【数学】2018届一轮复习北师大版（理）平面向量应用举例教案 16页

1．向量在平面几何中的应用 (1)用向量解决常见平面几何问题的技巧： 问题类型 所用知识 公式表示 线平行、点共线等问题 共线向量定理 a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，其中 a ＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0 垂直问题 数量积的运算性质 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，其中 a ＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且 a，b 为 非零向量 夹角问题 数量积的定义 cos θ＝ a·b |a||b|(θ 为向量 a，b 的夹角)， 其中 a，b 为非零向量 长度问题 数量积的定义 |a|＝ a2＝ x2＋y2，其中 a＝(x，y)， a 为非零向量 (2)用向量方法解决平面几何问题的步骤： 平面几何问题 ― ― →设向量 向量问题 ― ― →运算 解决向量问题 ― ― →还原 解决几何问题． 2．平面向量在物理中的应用 (1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似， 可以用向量的知识来解决． (2)物理学中的功是一个标量，是力 F 与位移 s 的数量积，即 W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ 为 F 与 s 的夹角)． 3．向量与相关知识的交汇 平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数 量积，向量的共线与垂直求解相关问题． 【知识拓展】 1．若 G 是△ABC 的重心，则GA → ＋GB → ＋GC → ＝0. 2．若直线 l 的方程为 Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直线 l 垂直，向量(－B，A)与直线 l 平 行． 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若AB → ∥AC → ，则 A，B，C 三点共线．(　√　) (2)若 a·b＞0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 a·b＜0，则 a 和 b 的夹角为钝角．(　×　) (3)在△ABC 中，若AB → ·BC → <0，则△ABC 为钝角三角形．(　×　) (4)已知平面直角坐标系内有三个定点 A(－2，－1)，B(0，10)，C(8,0)，若动点 P 满足：OP → ＝ OA → ＋t(AB → ＋AC → )，t∈R，则点 P 的轨迹方程是 x－y＋1＝0.(　√　) 1．(教材改编)已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(3,4)，B(5,2)，C(－1，－4)，则该三角 形为(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 答案　B 解析　AB → ＝(2，－2)，AC → ＝(－4，－8)，BC → ＝(－6，－6)， ∴|AB → |＝ 22＋(－2)2＝2 2，|AC → |＝ 16＋64＝4 5， |BC → |＝ 36＋36＝6 2， ∴|AB → |2＋|BC → |2＝|AC → |2， ∴△ABC 为直角三角形． 2．已知在△ABC 中，|BC → |＝10，AB → ·AC → ＝－16，D 为边 BC 的中点，则|AD → |等于(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 答案　D 解析　在△ABC 中，由余弦定理可得，AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝BC 2，又AB → ·AC → ＝|AB → |·|AC → |·cos A＝－16，所以 AB2＋AC2＋32＝100，AB2＋AC2＝68.又 D 为边 BC 的中点，所以AB → ＋AC → ＝2AD → ，两边平方得 4|AD → |2＝68－32＝36，解得|AD → |＝3，故选 D. 3．(2016·武汉模拟)平面直角坐标系 xOy 中，若定点 A(1,2)与动点 P(x，y)满足OP → ·OA → ＝4，则 点 P 的轨迹方程是____________． 答案　x＋2y－4＝0 解析　由OP → ·OA → ＝4，得(x，y)·(1,2)＝4， 即 x＋2y＝4. 4．(2016·银川模拟)已知向量 a＝(cos θ，sin θ)，b＝( 3，－1)，则|2a－b|的最大值为 ________． 