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- 2021-06-16 发布
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板块命题点专练(十四)复数、计数原理与概率、随机变量及其分布
命题点一 复数
1.(2018·浙江高考)复数(i为虚数单位)的共轭复数是( )
A.1+i B.1-i
C.-1+i D.-1-i
解析:选B ∵===1+i,
∴其共轭复数是1-i.
2.(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )
A.i(1+i)2 B.i2(1-i)
C.(1+i)2 D.i(1+i)
解析:选C A项,i(1+i)2=i·2i=-2,不是纯虚数;
B项,i2(1-i)=-(1-i)=-1+i,不是纯虚数;
C项,(1+i)2=2i,2i是纯虚数;
D项,i(1+i)=i+i2=-1+i,不是纯虚数.故选C.
3.(2018·全国卷Ⅰ)设z=+2i,则|z|=( )
A.0 B.
C.1 D.
解析:选C ∵z=+2i=+2i=+2i=i,∴|z|=1.故选C.
4.(2018·全国卷Ⅲ)(1+i)(2-i)=( )
A.-3-i B.-3+i
C.3-i D.3+i
解析:选D (1+i)(2-i)=2-i+2i-i2=3+i.
5.(2018·北京高考)在复平面内,复数的共轭复数对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:选D ==+,其共轭复数为-,对应点位于第四象限.故选D.
6.(2017·北京高考)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,1) B.(-∞,-1)
C.(1,+∞) D.(-1,+∞)
解析:选B 因为z=(1-i)(a+i)=a+1+(1-a)i,
所以它在复平面内对应的点为(a+1,1-a),
又此点在第二象限,所以解得a<-1.
7.(2017·浙江高考)已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2=________,ab=________.
解析:∵(a+bi)2=a2-b2+2abi=3+4i,
∴∴或
∴a2+b2=5,ab=2.
答案:5 2
8.(2018·天津高考)i是虚数单位,复数=________.
解析:===4-i.
答案:4-i
9.(2018·江苏高考)若复数z满足i·z=1+2i,其中i是虚数单位,则z的实部为________.
解析:由i·z=1+2i,得z==2-i,
∴z的实部为2.
答案:2
命题点二 排列、组合
1.(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( )
A.12种 B.18种
C.24种 D.36种
解析:选D 因为安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,所以必有1人完成2项工作.先把4项工作分成3组,即2,1,1,有=6种,再分配给3个人,有A=6种,所以不同的安排方式共有6×6=36(种).
2.(2018·浙江高考)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)
解析:不含有0的四位数有CCA=720(个).
含有0的四位数有CCCA=540(个).
综上,组成没有重复数字的四位数的个数为720+540=1 260.
答案:1 260
3.(2018·全国卷Ⅰ)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有________种.(用数字填写答案)
解析:法一:(直接法)按参加的女生人数可分两类:只有1位女生参加有CC种,有2位女生参加有CC种.故共有CC+CC=2×6+4=16(种).
法二:(间接法)从2位女生,4位男生中选3人,共有C种情况,没有女生参加的情况有C种,故共有C-C=20-4=16(种).
答案:16
4.(2017·浙江高考)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有________种不同的选法.(用数字作答)
解析:法一:分两步,第一步,选出4人,由于至少1名女生,故有C-C=55种不同的选法;第二步,从4人中选出队长、副队长各1人,有A=12种不同的选法.根据分步乘法计数原理知共有55×12=660种不同的选法.
法二:不考虑限制条件,共有AC种不同的选法,
而没有女生的选法有AC种,
故至少有1名女生的选法有AC-AC=840-180=660(种).
答案:660
5.(2014·浙江高考)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有________种(用数字作答).
解析:分情况:一种情况将有奖的奖券按2张、1张分给4个人中的2个人,种数为CCA=36;另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人,种数为A=24,则获奖情况总共有36+24=60(种).
答案:60
命题点三 二项式定理
1.(2018·全国卷Ⅲ)5的展开式中x4的系数为( )
A.10 B.20
C.40 D.80
解析:选C 5的展开式的通项公式为Tr+1=C·(x2)5-r·r=C·2r·x10-3r,令10-3r=4,得r=2.故展开式中x4的系数为C·22=40.
2.(2017·全国卷Ⅲ)(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为( )
A.-80 B.-40
C.40 D.80
解析:选C 当第一个括号内取x时,第二个括号内要取含x2y3的项,即C(2x)2(-y)3,当第一个括号内取y时,第二个括号内要取含x3y2的项,即C(2x)3(-y)2,所以x3y3的系数为C×23-C×22=10×(8-4)=40.
