【数学】2019届一轮复习人教A版线段的定比分点问题解法探究学案 5页

线段的定比分点问题解法探究 一般地，我们解答直线与圆锥曲线问题，已经形成一种习惯，利用一元二次方程的判别式研究范围，利用根与系数的关系研究有关参数的关系，还美其名曰“设而不求”，事实上，“设而求”也可能比“设而不求”更加简单，避开了一元二次方程的判别式与根与系数的关系研究有关参数的关系，也许另有一种更好的解法等待着你去探究，不信请看下面的例题：‎ 例1、 已知椭圆方程为，过定点的直线交椭圆于不同的两点（在之间），且满足，求的取值范围. ‎ 解析1：设的方程为，，则 ‎，，由，得 由得.又，得.‎ 由根与系数关系，，.‎ 把代入有，（1）‎ 把代入有，（2）‎ 由（1）、（2）可以消去得到含有的关系式，这个过程比较复杂，这个关系式是 ‎，或者变为，由，可以求得，于是建立了关于的不等式，又，解得.‎ 当没有斜率时，，所以.‎ 解析2：构造，如此可以直接把，代入得到， 由解法1知：，可以求得，又，解得.当没有斜率时，，所以.‎ 解析3：设，则 ‎，，由，得 ‎ 又在上，所以 ‎ 事实上仅用以上这四个等式就可以求出与中任意一个的关系.‎ ‎ 得： ，‎ ‎，注意到，所以，解得 ‎，注意到，所以，解得，又，‎ 所以.‎ 解法评价：解法1与解法2都是利用一元二次方程根的判别式与根与系数的关系，是解析几何常用的方法，但是用这种方法必须对直线方程进行讨论，还应注意，有些时候仅仅使用其中的根与系数的关系而没有用根的判别式，但是由于根与系数的关系是从整体上建立 有关系数的关系的，所以无法保证实数根的存在性，因此一定要检验判别式大于零. 解法3全面利用向量共线所得到两个关系式（横坐标与纵坐标的关系都利用了，而解法1、2实际上只用了横坐标的关系），通过巧妙的解方程，最终把看成常数，看成未知数，用表示，进一步利用的范围限定的范围.对于这个题目来说，解法3优于解法1、2，因为这种解法避开了分类讨论（这是共线向量的作用），避开了根的判别式（另用了变量的范围，范围，也是圆锥曲线中建立不等式的常用方法，在变量易用参数关系表示的情况下比用判别式简单）.解法3虽然没有用整体思想（这里指解法1、2中对与的整体代入变形），但是计算量并不大，比解法1、2还要小，而且由于没有新的参数，使得字母较少，变形的目标更加明确.因此我们解答直线与圆锥曲线的问题时，不要过分依赖一元二次方程根的判别式与根与系数的关系，当解方程组比较简单时，不妨直接求出有关未知数的解，然后利用未知数的取值范围建立不等式.‎ 例2、如图1，已知椭圆长轴端点为，弦与交于点，原点为椭圆中心，且 ‎，，.求椭圆长轴长的取值范围.‎ 解：设椭圆方程为（），设，由得：，‎ 即，又，.‎ 联立四个等式先消去 有：，‎ 再联立消去可以解得.‎ 又因为，于是，即，‎ 解得 （1）‎ 又因为，所以得方程为，由，‎ 得，把代入得：‎ ‎，‎ ‎，又，所以，‎ 去分母整理得：，解得 （2）‎ 由（1）（2）的，所以，即椭圆长轴长的取值范围是.‎ 此题有关资料多用根与系数的关系建立之间的一个相等关系，有兴趣的读者可以用这个方法解一解，并与上面的方法作比较，看看哪种方法更简单.笔者写此短文，不是贬低一元二次方程的判别式与根与系数的关系的作用，而是告诉同学们，要善于观察思考，具体问题具体分析，选用合理的方法，突破思维定势，提高创新思维能力.‎