=6,BC=8,所以AB= =10. 所以CD=5. 因为EC⊥平面ABC,CD⊂平面ABC, 所以EC⊥CD. 所以ED= = =13. 答案:13 1 2 2 26 8 2 2EC CD 2 212 5 8.如图,检查工件的相邻两个面是否垂直时,只要用曲尺的一边紧靠在工件的 一个面上,另一边在工件的另一个面上转动,观察尺边是否和这个面密合就可 以了,其原理是利用了________. 【解析】如图所示,因为OA⊥OB,OA⊥OC,OB⊂β,OC⊂β,且OB∩OC=O, 根据线面垂直的判定定理,可得OA⊥β, 又OA⊂α,根据面面垂直的判定定理,可得α⊥β. 答案:面面垂直的判定定理 四、解答题(每小题10分,共20分) 9.由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形 ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD. (1)证明:A1O∥平面B1CD1; (2)设M是OD的中点,证明:平面A1EM⊥平面B1CD1. 【证明】(1)取B1D1的中点O1,连接CO1,A1O1, 由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱, 所以A1O1∥OC,A1O1=OC, 因此四边形A1OCO1为平行四边形, 所以A1O∥O1C,又O1C⊂平面B1CD1,A1O⊄ 平面B1CD1,所以A1O∥平面B1CD1. (2)因为AC⊥BD,E,M分别为AD和OD的中点,所以EM∥AC, 所以EM⊥BD,又A1E⊥平面ABCD, BD⊂平面ABCD,所以A1E⊥BD, 因为B1D1∥BD,所以EM⊥B1D1,A1E⊥B1D1, 又A1E,EM⊂平面A1EM,A1E∩EM=E,所以B1D1⊥平面A1EM, 又B1D1⊂平面B1CD1, 所以平面A1EM⊥平面B1CD1. 10.如图在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面PAD⊥底面ABCD, 且PA=PD= a,设E,F分别为PC,BD的中点. (1)求证:EF∥平面PAD; (2)求证:平面PAB⊥平面PDC; (3)求直线EF与平面ABCD所成角的大小. 2 2 【解析】(1)因为四边形ABCD为正方形, 连接AC,则AC∩BD=F,F为AC中点,E为PC中点, 所以在△CPA中EF∥PA,且PA⊂平面PAD, EF⊄ 平面PAD,所以EF∥平面PAD. (2)因为平面PAD⊥平面ABCD, 平面PAD∩平面ABCD=AD,且四边形ABCD为正方形, 所以CD⊥AD,CD⊂平面ABCD, 所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥PA, 又PA=PD= AD, 所以△PAD是等腰直角三角形,且∠APD=90°, 即PA⊥PD,CD∩PD=D,且CD,PD⊂平面PDC, 所以PA⊥平面PDC, 又PA⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PDC. 2 2 (3)因为EF∥PA, 所以直线EF与平面ABCD所成角的大小 等于直线PA与平面ABCD所成角的大小, 因为侧面PAD⊥底面ABCD, 所以∠PAD就是直线PA与平面ABCD所成角,在△APD中,PA=PD= AD, 所以∠PAD=45°, 所以直线EF与平面ABCD所成角的大小为45°. 2 2 【创新迁移】 如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为 旋转轴旋转120°得到的,G是弧DF的中点. (1)设P是弧EC上的一点,且AP⊥BE, 求∠CBP的大小; (2)当AB=3,AD=2时,求二面角E-AG-C的大小. 【解析】(1)因为AP⊥BE,AB⊥BE, AB,AP⊂平面ABP,AB∩AP=A, 所以BE⊥平面ABP,又BP⊂平面ABP, 所以BE⊥BP,又∠EBC=120°, 因此∠CBP=30°. (2)如图,取弧EC的中点H,连接EH,GH,CH. 因为∠EBC=120°,所以四边形BEHC为菱形, 所以AE=GE=AC=GC= = . 取AG中点M,连接EM,CM,EC, 则EM⊥AG,CM⊥AG, 所以∠EMC为所求二面角的平面角. 又AM=1,所以EM=CM= =2 . 在△BEC中,由于∠EBC=120°, 由余弦定理得EC2=22+22-2×2×2×cos 120°=12, 所以EC=2 ,因此△EMC为等边三角形, 故所求的角为60°. 2 23 2 13 13 1 3 3