3.(2014·浙江高考)在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=( )
A.45 B.60
C.120 D.210
解析:选C 由题意知f(3,0)=CC,f(2,1)=CC,f(1,2)=CC,f(0,3)=CC,
因此f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=120,选C.
4.(2017·浙江高考)已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4=________,a5=________.
解析:由题意知a4为含x的项的系数,根据二项式定理得a4=C×12×C×22+C×13×C×2=16,a5是常数项,所以a5=C×13×C×22=4.
答案:16 4
5.(2018·浙江高考)二项式8的展开式的常数项是________.
解析:由题意,得Tr+1=C·()8-r·r
=C·r·x.
令=0,得r=2.
因此T3=C·2=7.
答案:7
6.(2014·全国卷Ⅰ)(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为________.(用数字填写答案)
解析:(x+y)8中,Tr+1=Cx8-ryr,
令r=7,再令r=6,
得x2y7的系数为C-C=8-28=-20.
答案:-20
命题点四 古典概型
1.(2018·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”
,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是( )
A. B.
C. D.
解析:选C 不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10个,随机选取两个不同的数,共有C=45种情况,而和为30的有7+23,11+19,13+17这3种情况,所以所求概率是=.故选C.
2.(2017·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )
A. B.
C. D.
解析:选D 记两次取得卡片上的数字依次为a,b,则一共有25个不同的数组(a,b),其中满足a>b的数组共有10个,分别为(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),因此所求的概率P==.
3.(2018·江苏高考)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为________.
解析:设2名男生为a,b,3名女生为A,B,C,从中选出2人的情况有(a,b),(a,A),(a,B),(a,C),(b,A),(b,B),(b,C),(A,B),(A,C),(B,C),共10种,而都是女生的情况有(A,B),(A,C),(B,C),共3种,故所求概率为.
答案:
4.(2017·山东高考)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.
(1)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率;
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.
解:(1)由题意知,从6个国家中任选2个国家,其所有可能的结果组成的基本事件有:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},共15个.
所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},共3个.
则所求事件的概率为P==.
(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,其所有可能的结果组成的基本事件有:
{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},共9个.
包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有:{A1,B2},{A1,B3},共2个,
则所求事件的概率为P=.
命题点五 离散型随机变量及其分布列、均值与方差
1.(2017·浙江高考)已知随机变量ξi满足P(ξi=1)=pi,P(ξi=0)=1-pi,i=1,2.若0<p1<p2<,则( )
A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)
B.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)
C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)
D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)
解析:选A 根据题意得,E(ξi)=pi,D(ξi)=pi(1-pi),i=1,2,∵0<p1<p2<,
∴E(ξ1)<E(ξ2).
令f(x)=x(1-x),则f(x)在上单调递增,
∴f(p1)<f(p2),即D(ξ1)<D(ξ2).
2.(2018·浙江高考)设0<p<1,随机变量ξ的分布列是
ξ
0
1
2
P
则当p在(0,1)内增大时,( )
A.D(ξ)减小 B.D(ξ)增大
C.D(ξ)先减小后增大 D.D(ξ)先增大后减小
解析:选D 由题意知E(ξ)=0×+1×+2×=p+,
D(ξ)=2×+2×+2×
=2×+2×+2×
=-p2+p+=-2+,
∴D(ξ)在上递增,在上递减,
即当p在(0,1)内增大时,D(ξ)先增大后减小.
3.(2018·全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)<
P(X=6),则p=( )
A.0.7 B.0.6
C.0.4 D.0.3
解析:选B 由题意可知,10位成员中使用移动支付的人数X服从二项分布,即
X~B(10,p),
所以DX=10p(1-p)=2.4,所以p=0.4或0.6.
又因为P(X=4)<P(X=6),
所以Cp4(1-p)6<Cp6(1-p)4,
所以p>0.5,所以p=0.6.
4.(2017·天津高考)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为,,.
(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;
(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.
解:(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X=0)=××=,
P(X=1)=××+××+××=,
P(X=2)=××+××+××=,
P(X=3)=××=.
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.
(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为
P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)
=P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0)
=×+×=.
所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为.
5.(2017·江苏高考)已知一个口袋中有m个白球,n个黑球(m,n∈N*,n≥2),这些球除颜色外完全相同.现将口袋中的球随机地逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,…,m+n的抽屉内,其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉(k=1,2,3,…,m+n).
1
2
3
…
m+n
(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p;
(2)随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(X)是X的数学期望,证明:E(X)<.
解:(1)编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p为:
p==.
(2)证明:随机变量X的概率分布为:
X
…
…
P
…
…
随机变量X的期望为:
E(X)=·=·.
所以E(X)<
=
=(1+C+C+…+C)
=(C+C+C+…+C)
=(C+C+…+C)
=…=(C+C)
==,
即E(X)<.