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- 2021-06-16 发布
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微专题62 点线面位置关系的判定
一、基础知识
(一)直线与直线位置关系:
1、线线平行的判定
(1)平行公理:空间中平行于同一直线的两条直线平行
(2)线面平行性质:如果一条直线与平面平行,则过这条直线的平面与已知平面的交线和该直线平行
(3)面面平行性质:
2、线线垂直的判定
(1)两条平行直线,如果其中一条与某直线垂直,则另一条直线也与这条直线垂直
直线与平面位置关系:
(2)线面垂直的性质:如果一条直线与平面垂直,则该直线与平面上的所有直线均垂直
(二)直线与平面的位置关系
1、线面平行判定定理:
(1)若平面外的一条直线与平面上的一条直线平行,则
(2)若两个平面平行,则一个平面上的任一直线与另一平面平行
2、线面垂直的判定:
(1)若直线与平面上的两条相交直线垂直,则
(2)两条平行线中若其中一条与平面垂直,则另一条直线也与该平面垂直
(3)如果两个平面垂直,则一个平面上垂直于交线的直线与另一平面垂直
(三)平面与平面的位置关系
1、平面与平面平行的判定:
(1)如果一个平面上的两条相交直线均与另一个平面平行,则两个平面平行
(2)平行于同一个平面的两个平面平行
2、平面与平面垂直的判定
如果一条直线与一个平面垂直,则过这条直线的所有平面均与这个平面垂直
(四)利用空间向量判断线面位置关系
1、刻画直线,平面位置的向量:直线:方向向量
平面:法向量
2、向量关系与线面关系的转化:
设直线对应的法向量为,平面对应的法向量为(其中在外)
(1)∥∥
(2)
(3)∥
(4)
(5)
(6)
3、有关向量关系的结论
(1)若,则 平行+平行→平行
(2)若,则 平行+垂直→垂直
(3)若,则的位置关系不定。
4、如何用向量判断位置关系命题真假
(1)条件中的线面关系翻译成向量关系
(2)确定由条件能否得到结论
(3)将结论翻译成线面关系,即可判断命题的真假
二、典型例题:
例1:已知是两个不同的平面,是两条不同的直线,现给出下列命题:
①若,则;
②若,则;
③若,则;
④若,则.
其中正确命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
思路:①为面面平行的判定,要求一个平面上两条相交直线,而①中不一定相交。所以无法判定面面平行;②为面面垂直的性质,要求一个平面上垂直交线的直线,才与另一平面垂直。而②中不一定与交线垂直。所以不成立;③可用向量判定,设对应法向量为,直线方向向量为,则条件转换为:,可推得,即,③正确;④为线面平行判定,要求在外,所以④错误;综上只有1个命题正确
答案:B
例2:已知是不同的直线,是不同的平面,以下命题正确的是( )
①若∥,,则∥;
②若,∥,则;
③若∥,则∥;
④若,∥,∥,则;
A.②③ B.③④ C.②④ D.③
思路:题目中涉及平行垂直较多,所以考虑利用正方体(举反例)或向量判断各个命题
① 两平面各选一条直线,两直线平行不能判断出两个平面平行,例如在正方体中在平面和平面中,虽然,但两个平面不平行,所以①错误
② 例如:平面∥平面,,但与不垂直,所以②错误
③ 考虑利用向量帮助解决:,所以可以推断,所以可得∥
④ 考虑利用向量解决:,由垂直关系不能推出,所以④错误
答案:D
例3:对于直线和平面,的一个充分条件为( )
