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- 2021-06-16 发布
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第 3 课时 二项式定理(对应学生用书(理)174 175 页)
近几年高考二项式定理在理 加试部分考查,
以后高考将会考查学生应用基础知识、解决
实际问题的能力,难度适中.
① 掌握二项式定理及二项展开式的通项公
式,并能熟练地进行二项式的展开及求解某
些特定的项、项数或系数,特别要注意有关
二项式系数与项的系数的区别.② 能用计数
原理证明二项式定理,会用二项式定理解决
与二项展开式有关的简单问题.
1.(选修23P32练习2改编)(x-2y)7的展开式中,第4项的二项式系数为 W.
(用数字作答)
答案:35
解析:第 4 项的二项式系数为 C3
7=35.
2. (选修 23P32 练习 5 改编)在( x-2)4 的展开式中,x 的系数为 W.
答案:24
解析:由题意可知 Tr+1=Cr
4( x)4-r(-2)r=Cr
4(-2)rx
4-r
2 ,令4-r
2
=1 解得 r=2,
所以展开式中 x 的系数为 C2
4·(-2)2=24.
3. (选修 23P35 练习 4 改编)已知 C0
n+2C1
n+22C2
n+23C3
n+…+2nCn
n=729,则 C1
n+C2
n+C3
n+…
+Cn
n= W.
答案:63
解析:逆用二项式定理得 C0
n+2C1
n+22C2
n+23C3
n+…+2nCn
n=(1+2)n=3n=729,即 3n=
36,所以 n=6,所以 C1
n+C2
n+C3
n+…+Cn
n=26-C0
n=64-1=63.
4. (选修 23P36 习题 13 改编)如果(2x-1)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,那么 a1+a2
+…+a6= W.
答案:0
解析:令 x=0,有 1=a0;令 x=1,有 1=a0+a1+…+a6,∴ a1+a2+…+a6=0.
5. (1+x)8(1+y)4 的展开式中 x2y2 的系数是 W.
答案:168
解析:展开式中 x2y2 的项是由(1+x)8 展开式中 x2 项与(1+y)4 展开式中 y2 项相乘得
到的,所以 x2y2 的系数为 C2
8C2
4=168.
1. 二项式定理
(a+b)n=C0
nan+C1
nan-1b+…+Cr
nan-rbr+…+Cn
nbn(n∈N )W.
这个公式叫做二项式定理,右边的多项式叫做(a+b)n 的二项展开式,其中的系数 Cr
n(r
=0,1,2,…,n)叫做第 r+1 项的二项式系数W.式中的 Cr
nan-rbr 叫做二项展开式的第 r
+1 项(通项),用 Tr+1 表示,即展开式的第 r+1 项;Tr+1=Cr
nan-rbrW.
2. 二项展开式形式上的特点
(1) 项数为 n+1W.
(2) 各项的次数都等于二项式的幂指数 n,即 a 与 b 的指数的和为 n.
(3) 字母 a 按降幂排列,从第一项开始,次数由 n 逐项减 1 直到零;字母 b 按升幂排
列,从第一项起,次数由零逐项增 1 直到 n.
(4) 二项式的系数从 C0
n,C1
n,一直到 Cn-1
n ,Cn
n.
3. 二项式系数的性质
(1) 在二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等.
(2) 如果二项式的幂指数是偶数,则中间项的二项式系数最大;如果二项式的幂指数
是奇数,则中间两项的二项式系数相等并且最大.
(3) 二项式系数的和等于 2n,即 C0
n+C1
n+…+Cn
n=2nW.
(4) 二项式展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,即
C0
n+C2
n+…=C1
n+C3
n+…=2n-1W.[备课札记]
1 求二项展开式中特定项或特定项的系数)
1 在二项式
x+
1
2
4
x
n
的展开式中,前三项的系数成等差数列,求展开式中
的有理项和二项式系数最大的项.
