【数学】2019届一轮复习（理）人教B版推理与证明、算法、复数第1节学案 14页

第 1 节　合情推理与演绎推理 最新考纲　1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解 合情推理在数学发现中的作用；2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本 模式，并能运用它们进行一些简单推理；3.了解合情推理和演绎推理之间的联系 和差异. 知 识 梳 理 1.合情推理 类型 定义 特点 归纳推理 根据一类事物的部分对象具有某种 性质，推出这类事物的全部对象都 具有这种性质的推理 由部分到整体、由个别到一 般 类比推理 根据两类事物之间具有某些类似 (一致)性，推测一类事物具有另一 类事物类似(或相同)的性质的推理 由特殊到特殊 2.演绎推理 (1) 定义：由概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过 程，通常叫做演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理. (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况； ③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断. 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.(　　) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.(　　) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合 适.(　　) (4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确.(　　) 解析　(1)类比推理的结论不一定正确. (3)平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适. (4)演绎推理是在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确. 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2.数列 2，5，11，20，x，47，…中的 x 等于(　　) A.28 B.32 C.33 D.27 解析　5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9， 推出 x－20＝12，所以 x＝32. 答案　B 3.正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此 f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数， 以上推理(　　) A.结论正确 B.大前提不正确 C.小前提不正确 D.全不正确 解析　f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确. 答案　C 4.(2018·咸阳模拟)观察下列式子： 1 × 2<2， 1 × 2＋ 2 × 3< 9 2， 1 × 2 ＋ 2 × 3＋ 3 × 4<8， 1 × 2＋ 2 × 3＋ 3 × 4＋ 4 × 5< 25 2 ，…，根据 以上规律，第 n(n∈N+)个不等式是 . 解 析 　 根 据 所 给 不 等 式 可 得 第 n 个 不 等 式 是 1 × 2＋ 2 × 3＋ … ＋ n·（n＋1）< （n＋1）2 2 . 答案　 1 × 2＋ 2 × 3＋…＋ n·（n＋1）< （n＋1）2 2 5.(教材习题改编)在等差数列{an}中，若 a10＝0，则有 a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋… ＋a19－n(n＜19，n∈N+)成立，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若 b9＝1，则 b1b2b3…bn＝ . 答案　b1b2b3…b17－n(n＜17，n∈N+) 考点一　归纳推理 【例 1】 (1)(2018·烟台一模)所有真约数(除本身之外的正约数)的和等于它本身 的正整数叫做完全数(也称为完备数、完美数)，如 6＝1＋2＋3；28＝1＋2＋4＋7 ＋14；496＝1＋2＋4＋8＋16＋31＋62＋124＋248，…，此外，它们都可以表示 为 2 的一些连续正整数次幂之和，如 6＝21＋22，28＝22＋23＋24，…，按此规律， 8 128 可表示为 . (2)(2018·济宁模拟)已知 ai>0(i＝1，2，3，…，n)，观察下列不等式： a1＋a2 2 ≥ a1a2； a1＋a2＋a3 3 ≥3 a1a2a3； a1＋a2＋a3＋a4 4 ≥4 a1a2a3a4； …… 照此规律，当 n∈N+，n≥2 时，a1＋a2＋…＋an n ≥ . 解析　(1)由题意，如果 2n－1 是质数，则 2n－1(2n－1)是完全数，例如：6＝21＋22 ＝21(22－1)，28＝22＋23＋24＝22(23－1)，…；若 2n－1(2n－1)＝8 128，解得 n＝ 7，所以 8 128 可表示为 26(27－1)＝26＋27＋…＋212. (2)根据题意有a1＋a2＋…an n ≥n a1a2…an(n∈N+，n≥2). 答案　(1)26＋27＋…＋212　(2)n a1a2…an 规律方法　归纳推理问题的常见类型及解题策略 (1)与数字有关的等式的推理.观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可 解. (2)与不等式有关的推理.观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可 解. (3)与数列有关的推理.通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数 列的项与项数的关系，列出即可. (4)与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验 法验证其真伪性. 【训练 1】 (1)(2018·郑州一模)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研 究数，例如： 他们研究过图中的 1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，故将其称 为三角形数，由以上规律，知这些三角形数从小到大形成一个数列{an}，那么 a10 的值为(　　) A.45 B.55 C.65 D.66 (2)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数 1，3，6， 10，…，第 n 个三角形数为 n（n＋1） 2 ＝1 2n2＋1 2n，记第 n 个 k 边形数为 N(n， k)(k≥3)，以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式： 三角形数　　　　　N(n，3)＝1 2n2＋1 2n， 正方形数 N(n，4)＝n2， 五边形数 N(n，5)＝3 2n2－1 2n， 六边形数 N(n，6)＝2n2－n …… 可以推测 N(n，k)的表达式，由此计算 N(10，24)＝ . 