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- 2021-06-16 发布
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第八节 曲线与方程
1.曲线与方程
一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解.
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线.
2.求动点轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标.
(2)写出适合条件p的点M的集合P={M|p(M)}.
(3)用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0.
(4)化方程f(x,y)=0为最简形式.
(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.
3.两曲线的交点
设曲线C1的方程为F1(x,y)=0,曲线C2的方程为F2(x,y)=0,则C1,C2的交点坐标即为方程组的实数解.
若此方程组无解,则两曲线无交点.
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)f(x0,y0)=0是点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上的充要条件.( )
(2)方程x2+xy=x的曲线是一个点和一条直线.( )
(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2=y2.( )
(4)方程y=与x=y2表示同一曲线.( )
[解析] 由曲线与方程的定义,知(2),(3),(4)不正确,只有(1)正确.
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
2.(教材改编)已知点F,直线l:x=-,点B是l上的动点.若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M,则点M的轨迹是( )
A.双曲线 B.椭圆
C.圆 D.抛物线
D [由已知|MF|=|MB|,根据抛物线的定义知,点M的轨迹是以点F为焦点,直线l为准线的抛物线.]
3.(2016·广州模拟)已知点F(0,1),直线l:y=-1,P为平面上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为Q,且·=·,则动点P的轨迹C的方程为( )
A.x2=4y B.y2=3x
C.x2=2y D.y2=4x
A [设点P(x,y),则Q(x,-1).
∵·=·,
∴(0,y+1)·(-x,2)=(x,y-1)·(x,-2),
即2(y+1)=x2-2(y-1),整理得x2=4y,
∴动点P的轨迹C的方程为x2=4y.故选A.]
4.已知△ABC的顶点B(0,0),C(5,0),AB边上的中线长|CD|=3,则顶点A的轨迹方程为__________.
(x-10)2+y2=36(y≠0) [设A(x,y),则D
∴|CD|==3,
化简得(x-10)2+y2=36,由于A,B,C三点构成三角形,
∴A不能落在x轴上,即y≠0.]
5.(2017·杭州模拟)在△ABC中,||=4,△ABC的内切圆切BC于D点,且||-||=2,则顶点A的轨迹方程为__________. 【导学号:51062302】
-=1(x>) [以BC的中点为原点,中垂线所在直线为y轴建立如图所示的坐标系,E,F分别为两个切点.
则|BE|=|BD|,|CD|=|CF|,|AE|=|AF|.
所以|AB|-|AC|=2,
所以点A的轨迹为以B,C为焦点的双曲线的右支(y≠0),
且a=,c=2,所以b=,
所以轨迹方程为-=1(x>).]
直接法求轨迹方程
已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦MN的长为8.求动圆圆心的轨迹C的方程.
[解] 如图,设动圆圆心为O1(x,y),由题意,得|O1A|=|O1M|.2分
当O1不在y轴上时,
过O1作O1H⊥MN交MN于H,
则H是MN的中点,
∴|O1M|=.6分
又|O1A|=,
∴=,
化简得,y2=8x(x≠0).10分
当O1在y轴上时,O1与O重合,点O1的坐标为(0,0)也满足方程y2=8x,
∴ 动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x.15分
[规律方法] 1.如果动点满足的条件是易于用x,y表达的与定点、定直线有关的几何量的等量关系时,等量关系又易于表达成含有x,y的等式,可利用直接法求轨迹方程.
2.运用直接法应注意的问题:
(1)在用直接法求轨迹方程时,在化简的过程中,有时破坏了方程的同解性,此时就要补上遗漏的点或删除多余的点,这是不能忽视的.
(2)若方程的化简过程是恒等变形,则最后的验证可以省略.
[变式训练1] 已知两点M(-1,0),N(1,0),且点P使·,·,·成公差小于零的等差数列,求点P的轨迹方程.
[解] 设点P(x,y),则=(x+1,y),
=(x-1,y),=(2,0).4分
故·=2(x+1),
·=·=(x+1)×(x-1)+y2=x2+y2-1,·=-2(x-1)=2(1-x).8分
因为·,·,·成公差小于零的等差数列,所以2(x2+y2-1)=2(x+1)+2(1-x).12分
且·-·=2(1-x)-2(x+1)=-4x<0,
整理得,x2+y2=3(x>0),
故点P的轨迹方程为x2+y2=3(x>0).15分
定义法求轨迹方程
如图881所示,已知点C为圆(x+)2+y2=4的圆心,点A(,0).P是圆上的动点,点Q在圆的半径CP所在的直线上,且·=0,=2 .当点P在圆上运动时,求点Q的轨迹方程.
