【数学】2018届一轮复习人教A版 对数与对数函数 学案 8页

第6讲　对数与对数函数 最新考纲　1.理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式；2.理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用.‎ 知 识 梳 理 ‎1.对数的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.‎ ‎2.对数的性质、换底公式与运算性质 ‎(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).‎ ‎(2)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ‎①loga(MN)＝logaM＋logaN；‎ ‎②loga＝logaM－logaN；‎ ‎③logaMn＝nlogaM(n∈R)；‎ ‎④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0).‎ ‎(3)对数的重要公式 ‎①换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1)；‎ ‎②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad.‎ ‎3.对数函数及其性质 ‎(1)概念：函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).‎ ‎(2)对数函数的图象与性质 a>1‎ ‎01时，y>0；‎ 当x>1时，y<0；‎ 当00‎ 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 ‎4.反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)log2x2＝2log2x.(　　)‎ ‎(2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数(　　)‎ ‎(3)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.(　　)‎ ‎(4)当x>1时，若logax>logbx，则a0，且a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是(　　)‎ A.a>1，c>1‎ B.a>1，01‎ D.00，即logac>0，所以0b>c B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b 解析　∵01.‎ ‎∴c>a>b.‎ 答案　D ‎4.(2017·湖州调研)已知a>0且a≠1，若a＝，则a＝________；loga＝________.‎ 解析　∵a>0且a≠1，∴由a＝得a＝＝＝；loga＝log＝2.‎ 答案　　2‎ ‎5.(2015·浙江卷)计算：log2＝________；2log23＋log43＝________.‎ 解析　log2＝log2－log22＝－1＝－；‎ ‎2log23＋log43＝2log23·2log43＝3×2log43＝3×2log2＝3.‎ 答案　－　3 ‎6.若loga<1(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________.‎ 解析　当01时，loga1.‎ 答案　∪(1，＋∞)‎ 考点一　对数的运算 ‎【例1】 (1)设‎2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于(　　)‎ A. B‎.10 ‎ C.20 D.100‎ ‎(2)计算：÷100－＝________.‎ 解析　(1)由已知，得a＝log‎2m，b＝log‎5m，‎ 则＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.‎ 解得m＝.‎ ‎(2)原式＝(lg 2－2－lg 52)×100＝lg×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.‎ 答案　(1)A　(2)－20‎ 规律方法　(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.‎ ‎(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.‎ ‎(3)ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.‎ ‎【训练1】 (1)(2017·北京东城区综合练习)已知函数f(x)＝则f(2＋log23)的值为(　　)‎ A.24 B‎.16 ‎ C.12 D.8‎ ‎(2)(2015·安徽卷)lg＋2lg 2－＝________.‎ 解析　(1)因为3<2＋log23<4，所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝23＋log23＝8×2log23＝24.‎ ‎(2)lg＋2lg 2－＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝lg 5＋lg 2－2＝lg 10－2＝－1.‎ 答案　(1)A　(2)－1‎ 考点二　对数函数的图象及应用 ‎【例2】 (1)(2017·郑州一模)若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是(　　)‎ ‎(2)(2017·金华调研)已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________.‎ 解析　(1)由于y＝a|x|的值域为{y|y≥1}，‎ ‎∴a>1，则y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，‎ 又函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称.‎ 因此y＝loga|x|的图象应大致为选项B.‎ ‎(2)如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上截距.‎ 由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点.‎ 答案　(1)B　(2)a>1‎ 规律方法　(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.‎ ‎(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.‎ ‎【训练2】 (1)函数y＝2log4(1－x)的图象大致是(　　)‎ ‎(2)当01时，不符合题意，舍去.‎ 所以实数a的取值范围是.‎ 答案　(1)C　(2)B 考点三　对数函数的性质及应用(多维探究)‎ 命题角度一　比较对数值的大小 ‎【例3－1】 (2016·全国Ⅰ卷)若a>b>0，0cb 解析　由y＝xc与y＝cx的单调性知，C、D不正确.‎ ‎∵y＝logcx是减函数，得logca0且a≠1，故必有a2＋1>‎2a，‎ 又loga(a2＋1)1，∴a>.综上，a∈.‎ 答案　C 命题角度三　对数型函数的性质 ‎【例3－3】 已知函数f(x)＝loga(3－ax).‎ ‎(1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；‎ ‎(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.‎ 解　(1)∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，‎ 则t(x)＝3－ax为减函数，‎ x∈[0，2]时，t(x)的最小值为3－‎2a，‎ 当x∈[0，2]时，f(x)恒有意义，‎ 即x∈[0，2]时，3－ax>0恒成立.‎ ‎∴3－‎2a>0.∴a<.‎ 又a>0且a≠1，∴a∈(0，1)∪.‎ ‎(2)t(x)＝3－ax，∵a>0，‎ ‎∴函数t(x)为减函数.‎ ‎∵f(x)在区间[1，2]上为减函数，∴y＝logat为增函数，‎ ‎∴a>1，x∈[1，2]时，t(x)最小值为3－‎2a，f(x)最大值为f(1)＝loga(3－a)，‎ ‎∴即 故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.‎ 规律方法　(1)确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行.‎ ‎(2)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.‎ ‎(3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.‎ ‎【训练3】 (1)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则(　　)‎ A.a>c>b B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b ‎(2)已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是________.‎ 解析　(1)a＝log32log22＝1，‎ 所以，c最大.‎ 由1，即a>b，‎ 所以c>a>b.‎ ‎(2)当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，‎ 则f(x)min＝loga(8－‎2a)>1，‎ 解之得11在区间[1，2]上恒成立，‎ 则f(x)min＝loga(8－a)>1，且8－‎2a>0.‎ ‎∴a>4，且a<4，故不存在.‎ 综上可知，实数a的取值范围是.‎ 答案　(1)D　(2) ‎[思想方法]‎ ‎1.对数值取正、负值的规律 当a>1且b>1或00；‎ 当a>1且01时，logab<0.‎ ‎2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决.‎ ‎3.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.‎ ‎4.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定.‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝logax的定义域应为(0，＋∞).对数函数的单调性取决于底数a与1的大小关系，当底数a与1的大小关系不确定时，要分01两种情况讨论.‎ ‎2.在运算性质logaMα＝αlogaM中，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为logaMα＝αloga|M|(α∈N*，且α为偶数).‎ ‎3.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围. ‎