答案　4 解析　设 a 与 b 夹角为 α， ∵|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2 ＝8－4|a||b|cos α＝8－8cos α， ∵α∈[0，π]，∴cos α∈[－1,1]， ∴8－8cos α∈[0,16]，即|2a－b|2∈[0,16]， ∴|2a－b|∈[0,4]． ∴|2a－b|的最大值为 4. 5．已知一个物体在大小为 6 N 的力 F 的作用下产生的位移 s 的大小为 100 m，且 F 与 s 的夹 角为 60°，则力 F 所做的功 W＝________ J. 答案　300 解析　W＝F·s＝|F||s|cos〈F，s〉 ＝6×100×cos 60°＝300(J)． 题型一　向量在平面几何中的应用 例 1　(1)在平行四边形 ABCD 中，AD＝1，∠BAD＝60°，E 为 CD 的中点．若 AC → ·BE → ＝1， 则 AB＝________. (2)已知 O 是平面上的一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个动点，若动点 P 满足OP → ＝OA → ＋λ(AB → ＋AC → )，λ∈(0，＋∞)，则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的(　　) A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 答案　(1)1 2　(2)C 解析　(1)在平行四边形 ABCD 中，取 AB 的中点 F，则BE → ＝FD → ，∴BE → ＝FD → ＝AD → －1 2AB → ， 又∵AC → ＝AD → ＋AB → ， ∴AC → ·BE → ＝(AD → ＋AB → )·(AD → －1 2AB → ) ＝AD → 2－1 2AD → ·AB → ＋AD → ·AB → －1 2AB → 2 ＝|AD → |2＋1 2|AD → ||AB → |cos 60°－1 2|AB → |2 ＝1＋1 2×1 2|AB → |－1 2|AB → |2＝1. ∴(1 2－|AB → |)|AB → |＝0，又|AB → |≠0，∴|AB → |＝1 2. (2)由原等式，得OP → －OA → ＝λ(AB → ＋AC → )，即AP → ＝λ(AB → ＋AC → )，根据平行四边形法则，知AB → ＋AC → 是△ABC 的中线 AD(D 为 BC 的中点)所对应向量AD → 的 2 倍，所以点 P 的轨迹必过△ABC 的 重心． 引申探究 本例(2)中，若动点 P 满足OP → ＝OA → ＋λ( AB → |AB → | ＋ AC → |AC → |)，λ∈(0，＋∞)，则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的______． 答案　内心 解析　由条件，得OP → －OA → ＝λ( AB → |AB → | ＋ AC → |AC → |)，即AP → ＝λ( AB → |AB → | ＋ AC → |AC → |)，而 AB → |AB → | 和 AC → |AC → | 分别表示平行 于AB → ，AC → 的单位向量，故 AB → |AB → | ＋ AC → |AC → | 平分∠BAC，即AP → 平分∠BAC，所以点 P 的轨迹必过 △ABC 的内心． 思维升华　向量与平面几何综合问题的解法 (1)坐标法 把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的 代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． (2)基向量法 适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求 解． 　(1)在△ABC 中，已知向量AB → 与AC → 满足( AB → |AB → | ＋ AC → |AC → | )·BC → ＝0，且 AB → |AB → | · AC → |AC → | ＝1 2，则 △ABC 为(　　) A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．三边均不相等的三角形 (2)已知直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P 是腰 DC 上的动点， 则|PA → ＋3PB → |的最小值为________． 答案　(1)A　(2)5 解析　(1) AB → |AB → | ， AC → |AC → | 分别为平行于AB → ，AC → 的单位向量，由平行四边形法则可知 AB → |AB → | ＋ AC → |AC → | 为 ∠BAC 的平分线．因为( AB → |AB → | ＋ AC → |AC → | )·BC → ＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于 BC，所以 AB＝AC. 