解:∵ 二项展开式的前三项的系数分别是 1,n
2
,1
8
n(n-1),∴ 2·n
2
=1+1
8
n(n-1),
解得 n=8 或 n=1(不合题意,舍去),
∴ Tr+1=Cr
8x
8-r
2
1
2
x-1
4
r
=Cr
82-rx4-3
4
r,
当 4-3
4
r∈ 时,Tr+1 为有理项.
∵ 0≤r≤8 且 r∈ ,∴ r=0,4,8 符合要求.
故有理项有 3 项,分别是 T1=x4,T5=35
8
x,T9= 1
256
x-2.
∵ n=8,∴ 展开式中共 9 项,中间一项即第 5 项的二项式系数最大且为 T5=35
8
x.
变式训练
若二项式
x+1
x
n
(n∈N )的展开式中各项的系数和为 32,则该展开式中含 x 项的系
数为 W.
答案:5
解析:令 x=1,得
x+1
x
n
的展开式中各项的系数和为 2n,即 2n=32,所以 n=5,
x+1
x
5
展开式的通项为 Tr+1=Cr
5( x)5-r
1
x
r
=Cr
5x
5-3r
2 ,令5-3r
2
=1,得 r=1,所以该
展开式中含 x 项的系数为 C1
5=5.
, 2 多项式展开式中的特定项或特定系数问题)
, 2) (1) 在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8 的展开式中,
含 x3 项的系数是 W.
(2) 设二项式
x-
1
3
x
5
的展开式中常数项为 A,则 A= W.
答案:(1) -121 (2) -10
解析:(1) (1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8=(1-x)5[1-(1-x)4]
1-(1-x)
=
(1-x)5-(1-x)9
x
,(1-x)5 中 x4 的系数为 C4
5=5,-(1-x)9 中 x4 的系数为-C4
9=-
126,-126+5=-121.
(2) Tr+1=Cr
5( x)5-r·
-
1
3
x
r
=Cr
5x
5-r
2 ·(-1)r·x-r
3
=(-1)rCr
5x5-r
2
-r
3
=
(-1)rCr
5x
15-5r
6 .
令 15-5r=0,得 r=3,所以 A=(-1)3C3
5=-C2
5=-10.
变式训练
(1)在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中,含 x4 项的系数是 W.
(2) 在二项式
x2-1
x
5
的展开式中,含 x4 的项的系数是 W.
答案:(1) -15 (2) 10
解析:(1) 当第 1 个括号取-1 时,其他括号内只能取 x;当第 2 个括号取-2 时,其
他括号内也只能取 x;当第 3 个括号取-3 时,其他括号内也只能取 x;当第 4 个括号取-4
时,其他括号内也只能取 x;当第 5 个括号取-5 时,其他括号内也只能取 x.因此含 x4 项的
系数为(-1)+(-2)+(-3)+(-4)+(-5)=-15.
(2) 对于 Tr+1=Cr
5(x2)5-r -1
x
r
=(-1)rCr
5x10-3r,令 10-3r=4,∴ r=2,则 x4
项的系数是 C2
5(-1)2=10.
, 3 二项式系数的和与各项的系数和问题)
, 3) (1) 若(x+2+m)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)
9,且(a0+a2+…+a8)2-(a1+a3+…+a9)2=39,则实数 m 的值为 ;
(2) 若(x+1)2(x+2)2 016=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a2 018(x+2)2 018,
则a1
2
+a2
22+a3
23+…+a2 018
22 018= W.
答案:(1) 1 或-3 (2)
1
2
2 018
解析:(1) 令 x=0,得到 a0+a1+a2+…+a9=(2+m)9,
令 x=-2,得到 a0-a1+a2-a3+…-a9=m9,
所以有(2+m)9m9=39,即 m2+2m=3,
解得 m=1 或 m=-3.
(2) 依题意,令 x=-2 得 a0=0,再令 x=-3
2
,得
-3
2
+1 2 -3
2
+2 2 016
=a0+a1
-3
2
+2
+a2
-3
2
+2 2
+…+a2 018
-3
2
+2 2 018
,
即a1
2
+a2
22+a3
23+…+a2 018
22 018=
1
2
2 018
.