解析　(1)第 1 个图中，小石子有 1 个， 第 2 个图中，小石子有 3＝1＋2 个， 第 3 个图中，小石子有 6＝1＋2＋3 个， 第 4 个图中，小石子有 10＝1＋2＋3＋4 个， …… 故第 10 个图中，小石子有 1＋2＋3＋…＋10＝10 × 11 2 ＝55 个，即 a10＝55. (2)三角形数　N(n，3)＝1 2n2＋1 2n＝n2＋n 2 ， 正方形数　N(n，4)＝n2＝2n2－0·n 2 ， 五边形数　N(n，5)＝3 2n2－1 2n＝3n2－n 2 ， 六边形数　N(n，6)＝2n2－n＝4n2－2n 2 ， k 边形数　N(n，k)＝（k－2）n2－（k－4）n 2 ， 所以 N(10，24)＝22 × 102－20 × 10 2 ＝2 200－200 2 ＝1 000. 答案　(1)B　(2)1 000 考点二　类比推理 【例 2】 (1)(一题多解)若数列{an}是等差数列，则数列{bn}(bn＝a1＋a2＋…＋an n ) 也为等差数列.类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比 数列，则 dn 的表达式应为(　　) A.dn＝c1＋c2＋…＋cn n B.dn＝c1·c2·…·cn n C.dn＝n c＋c＋…＋c n D.dn＝n c1·c2·…·cn (2)(2018·湖北八校联考)祖暅是我国南北朝时代的数学家，是祖冲 之的儿子.他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异.”这里的 “幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高 的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何 体体积相等.设由椭圆y2 a2＋x2 b2＝1(a>b>0)所围成的平面图形绕 y 轴旋转一周后， 得一橄榄状的几何体(称为椭球体)(如图)，课本中介绍了应用祖暅原理求球体体 积公式的方法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于 . 解析　(1)法一　从商类比开方，从和类比积，则算术平均数可以类比几何平均 数，故 dn 的表达式为 dn＝n c1·c2·…·cn. 法二　若{an}是等差数列，则 a1＋a2＋…＋a n＝na1＋n（n－1） 2 d，∴bn＝a1＋ （n－1） 2 d ＝ d 2n ＋ a1 － d 2， 即 {bn} 为 等 差 数 列 ； 若 {cn} 是 等 比 数 列 ， 则 c1·c2·…·cn＝cn1·q1＋2＋…＋(n－1)＝cn1·q n（n－1） 2 ，∴dn＝n c1·c2·…·cn＝ c1·q n－1 2 ，即{dn}为等比数列，故选 D. (2)椭圆的长半轴长为 a，短半轴长为 b，现构造两个底面半径为 b，高为 a 的圆 柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥， 根 据 祖 暅 原 理 得 出 椭 球 体 的 体 积 V ＝ 2(V 圆 柱 － V 圆 锥 ) ＝ 2 (π × b2 × a－1 3π × b2a)＝ 4 3πb2a. 答案　(1)D　(2) 4 3πb2a 规律方法　1.进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类 比，提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键. 2.类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等 比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等. 【训练 2】 (1)(2017·安徽江南十校联考)我国古代数学名著《九章算术》中割圆 术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所 失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在 2＋ 2＋ 2＋…中“…” 即代表无限次重复，但原式却是个定值 x，这可以通过方程 2＋x＝x 确定出来 x＝ 2，类似地不难得到 1＋ 1 1＋ 1 1＋… ＝(　　) A. － 5－1 2 B. 5－1 2 C. 1＋ 5 2 D. 1－ 5 2 (2)如图(1)所示，点 O 是△ABC 内任意一点，连接 AO，BO，CO，并延长交对边 于 A1，B1，C1，则OA1 AA1＋OB1 BB1＋OC1 CC1＝1，类比猜想：点 O 是空间四面体 VBCD 内的 任意一点，如图(2)所示，连接 VO，BO，CO，DO 并延长分别交面 BCD，VCD， VBD，VBC 于点 V1，B1，C1，D1，则有 . 解析　(1)令 1＋ 1 1＋ 1 1＋… ＝x(x>0)，即 1＋1 x＝x，即 x2－x－1＝0，解得 x＝1＋ 5 2 (x＝1－ 5 2 舍)，故 1＋ 1 1＋ 1 1＋… ＝1＋ 5 2 ，故选 C. (2)利用类比推理，猜想应有OV1 VV1 ＋OB1 BB1＋OC1 CC1＋OD1 DD1 ＝1. 用“体积法”证明如下： OV1 VV1＋OB1 BB1＋OC1 CC1＋OD1 DD1＝VO －BCD VV－BCD ＋VO －VCD VB－VCD ＋VO －VBD VC－VBD ＋VO －VBC VD－VBC ＝VV－BCD VV－BCD ＝1. 答案　(1)C　(2) OV1 VV1＋OB1 BB1＋OC1 CC1＋OD1 DD1＝1 考点三　演绎推理 【例 3】 数列{an}的前 n 项和记为 Sn，已知 a1＝1，an＋1＝n＋2 n Sn(n∈N+).证明： (1)数列{Sn n }是等比数列； (2)Sn＋1＝4an. 证明　(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝n＋2 n Sn， ∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即 nSn＋1＝2(n＋1)Sn. ∴Sn＋1 n＋1 ＝2· Sn n ，又S1 1 ＝1≠0，(小前提) 故{Sn n }是以 1 为首项，2 为公比的等比数列.