又 AB → |AB → | · AC → |AC → | ＝| AB → |AB → | |·| AC → |AC → | |·cos∠BAC＝1 2， 所以 cos∠BAC＝1 2，又 0<∠BAC<π，故∠BAC＝π 3，所以△ABC 为等边三角形． (2)以 D 为原点，分别以 DA，DC 所在直线为 x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设 DC＝a，DP＝y. 则 D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)， P(0，y)， PA → ＝(2，－y)，PB → ＝(1，a－y)， 则PA → ＋3PB → ＝(5,3a－4y)， 即|PA → ＋3PB → |2＝25＋(3a－4y)2， 由点 P 是腰 DC 上的动点，知 0≤y≤a. 因此当 y＝3 4a 时，|PA → ＋3PB → |2 的最小值为 25. 故|PA → ＋3PB → |的最小值为 5. 题型二　向量在解析几何中的应用 例 2　(1)已知向量OA → ＝(k,12)，OB → ＝(4,5)，OC → ＝(10，k)，且 A、B、C 三点共线，当 k<0 时， 若 k 为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________________． (2)设 O 为坐标原点，C 为圆(x－2)2＋y2＝3 的圆心，且圆上有一点 M(x，y)满足OM → ·CM → ＝0， 则y x＝________________________________________________________________________. 答案　(1)2x＋y－3＝0　(2)± 3 解析　(1)∵AB → ＝OB → －OA → ＝(4－k，－7)， BC → ＝OC → －OB → ＝(6，k－5)，且AB → ∥BC → ， ∴(4－k)(k－5)＋6×7＝0， 解得 k＝－2 或 k＝11. 由 k<0 可知 k＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2 的直线方程为 y＋1＝－2(x－2)，即 2x＋y－ 3＝0. (2)∵OM → ·CM → ＝0，∴OM⊥CM， ∴OM 是圆的切线，设 OM 的方程为 y＝kx， 由 |2k| 1＋k2＝ 3，得 k＝± 3，即y x＝± 3. 思维升华　向量在解析几何中的“两个”作用 (1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向 量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜 率、夹角、轨迹、最值等问题． (2)工具作用：利用 a⊥b⇔a·b＝0(a，b 为非零向量)，a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行 问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比 较简捷的方法． 　(2016·合肥模拟)如图所示，半圆的直径 AB＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于 A、B 的任意一点，若 P 为半径 OC 上的动点，则(PA → ＋PB → )·PC → 的最小值为________． 答案　－9 2 解析　∵圆心 O 是直径 AB 的中点， ∴PA → ＋PB → ＝2PO → ，∴(PA → ＋PB → )·PC → ＝2PO → ·PC → ， ∵PO → 与PC → 共线且方向相反， ∴当大小相等时，乘积最小．由条件知，当 PO＝PC＝3 2时，最小值为－2×3 2×3 2＝－9 2. 题型三　向量的其他应用 命题点 1　向量在不等式中的应用 例 3　已知 x，y 满足Error!若OA → ＝(x,1)，OB → ＝(2，y)，且OA → ·OB → 的最大值是最小值的 8 倍， 则实数 a 的值是________． 答案　1 8 解析　因为OA → ＝(x,1)，OB → ＝(2，y)，所以OA → ·OB → ＝2x＋y，令 z＝2x＋y，依题意，不等式组 所表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，观察图像可知，当目标函数 z＝2x＋y 过点 C(1,1)时，zmax＝2×1＋1＝3，目标函数 z＝2x＋y 过点 F(a，a)时，zmin＝2a＋a＝3a，所以 3＝ 8×3a，解得 a＝1 8. 命题点 2　向量在解三角形中的应用 例 4　(2016·合肥模拟)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 20aBC → ＋15bCA → ＋ 12cAB → ＝0，则△ABC 最小角的正弦值等于(　　) A.4 5 B.3 4 C.3 5 D. 7 4 答案　C 解析　∵20aBC → ＋15bCA → ＋12cAB → ＝0， ∴20a(AC → －AB → )＋15bCA → ＋12cAB → ＝0， ∴(20a－15b)AC → ＋(12c－20a)AB → ＝0， ∵AC → 与AB → 不共线， ∴Error!