备选变式(教师专享)
(1) 若将函数 f(x)=x5 表示为 f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1
+x)5,其中 a0,a1,a2,…,a5 为实数,则 a3= W.
(2) 在(a+x)(1+x)4 的展开式中,x 的奇数次幂项的系数之和为 32,则 a=
W.
答案:(1) 10 (2) 3
解析:(1) 由题可知 x5=[(1+x)-1]5,故 a3 为[(1+x)-1]5 的展开式中(1+x)
3 的系数.由二项展开式的通项公式,得 Tr+1=Cr
5(1+x)5-r·(-1)r.令 r=2,得 T3=C2
5(1
+x)3·(-1)2=10(1+x)3.故 a3=10.
(2) 设(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,
令 x=1,得 16(a+1)=a0+a1+a2+a3+a4+a5 ①,
令 x=-1,得 0=a0-a1+a2-a3+a4-a5 ②.
①-②,得 16(a+1)=2(a1+a3+a5),即展开式中 x 的奇数次幂的系数之和为 a1+
a3+a5=8(a+1),所以 8(a+1)=32,解得 a=3.
, 4 二项式定理的综合应用)
, 4) 设 n∈N ,n≥3, ∈N .
(1) 求值:
① Ck
n-nCk-1
n-1;
② 2Ck
n-n(n-1)Ck-2
n-2-nCk-1
n-1( ≥2);
(2) 化简:12C0
n+22C1
n+32C2
n+…+( +1)2Ck
n+…+(n+1)2Cn
n.
解:(1) ① Ck
n-nCk-1
n-1= × n!
k!(n-k)!
-n× (n-1)!
(k-1)!(n-k)!
= n!
(k-1)!(n-k)!
- n!
(k-1)!(n-k)!
=0.
② 2Ck
n-n(n-1)Ck-2
n-2-nCk-1
n-1= 2× n!
k!(n-k)!
-n(n-1)×
(n-2)!
(k-2)!(n-k)!
-n× (n-1)!
(k-1)!(n-k)!
= ×
n!
(k-1)!(n-k)!
- n!
(k-2)!(n-k)!
- n!
(k-1)!(n-k)!
= n!
(k-2)!(n-k)!
k
k-1
-1- 1
k-1 =0.
(2) (解法 1)由(1)可知当 ≥2 时,
( +1)2Ck
n=( 2+2 +1)Ck
n= 2Ck
n+2 Ck
n+Ck
n
=[n(n-1)Ck-2
n-2+nCk-1
n-1]+2nCk-1
n-1+Ck
n
=n(n-1)Ck-2
n-2+3nCk-1
n-1+Ck
n,
故 12C0
n+22C1
n+32C2
n+…+( +1)2Ck
n+…+(n+1)2Cn
n
=(12C0
n+22C1
n)+n(n-1)(C0
n-2+C1
n-2+…+Cn-2
n-2)+3n(C1
n-1+C2
n-1+…+Cn-1
n-1)+(C2
n
+C3
n+…+Cn
n)=(1+4n)+n(n-1)2n-2+3n(2n-1-1)+(2n-1-n)=2n-2(n2+5n
+4).
(解法 2)当 n≥3 时,由二项式定理,有(1+x)n=1+C1
nx+C2
nx2+…+Ck
nx +…+Cn
nxn,
两边同乘 x,得(1+x)nx=x+C1
nx2+C2
nx3+…+Ck
nx +1+…+Cn
nxn+1,
两边对 x 求导,得(1+x)n+n(1+x)n-1x=1+2C1
nx+3C2
nx2+…+( +1)Ck
nx +…+
(n+1)Cn
nxn,
两边再同乘 x,得
(1+x)nx+n(1+x)n-1x2=x+2C1
nx2+3C2
nx3+…+( +1)Ck
nx +1+…+(n+1)Cn
nxn
+1,
两边再对 x 求导,得(1+x)n+n(1+x)n-1x+n(n-1)(1+x)n-2x2+2n(1+x)n
-1x=1+22C1
nx+32C2
nx2+…+( +1)2Ck
nx +…+(n+1)2Cn
nxn.
