【数学】2020届一轮复习人教B版创新型问题学案 5页

专题02 创新型问题 一．方法综述 ( 对于创新型问题，包括：‎ ‎（Ⅰ）将实际问题抽象为数问题，此类问题往往含有文字语言、符号语言、图表语言，要明确题中已知量与未知量的数关系，要理解生疏的情境、名词、概念，将实际问题数化，将现实问题转化为数问题，构建数模型，运用恰当的数方法解模（如借助不等式、导数等工具加以解决）。‎ ‎ （Ⅱ）创新性问题 ‎①以新概念、新定义给出的信息迁移型创新题，运用“老知识”解决新问题是关键.‎ ‎②以新运算给出的发散型创新题，检验运算能力、数据处理能力.‎ ‎③以命题的推广给出的类比、归纳型创新题，要注意观察特征、寻找规律，充分运用特殊与一般的辩证关系进行求解.‎ 二．解题策略 类型一 实际应用问题 ‎【例1】【北京市石景山区2018届第一期期末】小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点出发，沿箭头方向经过点跑到点，共用时，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为，他与教练间的距离为，表示与的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的（ ）‎ A． 点 B． 点 C． 点 D． 点 ‎【答案】D ‎【指点迷津】解答应用性问题要先审清题意，然后将文字语言转化为数符号语言，最后建立恰当的数模型求解．其中，函数、数列、不等式、概率统计是较为常见的模型．‎ ‎【举一反三】【辽宁省沈阳市郊联体2017-2018上期期末】2016年1月14日，国防工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施，如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点变轨进入月球球为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴长，给出下列式子： ‎ ‎① ② ③ ④‎ 其中正确的式子的序号是（ ）‎ A． ②③ B． ①④ C． ①③ D． ②④‎ ‎【答案】B 类型二 创新性问题 ‎【例2】设D是函数y＝f(x)定义域内的一个区间，若存在x0∈D，使得f(x0)＝－x0，则称x0是f(x)的一个“次不动点”，也称f(x)在区间D上存在“次不动点”．若函数f(x)＝ax2－3x－a＋在区间[1,4]上存在“次不动点”，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，0]　　　　　　　　 B. C. D. ‎【答案】C ‎【解析】由题意，方程ax2－3x－a＋＝－x在区间[1,4]上有解，显然x≠1，所以方程ax2－3x－a＋＝－x在区间(1,4]上有解，即求函数a＝在区间(1,4]上的值域，*‎ 令t＝4x－5，则t∈(－1,11]，a＝，当t∈(－1,0]时，a≤0；‎ 当t∈(0,11]时，0＜a＝≤＝，当且仅当t＝3时取等号．‎ 综上，实数a的取值范围是.*‎ ‎【指点迷津】高中数创新试题呈现的形式是多样化的，但是考查的知识和能力并没有太大的变化，解决创新性问题应注意三点：认真审题，确定目标；深刻理解题意；开阔思路，发散思维，运用观察、比较、类比、猜想等进行合理推理，以便为逻辑思维定向．方向确定后，又需借助逻辑思维，进行严格推理论证，这两种推理的灵活运用，两种思维成分的交织融合，便是处理这类问题的基本思想方法和解题策略．‎ ‎【例3】定义：如果一个列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常，那么这个列叫作等差列，这个常叫作等差列的公差．已知向量列{an}是以a1＝(1,3)为首项，公差为d＝(1,0)的等差向量列，若向量an与非零向量bn＝(xn，xn＋1)(n∈N*)垂直，则＝________.‎ ‎【答案】－ ‎【解析】易知an＝(1,3)＋(n－1,0)＝(n,3)，因为向量an与非零向量bn＝(xn，xn＋1)(n∈N*)垂直，‎ 所以＝－，所以＝········＝××××××××＝－.‎ ‎【指点迷津】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求。但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝。‎ ‎【举一反三】【2017·青岛一模】如果对定义在R上的函数f(x)，对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x‎1f(x1)＋x‎2f(x2)＞x‎1f(x2)＋x‎2f(x1)，则称函数f(x)为“H函数”．‎ 给出下列函数：①y＝x2；②y＝ex＋1；③y＝2x－sin x；④f(x)＝以上函数是“H函数”的所有序号为________．‎ ‎【答案】②③‎ ‎④显然，函数f(x)为偶函数，而偶函数在y轴两侧的单调性相反，故不合题意．‎ 综上，②③为“H函数”．*‎ ‎3.如图，在平面斜坐标系xOy中，∠xOy＝θ，平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若＝‎ xe1＋ye2(其中e1，e2分别是x轴，y轴正方向上的单位向量)，则点P的斜坐标为(x，y)，向量的斜坐标为 (x，y)．‎ 给出以下结论：‎ ‎①若θ＝60°，P(2，－1)，则||＝；‎ ‎②若P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)；‎ ‎③若＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则·＝x1x2＋y1y2；‎ ‎④若θ＝60°，以O为圆心、1为半径的圆的斜坐标方程为x2＋y2＋xy－1＝0.‎ 其中所有正确结论的序号是________．‎ ‎【答案】①②④‎ ‎ ‎