图881
[解] 由(x+)2+y2=4知圆心C(-,0),半径r=2.2分
∵·=0,=2,
∴MQ⊥AP,点M为AP的中点,
因此QM垂直平分线段AP.6分
如图,连接AQ,则|AQ|=|QP|,
∴||QC|-|QA||=
||QC|-|QP||=|CP|=2.
又|AC|=2>2.10分
根据双曲线的定义,点Q的轨迹是以C(-,0),A(,0)为焦点,实轴长为2的双曲线.13分
由c=,a=1,得b2=1,
因此点Q的轨迹方程为x2-y2=1.15分
[迁移探究] 若将本例中的条件“圆C的方程(x+)2+y2=4”改为“圆C的方程(x+)2+y2=16”,其他条件不变,求点Q的轨迹方程.
[解] 由(x+)2+y2=16知圆心C(-,0),半径r=4.2分
∵·=0,=2 ,
∴QM垂直平分AP,连接AQ,
则|AQ|=|QP|,8分
∴|QC|+|QA|=|QC|+|QP|=r=4.10分
根据椭圆定义,点Q的轨迹是以C(-,0),A(,0)为焦点,长轴长为4的椭圆.13分
由c=,a=2,得b=.
因此点Q的轨迹方程为+=1.15分
[规律方法] 1.定义法求轨迹方程,关键是理解解析几何中有关曲线的定义.
在求曲线的轨迹方程时,应尽量利用几何条件探求轨迹的曲线类型,从而再用待定系数法求出轨迹的方程,这样可以减少运算量,优化解题过程.
2.利用定义法求轨迹方程时,还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线,如果不是完整的曲线,则应对其中的变量x或y进行限制.
[变式训练2] 设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.
(1)证明|EA|+|EB|为定值;
(2)求点E的轨迹方程,并求它的离心率. 【导学号:51062303】
[解] (1)证明:因为|AD|=|AC|,EB∥AC,
所以∠EBD=∠ACD=∠ADC,所以|EB|=|ED|,
故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.3分
又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16,从而|AD|=4,
所以|EA|+|EB|=4.6分
(2)由圆A方程(x+1)2+y2=16,知A(-1,0).又B(1,0)
因此|AB|=2,则|EA|+|EB|=4>|AB|.9分
由椭圆定义,知点E的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆(不含与x轴的交点),
所以a=2,c=1,则b2=a2-c2=3.12分
所以点E的轨迹方程为+=1(y≠0).
故曲线方程的离心率e==.15分
相关点(代入)法求轨迹方程
如图882所示,设P是圆x2+y2=25上的动点,点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且|MD|=|PD|.
图882
(1)当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程;
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度.
[解] (1)设M的坐标为(x,y),P的坐标为(xP,yP),
∵点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且|MD|=|PD|,∴xP=x,且yP=y.2分
∵P在圆x2+y2=25上,
∴x2+2=25,整理得+=1,
故轨迹C的方程是+=1.6分
(2)过点(3,0)且斜率为的直线l的方程是y=(x-3),8分
设此直线与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
将直线方程y=(x-3)代入C的方程+=1得:
+=1,化简得x2-3x-8=0,
∴x1=,x2=,12分
则|AB|===.
∴直线被曲线C所截线段的长度为.15分
[规律方法] 1.相关点法求轨迹方程,形成轨迹的动点P(x,y)随另一动点Q(x′,y′)的运动而有规律地运动,而且动点Q的轨迹方程为给定的或容易求得的.
2.“相关点法”的基本步骤:
(1)设点:设被动点坐标为(x,y),主动点坐标为(x1,y1).
(2)求关系式:求出两个动点坐标之间的关系式
(3)代换:将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程.
[变式训练3] (2017·舟山模拟)P是椭圆+=1上的任意一点,F1,F2是它的两个焦点,O为坐标原点,有一动点Q满足=+,则动点Q的轨迹方程是__________.
+=1 [作P关于O的对称点M,连接F1M,F2M,则四边形F1PF2M为平行四边形,
所以+==-2.
又=+,
所以=-.
设Q(x,y),P(x0,y0),则x0=-,且y0=-,
又点P(x0,y0)在椭圆+=1上,
则有+=1,即+=1.]
