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- 2021-06-16 发布
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微专题58数学归纳法
一、基础知识:
1、数学归纳法适用的范围:关于正整数的命题(例如数列,不等式,整除问题等),则可以考虑使用数学归纳法进行证明
2、第一数学归纳法:通过假设成立,再结合其它条件去证成立即可。证明的步骤如下:
(1)归纳验证:验证(是满足条件的最小整数)时,命题成立
(2)归纳假设:假设成立,证明当时,命题也成立
(3)归纳结论:得到结论:时,命题均成立
3、第一归纳法要注意的地方:
(1)数学归纳法所证命题不一定从开始成立,可从任意一个正整数开始,此时归纳验证从开始
(2)归纳假设中,要注意,保证递推的连续性
(3)归纳假设中的,命题成立,是证明命题成立的重要条件。在证明的过程中要注意寻找与的联系
4、第二数学归纳法:在第一数学归纳法中有一个细节,就是在假设命题成立时,可用的条件只有,而不能默认其它的时依然成立。第二数学归纳法是对第一归纳法的补充,将归纳假设扩充为假设,命题均成立,然后证明命题成立。可使用的条件要比第一归纳法多,证明的步骤如下:
(1)归纳验证:验证(是满足条件的最小整数)时,命题成立
(2)归纳假设:假设成立,证明当时,命题也成立
(3)归纳结论:得到结论:时,命题均成立
二、典型例题
例1:已知等比数列的首项,公比,设是它的前项和,求证:
思路:根据等比数列求和公式可化简所证不等式:,时,不等式为;当时,所证不等式为,可明显看到与中,两个不等式的联系,从而想到利用数学归纳法进行证明
证明:,所证不等式为:
,下面用数学归纳法证明:
(1)验证:时,左边右边,不等式成立
(2)假设时,不等式成立,则时,
所以时,不等式成立
,均有
小炼有话说:数学归纳法的证明过程,关键的地方在于寻找所证与条件之间的联系,一旦找到联系,则数学归纳法即可使用
例2(2015,和平模拟):已知数列满足,其前项和,且
(1)求数列的通项公式
(2)设,并记为数列的前项和,求证:
解:(1) ①
②
①②可得:
所以两边同除以可得:
是公差为的等差数列
,在中令可得:
(舍)或
(2)思路:利用(1)可求出和,从而简化不等式可得:,若直接证明则需要进行放缩,难度较大。而如果选择数学归纳法证明,则目标相对明确,难度较小。
解:由(1)可得:
所证不等式为:
下面用数学归纳法证明:
当时,不等式为成立
假设当时成立,则时,
所以只需证:即可,尝试进行等价变形:
,所证不等式为:
例3:设数列的前项和为,满足,且
(1)求
(2)求数列的通项公式
解:(1)在中, 时,有
时,,另有
,解得:
(2)思路:由可得:,两式相减可得:,从递推公式很难直接求出通项公式。观察,可猜想,从而考虑“先猜再证”利用数学归纳法证明:
证明:由猜想,下面用数学归纳法进行证明:
(1)验证当时,符合题意
(2)假设时,,则时
,
则
所以,满足通项公式
例4:在数列中,已知,且,求证:
证明:用数学归纳法证明:
当时,,命题成立
假设时,命题成立,即,则时
考虑
,即
时,均有
例5:已知数列满足,当时,
求证:数列的第项能被3整除
证明:(数学归纳法)
(1)当时,,能被3整除
(2)假设当时,能被3整除,那么当时
能被3整除,能被3整除 能被3整除
即时,命题成立 对一切的,均能被3整除
例6:设正整数数列满足:,且对于任何,由
(1)求
(2)求数列的通项公式
解:(1)思路:虽然所给条件为不等式,但因为为正整数,所以依然可由不等式确定的值,可先解出范围,再求出满足的整数即可。
由已知不等式得:
当时,即
解得:,则
当时,即
解得:,则
综上:
(2)思路:由可猜想,且条件为递推的不等式,刚好能体现与的联系。所以考虑利用数学归纳法证明
证明:由,猜想,下面用数学归纳法证明的情况:
验证:时,符合通项公式
假设时,,则时,
而
因为时,, (均在时,取到1)
所以时,
,命题成立
而均符合通项公式
小炼有话说:(1)利用整数的离散性,在求整数的值时,不仅可用等式(方程)去解,也可用不等式先求出范围,再取范围内的整数,同样可以达到求值的目的
(2)为什么对开始进行数学归纳法而不是从开始?因为在,中时,不能满足条件。所以也许一开始入手是从开始证明,但在证明过程中发现条件的对变量取值有所限制,则要进行适当的调整。
例7:已知数列满足,其中常数
(1)若,求的取值范围
(2)若,求证:对任意的,都有
解:(1)由已知可得:时
或
(2)思路:条件给出递推公式,故考虑利用的范围去推出的范围,可尝试数学归纳法
解:(数学归纳法)
当时,成立
假设时,命题成立,即,则当时,
,即时,命题成立
所以时,均有
例8:已知数列的前项和为,且
(1)求
(2)设满足:且,求证:
解:(1) ①
②
①②
从第二项开始成等差数列
令 则,代入可得:
时,
(2)解:由(1)可得所证不等式为:,考虑使用数学归纳法:
当时,
假设时,命题成立,即,则时
而
所以时,命题成立
时,
例9:已知的三边长为有理数
(1)求证:是有理数
(2)求证:对任意的正整数,是有理数
证明:(1) 又
,即是有理数
(2)思路:题目条件很少,无法直接入手,所以考虑利用数学归纳法制造条件并找到与条件的联系,假设,则,可知为有理数,但未知,且题目中再无可用条件。所以要想证明,则需将制造条件加强,设,代价就是在证明时也要证明成立。只需,是可证明的
证明:使用数学归纳法证明与均为有理数
当时,由(1)可得,且
假设时,命题成立,即,则时
,
,由假设可得
综上所述:时,命题成立
时,为有理数
小炼有话说:
(1)涉及到关于的命题,若所给条件过少,则可通过数学归纳法制造条件,以便于证明题目
(2)本题在利用数学归纳法证明时,对所证问题做了一个加强,即对于同一个,有两个命题同时成立,这样做的好处在于在归纳假设时会再多一个条件进行使用,但是代价就是归纳证明时也要多证明一个结论。有时针对条件较少的题目还是值得的
例10:(安徽)设实数,整数
(1)证明:当且时,
(2)数列满足,求证:
解:(1)思路:所证不等式含有两个变量,若以为核心变量,则为大于1的正整数,且在不等式左边位于指数的位置,在证明不等式时可以考虑利用数学归纳法,从而证明时,左边,与取得联系。
证明:用数学归纳法证明:
当时,,原不等式成立
假设时,不等式成立,即,则时,
所以时,不等式成立
时,
(2)思路:本题证明易想到对两边同时除以与1进行比较:,进而要证明,所以只能先证后面的不等式,由递推公式可想到利用数学归纳法证明。
证明:用数学归纳法证明
当时,
假设,命题成立,即,则时,
由(1)可得:
即
时,命题成立
时,
下面证明:
考虑
小炼有话说:在第一问中如果以为研究对象,也可以利用导数去解决:设,则,因为,所以可得:时,,时,。所以在单调递减,在单调递增。从而