A. B.
C. D.
思路:求的充分条件,即从A,B,C,D中选出能判定的条件,A选项:例如正方体中的平面和平面
可知虽然平面,平面,但这两个平面不平行。B选项:也可利用A选项的例子说明无法推出,C选项可用向量模型进行分析:,所以可得:,即;D选项可利用A选项的例子:,可知平面,平面,但这两个平面不平行,综上所述,只有C为的一个充分条件
答案:C
例4:给定下列四个命题:
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;
②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;
③垂直于同一直线的两条直线相互平行;
④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
其中,为真命题的是( )
A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④
思路:分别判断四个命题:① 必须是一个平面内两条“相交”直线与另一个平面平行,才可判定两平面平行,所以①错误;② 该命题为面面垂直的判定,正确;③ 空间中垂直同一条直线的两条直线不一定平行,例如正方体中交于一点的三条棱;④ 可用反证法确定,假设该直线与另一平面垂直,则必然垂直该平面上所有的直线,包括两平面的交线。所以与条件矛盾。假设不成立。综上所述,正确的命题是②和④
答案:D
例5:已知,表示两条不同直线,表示平面,下列说法中正确的是( )
A.若,,则
B.若∥,∥则∥
C.若,,则∥
D.若∥,,则
思路:A选项若直线与平面垂直,则直线与这个平面上的所有直线均垂直,所以A正确
B选项可用向量判断,∥,∥,由,无法判断出的关系,所以不能推出∥;C选项并没有说明直线是否在平面上,所以结论不正确;D选项也可用向量判断,∥,,同理由无法判断的情况,所以无法推断出,综上所述:A正确
答案:A
例6:给出下列命题,其中正确的两个命题是( )
① 直线上有两点到平面的距离相等,则此直线与平面平行。②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面;③ 直线平面,直线,则;④是异面直线,则存在唯一的平面,使它与都平行且与距离相等
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④
答案:D
思路:① 到平面距离相等的点可能位于平面的同侧或是异侧,如果是同侧,则两点所在直线与平面平行,如果异侧,则直线与平面相交,且交点为这两点的中点。②正确,证明如下:
如图,平面,且分别为的中点,过作交于,连接,设是的中点
平面
③ 命题中没有说明直线是否在上,所以不正确;④正确,设为异面直线
的公垂线段,为中点,过作的平行线,从而由确定的平面与平行且与的距离相等。所以该平面即为所求。
答案:D
例7:下列命题正确的个数是( )
① 若直线上有无数个点不在平面内,则∥
② 若直线∥,则与平面内的任意一条直线都平行
③ 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行
④ 若直线∥,则与平面内的任意一条直线都没有公共点
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
思路:① “无数个点”只是强调数量多,并不等同于“任意点”,即使直线与平面相交,直线上也有无数个点不在平面内。所以①不正确;② 若∥,说明与没有公共点,所以与上任意一条直线都没有公共点,但即使无公共点,的位置关系不只是有平行,还有可能异面,所以②不正确;③ 线面平行的前提是直线在平面外,而命题③中没有说明“另一条”直线是否在平面上,所以③不正确;命题④可由②得知,与上任意一条直线都没有公共点,命题④正确,综上所述,正确的有1个
答案:B
例8:直线为两异面直线,下列结论正确的是( )
A. 过不在上的任何一点,可作一个平面与都平行
B. 过不在上的任何一点,可作一个直线与都相交
C. 过不在上的任何一点,可作一个直线与都平行
D. 过有且只有一个平面与平行
思路:A选项中,如果点与确定的平面与平行,则此平面只和平行,在此平面上,所以这样的是无法作出符合条件的平面;B选项由A所构造出的平面可得,若过的直线与相交,则也在该平面上,所以与无公共点;若过的直线与相交,则无法与相交,综上所述对于这样的点无法作出符合条件的直线;C选项如果过的直线与均平行,则由平行公理可知,与已知条件矛盾,所以C错误;D选项,如果异面,则过只能做出一个平面与平行。在上取两点分别作的平行线,则所唯一确定的平面和平行,且在此平面上。所以D正确
答案:D
例9:设是两条异面直线,是空间任意一点,则下列命题正确的是( )
A. 过点必存在平面与两异面直线都垂直
B. 过点必存在平面与两异面直线都平行
C. 过点必存在直线与两异面直线都垂直
D. 过点必存在直线与两异面直线都平行
思路:A选项,若平面与均垂直,则推得,与异面矛盾;B选项如果点位于某条直线上,则平面无法与该直线平行;C选项中直线的垂直包括异面垂直,所以可以讲平移至共面,过的直线只需与这个平面线面垂直,即和都垂直,所以C正确;D选项如果直线与均平行,则由平行公理可得,与异面矛盾。所以C正确
答案:C
例10:设是不同的直线,是不重合的平面,则下列命题不正确的是( )
A. 若∥,∥,在外,则∥
B. 若,则
C. 若∥,则∥
D. 若,且,则∥
思路:A选项可通过向量来判断:,由此可得:,因为在外,所以可判定∥,A正确;B选项设,则上所有点的投影落在中,上所有点的投影落在中,因为,所以上所有点的投影均在的交点上,即,所以B正确;C选项符合面面平行的性质,即两个平面平行,第三个平面与这两个平面相交,则交线平行,所以C正确;D选项中若A,C位于同侧,则命题成立;但如果位于两侧,则满足条件的与相交。故不正确
答案:D
三、历年好题精选
1、(2016,山东胶州高三期末)设为不同的平面,为不同的直线,则的一个充分条件为( )
A. B.
C. D.
2、给出下面四个命题:
①“直线∥直线”的充要条件是“平行于所在的平面”;
②“直线⊥平面α内所有直线”的充要条件是“⊥平面”;
③“直线,为异面直线”的充分不必要条件是“直线,不相交”;
④“平面∥平面”的必要不充分条件是“内存在不共线三点到的距离相等”.