[思想与方法]
1.求轨迹方程的常用方法
(1)直接法:直接利用条件建立x,y之间的关系F(x,y)=0.
(2)定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程.
(3)代入(相关点)法:动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x0,y0)的变化而运动,常利用代入法求动点P(x,y)的轨迹方程.
(4)待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数.
2.曲线的方程与方程的曲线是从两个方面揭示方程与曲线的对应关系,体现数与形的辨证统一.
[易错与防范]
1.求轨迹方程时,要注意曲线上的点与方程的解是一一对应的.检验可从以下两个方面进行:一是方程的化简是不是同解变形;二是是否符合题目的实际意义.
2.求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求,求轨迹时,应先求轨迹方程,然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等.
课时分层训练(五十) 曲线与方程
A组 基础达标
(建议用时:30分钟)
一、选择题
1.方程(2x+3y-1)(-1)=0表示的曲线是( )
A.两条直线 B.两条射线
C.两条线段 D.一条直线和一条射线
D [原方程可化为或-1=0,即2x+3y-1=0(x≥3)或x=4,故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线.]
2.(2017·台州模拟)已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点,定点M(-1,2),Q是线段PM延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,则Q点的轨迹方程是( )
A.2x+y+1=0 B.2x-y-5=0
C.2x-y-1=0 D.2x-y+5=0
D [由题意知,M为PQ中点,设Q(x,y),则P为(-2-x,4-y),代入2x-y+3=0,得2x-y+5=0.]
3.设点A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线,且|PA|=1,则P点的轨迹方程为( )
A.y2=2x B.(x-1)2+y2=4
C.y2=-2x D.(x-1)2+y2=2
D [如图,设P(x,y),圆心为M(1,0).连接MA,则MA⊥PA,且|MA|=1.
又∵|PA|=1,
∴|PM|==,则|PM|2=2,
∴点P的轨迹方程为(x-1)2+y2=2.]
4.(2017·洛阳模拟)设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点.若=2,且·=1,则点P的轨迹方程是( ) 【导学号:51062304】
A.x2+3y2=1(x>0,y>0)
B.x2-3y2=1(x>0,y>0)
C.3x2-y2=1(x>0,y>0)
D.3x2+y2=1(x>0,y>0)
A [设A(a,0),B(0,b),a>0,b>0.
由=2,得(x,y-b)=2(a-x,-y),
即a=x>0,b=3y>0.
点Q(-x,y),故由·=1,得(-x,y)·(-a,b)=1,
即ax+by=1.
将a,b代入ax+by=1,得所求的轨迹方程为x2+3y2=1(x>0,y>0).]
5.平面直角坐标系中,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足=λ1 +λ2(O为原点),其中λ1,λ2∈R,且λ1+λ2=1,则点C的轨迹是( )
A.直线 B.椭圆
C.圆 D.双曲线
A [设C(x,y),则=(x,y),=(3,1),=(-1,3).∵=λ1+λ2,∴
又λ1+λ2=1,∴x+2y-5=0,表示一条直线.]
二、填空题
6.平面上有三个点A(-2,y),B,C(x,y),若⊥,则动点C的轨迹方程是__________.
y2=8x [=-(-2,y)=,
=(x,y)-=.
∵⊥,∴·=0,
∴·=0,即y2=8x.
∴动点C的轨迹方程为y2=8x.]
7.若点P到直线y=-1的距离比它到点(0,3)的距离小2,则点P的轨迹方程是__________. 【导学号:51062305】
x2=12y [由题意可知点P到直线y=-3的距离等于它到点(0,3)的距离,
故点P的轨迹是以点(0,3)为焦点,以y=-3为准线的抛物线,且p=6,所以其标准方程为x2=12y.]
8.(2017·浙江名校联考)已知双曲线-y2=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P(x1,y1),Q(x1,-y1)是双曲线上不同于A1,A2的两个不同的动点,则直线A1P与A2Q交点的轨迹方程为__________.
+y2=1(x≠0且x≠±) [由题设知|x1|>,A1(-,0),A2(,0),则有
直线A1P的方程为y=(x+),①
直线A2Q的方程为y=(x-),②
联立①②,解得∴③
∴x≠0,且|x|<.∵点P(x1,y1)在双曲线-y2=1上,∴-y=1.
将③代入上式,整理得所求轨迹的方程为+y2=1(x≠0,且x≠±).]
三、解答题
9.如图883所示,动圆C1:x2+y2=t2,1