⇒Error! ∴△ABC 最小角为角 A， ∴cos A＝b2＋c2－a2 2bc ＝ 16 9 a2＋25 9 a2－a2 2 × 4 3a × 5 3a ＝4 5， ∴sin A＝3 5，故选 C. 命题点 3　向量在物理中的应用 例 5　如图，一质点受到平面上的三个力 F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已 知 F1，F2 成 60°角，且 F1，F2 的大小分别为 2 和 4，则 F3 的大小为(　　) A．2 7 B．2 5 C．2 D．6 答案　A 解析　如题图所示，由已知得 F1＋F2＋F3＝0，则 F3＝－(F1＋F2)，即 F23＝F21＋F22＋2F1·F2＝ F21＋F22＋2|F1|·|F2|·cos 60°＝28.故|F3|＝2 7. 思维升华　利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定 义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化． 　(1)函数 y＝sin(ωx＋φ)在一个周期内的图像如图所示，M、N 分别是最高点、最 低点，O 为坐标原点，且OM → ·ON → ＝0，则函数 f(x)的最小正周期是______． (2)已知在平面直角坐标系中，O(0,0)，M(1,1)，N(0,1)，Q(2，3)，动点 P(x，y)满足不等式 0≤ OP → ·OM → ≤1,0≤OP → ·ON → ≤1，则 z＝OQ → ·OP → 的最大值为________． 答案　(1)3　(2)3 解析　(1)由图像可知，M(1 2，1 )，N(xN，－1)， 所以OM → ·ON → ＝(1 2，1 )·(xN，－1)＝1 2xN－1＝0， 解得 xN＝2， 所以函数 f(x)的最小正周期是 2×(2－1 2 )＝3. (2)∵OP → ＝(x，y)，OM → ＝(1,1)，ON → ＝(0,1)，OQ → ＝(2,3)， ∴OP → ·OM → ＝x＋y，OP → ·ON → ＝y，OQ → ·OP → ＝2x＋3y， 即在Error!条件下，求 z＝2x＋3y 的最大值，由线性规划知识得，当 x＝0，y＝1 时，z max＝ 3. 三审图形抓特点 典例　(2016·太原一模)已知 A，B，C，D 是函数 y＝sin(ωx＋φ) (ω＞0，0＜φ＜π 2)一个周期内 的图像上的四个点，如图所示，A(－π 6，0)，B 为 y 轴上的点，C 为图像上的最低点，E 为该 函数图像的一个对称中心，B 与 D 关于点 E 对称，CD → 在 x 轴上的射影为 π 12，则 ω，φ 的值为 (　　) A．ω＝2，φ＝π 3 B．ω＝2，φ＝π 6 C．ω＝1 2，φ＝π 3 D．ω＝1 2，φ＝π 6 E 为函数图像的对称中心，C 为图像最低点 ― ― ― ― ― ― ― ― ―→作出点 C 的对称点 M D、B 两点对称 CD 和 MB 对称 ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ―→CD → 在 x 轴上 BM 在 x 轴上的射影 OF＝ π 12 ― ― ― ― ― ― →A(－f(π,6)，0)， AF＝π 4―→T＝π―→ω＝2 ― ― ― ― ― ― ― ― →y＝sin(2x＋φ) 和 y＝sin 2x 图象比较 φ 2＝π 6―→φ＝π 3 解析　由 E 为该函数图像的一个对称中心，作点 C 的对称点 M，作 MF⊥x 轴，垂足为 F， 如图．B 与 D 关于点 E 对称，CD→ 在 x 轴上的射影为 π 12，知 OF＝ π 12. 又 A(－π 6，0)，所以 AF＝T 4＝ π 2ω＝π 4，所以 ω＝2.同时函数 y＝sin(ωx＋φ)图像可以看作是由 y＝ sin ωx 的图像向左平移得到，故可知φ ω＝φ 2＝π 6，即 φ＝π 3. 答案　A 1．在△ABC 中，(BC → ＋BA → )·AC → ＝|AC → |2，则△ABC 的形状一定是(　　) A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 答案　C 解析　由(BC → ＋BA → )·AC → ＝|AC → |2， 得AC → ·(BC → ＋BA → －AC → )＝0， 即AC → ·(BC → ＋BA → ＋CA → )＝0,2AC → ·BA → ＝0， ∴AC → ⊥BA → ，∴A＝90°. 又根据已知条件不能得到|AB → |＝|AC → |， 故△ABC 一定是直角三角形． 2．(2016·山东)已知非零向量 m，n 满足 4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝1 3.若 n⊥(tm＋n)，则实数 t 的值为(　　) A．4 B．