令 x=1,得 2n+n2n-1+n(n-1)2n-2+2n2n-1=1+22C1
n+32C2
n+…+( +1)2Ck
n+…+
(n+1)2Cn
n,
即 12C0
n+22C1
n+32C2
n+…+( +1)2Ck
n+…+(n+1)2Cn
n=2n-2(n2+5n+4).
备选变式(教师专享)
(2017·苏北四市期中)设 n∈N ,f(n)=3n+7n-2.
(1) 求 f(1),f(2),f(3)的值;
(2) 求证:对任意正整数 n,f(n)是 8 的倍数.
(1) 解:代入求出 f(1)=8,f(2)=56,f(3)=368.
(2) 证明:f(n)=3n+7n-2=(4-1)n+(8-1)n-2
=4n-C1
n4n-1+…+(-1)n-2Cn-2
n 42+(-1)n-1Cn-1
n 4+(-1)nCn
n+8n-C1
n8n-1+…+(-
1)n-2Cn-2
n 82+(-1)n-1·Cn-1
n 8+(-1)nCn
n-2=[4n-C1
n4n-1+…+(-1)n-2·Cn-2
n 42+8n-
C1
n8n-1+…+(-1)n-1Cn-1
n 8]+[(-1)n-1·Cn-1
n 4+2(-1)nCn
n-2],
显然,前一个中括号中的数是 8 的倍数,令(-1)n-1Cn-1
n 4+2(-1)nCn
n-2=M,则
当 n 为偶数时,M=-4n 也是 8 的倍数,所以 f(n)是 8 的倍数.
当 n 为奇数时,M=4n-4=4(n-1)也是 8 的倍数,所以 f(n)是 8 的倍数.
综上所述,对任意正整数 n,f(n)是 8 的倍数.
(注:本题亦可以用数学归纳法进行证明)
1. (2017·新课标Ⅰ)在
1+1
x2 (1+x)6 的展开式中,含 x2 项的系数为 W.
答案:30
解析:因为
1+1
x2 (1+x)6=(1+x)6+1
x2·(1+x)6,则(1+x)6 的展开式中含 x2
项的为 C2
6x2=15x2,1
x2·(1+x)6 的展开式中含 x2 项的为1
x2·C4
6x4=15x2,故 x2 的系数为 15+
15=30.
2. (2017·浙江模拟改编)已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x1
+a5,则 a1+a2+a3+a4= .
答案:67
解析:当 x=0 时,得 a5=4.
当 x=1 时,得(x+1)3(x+2)2=72=1+a1+a2+a3+a4+a5,又 a5=4,得 a1+a2+
a3+a4=67.
3. (2017·新课标Ⅲ)在(x+y)(2x-y)5 的展开式中,含 x3y3 项的系数为 W.
答案:40
解析:(x+y)(2x-y)5=x(2x-y)5+y(2x-y)5,
由(2x-y)5 展开式的通项公式:Tr+1=Cr
5(2x)5-r(-y)r 可得:
当 r=3 时,x(2x-y)5 展开式中 x3y3 的系数为 C3
5×22×(-1)3=-40,
当 r=2 时,y(2x-y)5 展开式中 x3y3 的系数为 C2
5×23×(-1)2=80,
则 x3y3 的系数为 80-40=40.
4. 设 f(x,n)=(1+x)n,n∈N .
(1) 求 f(x,6)的展开式中系数最大的项;
(2) n∈N 时,化简 C0
n4n-1+C1
n4n-2+C2
n4n-3+…+Cn-1
n 40+Cn
n4-1;
(3) 求证:C1
n+2C2
n+3C3
n+…+nCn
n=n×2n-1.
