【数学】2019届一轮复习人教A版离散型随机变量的均值与方差学案 7页

离散型随机变量的均值与方差 ‎【考点梳理】‎ ‎1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为 X x1‎ x2‎ ‎…‎ xi ‎…‎ xn P p1‎ p2‎ ‎…‎ pi ‎…‎ pn ‎(1)均值 称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.‎ ‎(2)方差 称D(X)＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差.‎ ‎2．均值与方差的性质 ‎(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.‎ ‎(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数).‎ ‎3．两点分布与二项分布的均值、方差 ‎(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).‎ ‎(2)若X B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).‎ ‎【考点突破】‎ 考点一、离散型随机变量的均值与方差 ‎【例1】一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示.‎ 将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.‎ ‎(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；‎ ‎(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列、数学期望E(X)及方差D(X).‎ ‎[解析] (1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，因此 P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，‎ P(A2)＝0.003×50＝0.15，‎ P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.‎ ‎(2)X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为 P(X＝0)＝C·(1－0.6)3＝0.064，‎ P(X＝1)＝C·0.6(1－0.6)2＝0.288，‎ P(X＝2)＝C·0.62(1－0.6)＝0.432，‎ P(X＝3)＝C·0.63＝0.216.‎ 分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.064‎ ‎0.288‎ ‎0.432‎ ‎0.216‎ 因为X B(3，0.6)，所以数学期望E(X)＝3×0.6＝1.8，‎ 方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1．均值与方差的一般计算步骤 ‎(1)理解X的意义，写出X的所有可能取的值；‎ ‎(2)求X取各个值的概率，写出分布列；‎ ‎(3)根据分布列，由均值的定义求出均值E(X)，进一步由公式D(X)＝ eq lc( c)(avs4alco1(xi－E(X)))2pi＝E(X2)－(E(X))2求出D(X)．‎ ‎2．以特殊分布(两点分布、二项分布、超几何分布)为背景的均值与方差的计算 ‎(1)先根据随机变量的特点判断出随机变量服从什么特殊分布；‎ ‎(2)可以根据特殊分布的概率公式列出分布列，根据计算公式计算出均值和方差；也可以直接应用离散型随机变量服从特殊分布时的均值与方差公式来计算；若X＝aξ＋b不服从特殊分布，但ξ服从特殊分布，可利用有关性质公式及E(ξ)，D(ξ)求均值和方差．‎ ‎【对点训练】‎ 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位：t，100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．‎ ‎(1)将T表示为X的函数；‎ ‎(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；‎ ‎(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100，110)则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100，110)的频率)，求T的数学期望．‎ ‎[解析] (1)当X∈[100，130)时，‎ T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000，‎ 当X∈[130，150]时，T＝500×130＝65 000，‎ 所以T＝ ‎(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X ‎∈[120，150]的频率为0.7，‎ 所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元概率的估计值为0.7.‎ ‎(3)依题意可得T的分布列为 T ‎45 000‎ ‎53 000‎ ‎61 000‎ ‎65 000‎ P ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ 所以E(T)＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400.‎ 考点二、均值与方差在决策中的应用 ‎【例2】甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资结算方案如下：甲公司底薪70元，每单抽成2元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成4元，超出40单的部分每单抽成6元．假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如下频数表：‎ 甲公司送餐员送餐单数频数表 送餐单数 ‎38‎ ‎39‎ ‎40‎ ‎41‎ ‎42‎ 天数 ‎20‎ ‎40‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎10‎ 乙公司送餐员送餐单数频数表 送餐单数 ‎38‎ ‎39‎ ‎40‎ ‎41‎ ‎42‎ 天数 ‎10‎ ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎10‎ ‎(1)现从甲公司记录的这100天中随机抽取2天，求这2天送餐单数都大于40的概率；‎ ‎(2)若将频率视为概率，回答以下问题：‎ ‎①记乙公司送餐员日工资为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望；‎ ‎②小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他做出选择，并说明理由．‎ ‎[解析] (1)记“抽取的2天送餐单数都大于‎40”‎为事件M，‎ 则P(M)＝＝.‎ ‎(2)①设乙公司送餐员送餐单数为a，则 当a＝38时，X＝38×4＝152；‎ 当a＝39时，X＝39×4＝156；‎ 当a＝40时，X＝40×4＝160；‎ 当a＝41时，X＝40×4＋1×6＝166；‎ 当a＝42时，X＝40×4＋2×6＝172.‎ 所以X的所有可能取值为152，156，160，166，172.‎ 故X的分布列为：‎ X ‎152‎ ‎156‎ ‎160‎ ‎166‎ ‎172‎ P 所以E(X)＝152×＋156×＋160×＋166×＋172×＝162.‎ ‎②依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为 ‎38×0.2＋39×0.4＋40×0.2＋41×0.1＋42×0.1＝39.5，‎ 所以甲公司送餐员日平均工资为70＋2×39.5＝149(元)．‎ 由①得乙公司送餐员日平均工资为162元．‎ 因为149<162，故推荐小明去乙公司应聘.‎ ‎【类题通法】‎ 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.‎ ‎【对点训练】‎ 某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200 元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500 元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：‎ 以这100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2 台机器的同时购买的易损零件数．‎ ‎(1)求X的分布列；‎ ‎(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；‎ ‎(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？‎ ‎[解析] (1)由柱状图及以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2.‎ 从而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；‎ P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；‎ P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；‎ P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；‎ P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；‎ P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；‎ P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.‎ 所以X的分布列为 X ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ P ‎0.04‎ ‎0.16‎ ‎0.24‎ ‎0.24‎ ‎0.2‎ ‎0.08‎ ‎0.04‎ ‎(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，‎ 故n的最小值为19.‎ ‎(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．‎ 当n＝19时，E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040；‎ 当n＝20时，E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080.‎ 可知当n＝19时所需费用的期望值小于当n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19.‎