－4 C.9 4 D．－9 4 答案　B 解析　∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0， 即 tm·n＋n2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0， 由已知得 t×3 4|n|2×1 3＋|n|2＝0，解得 t＝－4，故选 B. 3．(2016·南宁模拟)已知向量 a＝(cos α，－2)，b＝(sin α，1)且 a∥b，则 sin 2α 等于(　　) A．3 B．－3 C.4 5 D．－4 5 答案　D 解析　由 a∥b 得 cos α＋2sin α＝0， ∴cos α＝－2sin α，又 sin2α＋cos2α＝1， ∴5sin2α＝1，sin2α＝1 5，cos2α＝4 5， sin 2α＝2sin αcos α＝－cos2α＝－4 5. 4．(2016·武汉模拟)设△ABC 的三个内角为 A，B，C，向量 m＝( 3sin A，sin B)，n＝(cos B， 3cos A)，若 m·n＝1＋cos(A＋B)，则 C 等于(　　) A.π 6 B.π 3 C.2π 3 D.5π 6 答案　C 解析　依题意得 3sin Acos B＋ 3cos Asin B＝1＋cos(A＋B)， 3sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)， 3sin C＋cos C＝1,2sin(C＋π 6)＝1，sin(C＋π 6)＝1 2. 又π 60， ∴|a＋b|>|a－b|，又|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝3， ∴|a－b|＝ 3. 9．已知|a|＝2|b|≠0，且关于 x 的函数 f(x)＝1 3x3＋1 2|a|x2＋a·bx 在 R 上有极值，则向量 a 与 b 的夹角的范围是__________． 答案　(π 3，π ] 解析　设 a 与 b 的夹角为 θ. ∵f(x)＝1 3x3＋1 2|a|x2＋a·bx， ∴f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b. ∵函数 f(x)在 R 上有极值， ∴方程 x2＋|a|x＋a·b＝0 有两个不同的实数根， 即 Δ＝|a|2－4a·b＞0，∴a·b＜ a2 4 ， 又∵|a|＝2|b|≠0， ∴cos θ＝ a·b |a||b|＜ a2 4 a2 2 ＝1 2，即 cos θ＜1 2， 又∵θ∈[0，π]，∴θ∈(π 3，π ]. 10.已知圆 C：(x－2)2＋y2＝4，圆 M：(x－2－5cos θ)2＋(y－5sin θ)2＝1(θ∈R)，过圆 M 上任 意一点 P 作圆 C 的两条切线 PE，PF，切点分别为 E，F，则PE → ·PF → 的最小值是________． 答案　6 解析　圆(x－2)2＋y2＝4 的圆心 C(2,0)，半径为 2， 圆 M(x－2－5cos θ)2＋(y－5sin θ)2＝1，圆心 M(2＋5cos θ，5sin θ)，半径为 1， ∵CM＝5＞2＋1，故两圆相离． 如图所示，设直线 CM 和圆 M 交于 H，G 两点， 则PE → ·PF → 最小值是HE → ·HF → ，HC＝CM－1＝5－1＝4，HF＝HE＝ HC2－CE2＝ 16－4＝2 3， sin∠CHE＝CE CH＝1 2， ∴cos∠EHF＝cos 2∠CHE＝1－2sin2∠CHE＝1 2， HE → ·HF → ＝|HE → |·|HF → |·cos∠EHF＝2 3×2 3×1 2＝6. 11．已知点 P(0，－3)，点 A 在 x 轴上，点 Q 在 y 轴的正半轴上，点 M 满足PA → ·AM → ＝0，AM → ＝－3 2MQ → ，当点 A 在 x 轴上移动时，求动点 M 的轨迹方程． 解　设 M(x，y)为所求轨迹上任一点， 设 A(a,0)，Q(0，b)(b＞0)， 则PA → ＝(a,3)，AM → ＝(x－a，y)，MQ → ＝(－x，b－y)， 由PA → ·AM → ＝0，得 a(x－a)＋3y＝0.① 由AM → ＝－3 2MQ → ，得 (x－a，y)＝－3 2(－x，b－y)＝(3 2x，3 2 (y－b))， ∴Error!∴Error!∴b＞0，y＞0， 把 a＝－x 2代入①，得－x 2(x＋x 2 )＋3y＝0， 整理得 y＝1 4x2(x≠0)． ∴动点 M 的轨迹方程为 y＝1 4x2(x≠0)． 12．已知角 A，B，C 是△ABC 的内角，a，b，c 分别是其所对边长，向量 m＝(23sin A 2，cos2 A 2)，n＝(cos A 2，－2)，m⊥n. (1)求角 A 的大小； (2)若 a＝2，cos B＝ 3 3 ，求 b 的长． 解　(1)已知 m⊥n， 所以 m·n＝(2 3sin A 2，cos2A 2)·(cos A 2，－2) ＝ 3sin A－(cos A＋1)＝0， 即 3sin A－cos A＝1，即 sin(A－π 6)＝1 2， 因为 0