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- 2021-06-16 发布
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2.1 复数的加法与减法
(15 分钟 35 分)
1.若复数 z 满足 z+(3-4i)=1,则 z 的虚部是 ( )
A.-2 B.4 C.3 D.-4
【解析】选 B.z=1-(3-4i)=-2+4i.
2.在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,若向量 、 对
应的复数分别是 3+i、-1+3i,则 对应的复数是 ( )
A.2+4i B.-2+4i
C.-4+2i D.4-2i
【解析】选 D.依题意有 = = - ,而(3+i)-(-1+3i)=4-2i,即 对
应的复数为 4-2i.
3.设 z∈C,且|z+1|-|z-i|=0,则|z+i|的最小值为 ( )
A.0 B.1 C. D.
【解析】选 C.由|z+1|=|z-i|知,在复平面内,复数 z 对应的点的轨迹是
以(-1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线,即直线 y=-x,而|z+i|表
示直线 y=-x 上的点到点(0,-1)的距离,其最小值等于点(0,-1)到直线
y=-x 的距离即为 .
4.(2020· 青 岛 高 一 检 测 ) 已 知 i 为 虚 数 单 位 , 设
z1=x+2i,z2=3-yi(x,y∈R),且 z1+z2=5-6i,则 z1-z2= .
【解析】因为 z1+z2=5-6i,所以(x+2i)+(3-yi)=5-6i,所以
即 所以 z1=2+2i,z2=3-8i,所以 z1-z2=(2+2i)-(3-8i)=-1+10i.
答案:-1+10i
5.已知 z1=cos α+isin α,z2=cos β-isin β且 z1-z2= + i,则
cos(α+β)的值为 .
【解析】因为 z1=cos α+isin α,z2=cos β-isin β,
所以 z1-z2=(cos α-cos β)+i(sin α+sin β)= + i,
所以
①2+②2 得 2-2cos(α+β)=1,即 cos(α+β)= .
答案:
6.(2020·天津高一检测)已知复数 z1=a2-3-i,z2=-2a+a2i,若 z1+z2 是纯
虚数,求实数 a.
【解析】由条件知 z1+z2=a2-2a-3+(a2-1)i,又 z1+z2 是纯虚数,所以
解得 a=3.
(20 分钟 40 分)
一、单选题(每小题 5 分,共 15 分)
1.(2020·全国Ⅰ卷)若 z=1+2i+i3,则|z|= ( )
A.0 B.1 C. D.2
【解析】选 C.因为 z=1+2i+i3=1+2i-i=1+i,
所以|z|= = .
2.设 f(z)=|z|,z1=3+4i,z2=-2-i,则 f(z1-z2)等于 ( )
A. B.5
C. D.5
【解析】选 D.因为 z1-z2=5+5i,所以 f(z1-z2)=f(5+5i)=|5+5i|=5 .
3.(2020·泸县高一检测)z∈C,若|z|- =1+2i,则 z= ( )
A. -2i B. +2i
C.2+2i D.2-2i
【 解 析 】 选 B. 设 z=a+bi, 则 |z|- = -a+bi=1+2i, 故
,故 ,故 z= +2i.
【补偿训练】
已知 z∈C 且 =1,则 (i 为虚数单位)的最小值是 ( )
A.2 -1 B.2 +1
C. D.2
【解析】选 A.因为|z|=1 且 z∈C,作图如图:
因为|z-2-2i|的几何意义为单位圆上的点 M 到复平面上的点 P(2,2)的
距离,
所以|z-2-2i|的最小值为:|OP|-1=2 -1.
二、多选题(共 5 分,全部选对得 5 分,选对但不全的得 3 分,有选错的
得 0 分)
4.对任意复数 z=a+bi(a,b∈R),i 为虚数单位,则下列结论中正确的是 ( )
A.z- =2a B.|z|=| |
C.z+ =2a D.z+ =2bi
【解析】选 BC.已知 z=a+bi 则 =a-bi
选 项 A,z- = - =2bi ≠ 2a, 错 误 . 选 项
B,|z|= ,| |= = , 正 确 . 选 项
C,z+ =2a,故 C 正确,D 错误.
【补偿训练】
1.已知复数 z1=2+ai,z2=a+i ,且复数 z1-z2 在复平面内对应的
点位于第二象限,则 a 的取值可以是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选 CD.由题得 z1-z2=(2-a)+(a-1)i,
因为复数 z1-z2 在复平面内对应的点位于第二象限,所以 ,所
以 a>2.故 CD 正确.
2.(2020·苏州高一检测)已知 i 为虚数单位,下列说法中正确的是
( )
A.若复数 z 满足|z-i|= ,则复数 z 对应的点在以(1,0)为圆心, 为
半径的圆上
B.若复数 z 满足 z+|z|=2+8i,则复数 z=15+8i
C.复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是
复数对应的向量的模
D. 复 数 z1 对 应 的 向 量 为 , 复 数 z2 对 应 的 向 量 为 , 若
= ,则 ⊥
【解析】选 CD.满足|z-i|= 的复数 z 对应的点在以(0,1)为圆心,
为半径的圆上,A 错误;
在 B 中,设 z=a+bi(a,b∈R),则|z|= .
由z+|z|=2+8i,得a+bi+ =2+8i,所以 解
得 所以 z=-15+8i,B 错误;由复数的模的定义知 C 正确;由
= 的几何意义知,以 , 为邻边的平行四边形为矩
形,从而两邻边垂直,D 正确.
三、填空题(每小题 5 分,共 10 分)
5.设复数 z 满足 z+|z|=2+i,则 z= .
【 解 析 】 设 z=x+yi(x,y ∈ R), 则 |z|= . 所 以
x+yi+ =2+i.
所以 解得
所以 z= +i.
答案: +i
6.若|z|=2,则|z-1|的最小值是 .
【解析】|z-1|≥||z|-1|=|2-1|=1.
答案:1
四、解答题
7.(10 分)已知复数 z 满足|z|=2,求复数 1+ i+z 的模的最大值、最小
值.
【解析】由已知,复数 z 对应的点 Z 在复平面内以原点为圆心,半径为 2
的圆上,设 w=1+ i+z,所以 z=w-1- i,所以|z|=|w-(1+ i)|=2.
于是复数 w 对应的点在复平面内以(1, )为圆心,半径为 2 的圆上,如
图所示,此时圆上的点 A 对应的复数 wA 的模有最大值,圆上的点 B 对应
的复数 wB 的模有最小值,故|1+ i+z|max=4, =0.
【补偿训练】
在 平 行 四 边 形 ABCD 中 , 已 知 , 对 应 的 复 数 分 别 为
z1=3+5i,z2=-1+2i.
(1)求 对应的复数;
(2)求 对应的复数;
(3)求平行四边形 ABCD 的面积.
【解析】(1)由于 = + = + ,所以 = - .故 对应的复数为
z=z1-z2=(3+5i)-(-1+2i)=4+3i.
(2)由于 = - = - ,
所以 对应的复数为(4+3i)-(-1+2i)=5+i.
(3)由(1)(2)可知在平行四边形 ABCD 中,
= =(-1,2), = =(4,3),
所以 cos∠DAB= = = .
因此 sin∠DAB= = .
于是平行四边形 ABCD 的面积
S▱ABCD=| || |sin∠DAB= ×5× =11.
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