(1) 解:展开式中系数最大的项是第四项为 C3
6x3=20x3.
(2) 解:C0
n4n-1+C1
n4n-2+C2
n4n-3+…+Cn-1
n 40+Cn
n4-1
=1
4
[C0
n4n+C1
n4n-1+C2
n4n-2+…+Cn-1
n 4+Cn
n]
=1
4
(4+1)n=5n
4
.
(3) 证明:因为 Ck
n=nCk-1
n-1,
所以 C1
n+2C2
n+3C3
n+…+nCn
n=n(C0
n-1+C1
n-1+C2
n-1+…+Cn-1
n-1)=n×2n-1.
, 10. 谨防混淆二项展开式的系数与二项式系数致误)
典例 已知
1
2
+2x n
.
(1) 若展开式中第 2 项系数是最后一项系数的 28 倍,求展开式中二项式系数最大的
项的系数;
(2) 若展开式前三项的二项式系数和等于 79,求展开式中系数最大的项.
易错分析:解答此题时易将项的系数与二项式系数混淆,从而导致计算错误.
解:(1) 由题意,C1
n
1
2
n-1
×2=28×
1
2
n
,即 4n=28,
∴ n=7,展开式中二项式系数最大的项是 T4 和 T5.
∴ T4 的系数为 C3
7
1
2
4
23=35
2
,
T5 的系数为 C4
7
1
2
3
24=70.
(2) ∵ C0
n+C1
n+C2
n=79,∴ n2+n-156=0.
∴ n=12 或 n=-13(舍去).
设第 r+1 项的系数最大,
∵
1
2
+2x 12
=
1
2
12
(1+4x)12,
∴
Cr
124r≥Cr-1
12 4r-1,
Cr
124r≥Cr+1
12 4r+1,
∴ 9.4≤r≤10.4.
又 r∈N ,∴ r=10.∴ 展开式中系数最大的项为第 11 项,
T11=C10
12·
1
2
2
·210·x10=16 896x10.
特别提醒:区别“项的系数”与“二项式系数”,审题时要仔细.(ax+b)n 项的系数
与 a,b 有关,可正可负,二项式系数只与 n 有关,恒为正.另外,也要注意项与项的系数,
项的系数与项的系数绝对值的区别与联系.
(1) 对于(ax+b)n 展开式中,第 r+1 项的二项式系数是指 Cr
n,第 r+1 项的系数是
Cr
nan-rbr.
(2) 对于(ax+b)n 展开式中各项系数之和,令 x=1 即得(a+b)n;(ax+b)n 展开
式的二项式系数之和为 C0
n+C1
n+…+Cn
n=2n.
1. (2017·山东卷)已知(1+3x)n 的展开式中含有 x2 项的系数是 54,则 n= W.
答案:4
解析:由二项式定理的通项公式 Tr+1=Cr
n(3x)r=Cr
n3rxr,令 r=2,得 C2
n·32=54,解得
n=4.
2. 已知二项式(2x+1)n 展开式的各项系数和为 729,则(x2+x+1)
2x-1
x
n
的展开
式中常数项为 W.
答案:-100
解析:由题知 3n=729,解得 n=6,
2x-1
x
6
的通项为 Tr+1=Cr
6(2x)6-r -1
x
r
=26-r(-
1)rCr
6x6-2r,由题知,6-2r=-2 或 6-2r=-1 或 6-2r=0(r∈N,r≤6),解得 r=4 或 3,
所以常数项为 26-4(-1)4C4
6+26-3(-1)3C3
6=-100.
3. 已知
2x- 1
x
n
(n∈N )的展开式中二项式系数的和为 256,则该展开式中含1
x
项的
系数为 W.
答案:112
解析:由题知 2n=256,所以 n=8,所以 Tr+1=Cr
8(2x)8-r(-1)rx-r
2
=(-1)r28-rCr
8x8
-3r
2
,所以 8-3
2
r=-1,解得 r=6,所以该展开式中含1
x
项的系数为(-1)628-6C6
8=112.