其中正确命题的序号是( )
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
3、(2016,大连二十中期中考试)已知三个互不重合的平面,且,给出下列命题( )
① 若,则 ② 若,则
③ 若,则 ④ 若,则
其中正确命题的个数为( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4、(江西中南五校联考)已知是两条不同的直线,是三个不同的平面,则下列命题中正确的是( )
A. 若 B. 若
C. 若 D. 若
5、(2016,宁波高三期末)已知平面与平面交于直线,且直线,直线,则下列命题错误的是 ( )
A.若,且与不垂直,则 B.若,,则
C.若,,且与不平行,则 D.若,,则
6、(2016,上海闸北12月月考)已知是两条不同直线,是两个不同平面,给出下列四个命题:
① 若垂直于同一平面,则与平行
② 若平行于同一平面,则与平行
③ 若不平行,则在内不存在与平行的直线
④ 若不平行,则与不可能垂直于同一平面
其中真命题的个数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
7、设为两条直线,为两个平面,则下列四个命题中,正确的命题是( )
A. 若,则 B. ∥∥,∥,则∥
C. 若∥,∥,则∥ D. 若∥,则
8、(2015,广东文)若直线是异面直线,在平面内,在平面内,是平面与平面的交线,则下列命题正确的是( )
A. 至少与中的一条相交 B. 与都相交
C. 至多与中的一条相交 D. 与都不相交
9、(辽宁)已知表示两条不同的直线,表示平面,下列说法正确的是( )
A. 若,,则 B. 若,则
C. 若,则 D. 若,,则
习题答案:
1、答案:D
解析:A选项若不在上,则无法判定;B选项:若,则,所以无法判定;C选项,如果来两两垂直,则无法判定;D选项,如果,则,再由可判定
2、答案:D
解析:① 若平行于所在的平面,则的关系为平行或异面,所以不是充要条件;
② 由线面垂直定义可知:直线⊥平面当且仅当直线⊥平面α内所有直线,所以②正确;③ 中若直线不相交,则可能平行。所以不能得到“直线,为异面直线”,③错误;④ 若平面∥平面,则内所有点到的距离相等,当内存在不共线三点到的距离相等,则两平面可能相交,这三点位于的两侧。所以“内存在不共线三点到的距离相等”是“平面∥平面”的必要不充分条件
3、答案:C
解析:当三个平面两两相交,交线平行或交于一点,所以若,则三条交线交于一点,即,若,则三条交线平行,,所以②④正确;当三条交线交于一点时,,则夹角不确定,所以①错误;若,因为均在上,所以可知,综上所述,②③④正确
4、答案:C
解析:A选项:垂直同一平面的两个平面可以平行,也可以相交,所以A错误
B选项:在正方体中,右侧面的棱与底面上的棱平行,但是这两个面不平行,所以B错误
C选项:将条件转化为向量:,可推出,即,C正确
D选项:若直线上,也满足题目条件,但不平行
5、答案:D
解析:A选项:可知在上的投影为,若与不垂直,且与不垂直,则由三垂线定理可推得不垂直,与已知矛盾,所以A正确
B选项:由,可得,所以
C选项:由不平行可知,因为,由面面垂直判定定理可得
D选项:两个平面上的直线与交线垂直并不能判定两个平面垂直,故D错误
6、答案:D
解析:① 正方形的三个侧面两两垂直,所以垂直于同一平面的两平面不一定平行,①错误
②正方形上底面的直线均与下底面平行,但这些直线不一定平行,②错误
③正方形的下底面与侧面不平行,但是底面平行于交线的直线与侧面平行,③错误
④ 考虑其逆否命题为“若与垂直同一平面,则平行”为真命题,所以原命题为真命题,④正确
综上所述,正确的只有④
7、答案:A
解析:利用空间向量判断,对应的方向向量记为,对应的法向量记为
A:条件转化为,所以A正确
B: 条件转化为,无法得到∥
C: ∥,∥只能得到,无法推出∥
D: 条件转化为:,无法推出
所以只有A正确
8、答案:A
解析:至少与中的一条相交,考虑反证法,若与都不相交,因为与分别共面,所以,则平行,与已知矛盾。所以原命题成立
9、答案:B
解析:A选项,平行于同一个平面的两条直线可以有各种位置关系,A错误
B选项,符合线面垂直的定义,即若直线与平面垂直,则与该平面上任意一条直线均垂直,所以B正确
C选项,直线可以在平面上,所以不正确
D选项,正方形上底面的相互垂直的两条棱均与底面平行,所以不正确
综上所述:B正确