4. 在杨辉三角形中,从第 3 行开始,除 1 以外,其他每一个数值是它上面的二个数值
之和,这个三角形数阵开头几行如下图所示.
(1) 在杨辉三角形中是否存在某一行,且该行中三个相邻的数之比为 3∶4∶5?若存
在,试求出是第几行;若不存在,请说明理由.
(2) 已知 n,r 为正整数,且 n≥r+3.求证:任何四个相邻的组合数 Cr
n,Cr+1
n ,Cr+2
n ,
C r+3
n 不能构成等差数列.
(1) 解:杨辉三角形的第 n 行由二项式系数 Ck
n, =0,1,2,…,n 组成.
如果第 n 行中有Ck-1
n
Ck
n
= k
n-k+1
=3
4
, Ck
n
Ck+1
n
=k+1
n-k
=4
5
,
那么 3n-7 =-3,4n-9 =5,
解这个联立方程组,得 =27,n=62.
即第 62 行有三个相邻的数 C26
62,C27
62,C 28
62的比为 3∶4∶5.
(2) 证明:若有 n,r(n≥r+3),使得 Cr
n,Cr+1
n ,Cr+2
n ,C r+3
n 成等差数列,则 2Cr+1
n =
Cr
n+Cr+2
n ,2Cr+2
n =Cr+1
n +Cr+3
n ,
即 2·n!
(r+1)!(n-r-1)!
= n!
r!(n-r)!
+ n!
(r+2)!(n-r-2)!
,
2·n!
(r+2)!(n-r-2)!
= n!
(r+1)!(n-r-1)!
+ n!
(r+3)!(n-r-3)!
.
故 2
(r+1)(n-r-1)
= 1
(n-r-1)(n-r)
+ 1
(r+1)(r+2)
,
2
(r+2)(n-r-2)
= 1
(n-r-2)(n-r-1)
+ 1
(r+2)(r+3)
,
经整理得到 n2-(4r+5)n+4r(r+2)+2=0,n2-(4r+9)n+4(r+1)(r+3)
+2=0.
两式相减可得 n=2r+3,
于是 Cr
2r+3,Cr+1
2r+3,Cr+2
2r+3,C r+3
2r+3成等差数列,
而由二项式系数的性质可知 Cr
2r+3=Cr+3
2r+3<Cr+1
2r+3=Cr+2
2r+3,
这与等差数列性质矛盾,从而要证明的结论成立.
1. 二项展开式的通项主要用于求二项式的指数、项和系数,在运用公式时要注意以下
几点:
(1) Tr+1=Cr
nan-rbr 是第 r+1 项,而不是第 r 项. (a+b)n 与(b+a)n 虽然相同,但
若求它们展开式的第几项时是不同的,需注意顺序.
(2) 求展开式的一些特殊项,通常都是由题意列出方程求出 r,再求所需的某项(有
时需先求 n).计算时要注意 n,r 的取值范围及它们的大小关系.
(3) 求展开式的某一项的系数,先要准确地写出通项,特别要注意符号问题,然后将
通项中的系数和字母分离.
2. 要注意二项展开式中二项式系数与某一项系数的区别.在(a+b)n 的展开式中,系
数最大的项是中间项;但当 a,b 的系数不是 1 时,系数最大的项的位置就不一定在中间,
需要利用通项公式,根据系数的增减性具体讨论而定.
3. 对三项或三项以上的展开问题,应根据式子的特点,转化为二项式来解决(有些题
目也可转化为计数问题解决),转化的方法通常为集项、配方、因式分解,集项时要注意项
与项结合的合理性和简捷性.
4. 二项式定理的应用方法
(1) “赋值法”和“构造法”是解决二项展开式中“系数和”问题的基本思路,也是
证明有关组合数恒等式的重要方法.
(2) “配凑法”和“消去法”是解决“整除性问题”或“余数问题”的重要方法.
(3) 有些不等式的证明问题,也常借助二项式定理进行“放缩”处理.