(结论) (大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知Sn＋1 n＋1 ＝4· Sn－1 n－1(n≥2)， ∴Sn＋1＝4(n＋1)· Sn－1 n－1 ＝4· n－1＋2 n－1 ·Sn－1 ＝4an(n≥2)，(小前提) 又 a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提) ∴对于任意正整数 n，都有 Sn＋1＝4an.(结论) (第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件) 规律方法　演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论 解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以 省略. 【训练 3】 (2017·全国Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞 赛的成绩.老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成 绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成 绩.根据以上信息，则(　　) A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩 解析　由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1 个 优秀，1 个良好”.乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良 好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩、丁看甲的成 绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优 秀”，可得丁可以知道自己的成绩. 答案　D 基础巩固题组 (建议用时：30 分钟) 一、选择题 1.观察一列算式：1⊗1，1⊗2，2⊗1，1⊗3，2⊗2，3⊗1，1⊗4，2⊗3，3⊗2，4⊗1，…， 则式子 3⊗5 是第(　　) A.22 项 B.23 项 C.24 项 D.25 项 解析　两数和为 2 的有 1 个，和为 3 的有 2 个，和为 4 的有 3 个，和为 5 的有 4 个，和为 6 的有 5 个，和为 7 的有 6 个，前面共有 21 个，3⊗5 为和为 8 的第 3 项，所以为第 24 项，故选 C. 答案　C 2.命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数” 是假命题，推理错误的原因是(　　) A.使用了归纳推理 B.使用了类比推理 C.使用了“三段论”，但推理形式错误 D.使用了“三段论”，但小前提错误 解析　由“三段论”的推理方式可知，该推理的错误原因是推理形式错误. 答案　C 3.观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理得：若定义在 R 上的 函数 f(x)满足 f(－x)＝f(x)，记 g(x)为 f(x)的导函数，则 g(－x)＝(　　) A.f(x) B.－f(x) C.g(x) D.－g(x) 解析　由已知得偶函数的导函数为奇函数，故 g(－x)＝－g(x). 答案　D 4.观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…， 则 a10＋b10 等于(　　) A.28 B.76 C.123 D.199 解析　观察规律，归纳推理. 从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右 端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则 a10＋b10＝123. 答案　C 5.老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名 学生了解考试情况，四名学生回答如下： 甲说：“我们四人都没考好”； 乙说：“我们四人中有人考的好”； 丙说：“乙和丁至少有一人没考好”； 丁说：“我没考好”. 结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中说对的两人是(　　) A.甲，丙 B.乙，丁 C.丙，丁 D.乙，丙 解析　甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果丁正确， 则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确. 答案　D 6.(2018·郑州调研)平面内凸四边形有 2 条对角线，凸五边形有 5 条对角线，凸六 边形有 9 条对角线，以此类推，凸 13 边形对角线的条数为(　　) A.42 B.65 C.143 D.169 解析　可以通过列表归纳分析得到. 凸多边形 4 5 6 7 8 … 对角线条数 2 2＋3 2＋3＋4 2＋3＋4＋5 2＋3＋4＋5＋ 6 … ∴凸 13 边形有 2＋3＋4＋…＋11＝13 × 10 2 ＝65 条对角线. 答案　B 7.(2018·青岛模拟)如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左 焦点，当FB→ ⊥AB→ 时，其离心率为 5－1 2 ，此类椭圆被称为“黄金 椭圆”.类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率 e 等于(　　) A. 5＋1 2 B. 5－1 2 C. 5－1 D. 5＋1 解析　设“黄金双曲线”方程为x2 a2－y2 b2＝1， 则 B(0，b)，F(－c，0)，A(a，0). 在“黄金双曲线”中，因为FB→ ⊥AB→ ， 所以FB→ ·AB→ ＝0. 又FB→ ＝(c，b)，AB→ ＝(－a，b). 所以 b2＝ac. 又 b2＝c2－a2， 所以 c2－a2＝ac. 在等号两边同除以 a2，得 e＝ 5＋1 2 . 答案　A 8.如图，有一个六边形的点阵，它的中心是 1 个点(算第 1 层)，第 2 层每边有 2 个点，第 3 层每边有 3 个点，…，依此类推，如果一个六 边形点阵共有 169 个点，那么它的层数为(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 解析　由题意知，第 1 层的点数为 1，第 2 层的点数为 6，第 3 层的点数为 2×6，第 4 层的点数为 3×6，第 5 层的点数为 4×6，…，第 n(n≥2，n∈N+)层 的点数为 6(n－1).设一个点阵有 n(n≥2，n∈N+)层，则共有的点数为 1＋6＋6×2 ＋…＋6(n－1)＝1＋6＋6（n－1） 2 ×(n－1)＝3n2－3n＋1，由题意得 3n2－3n＋1 ＝169，即(n＋7)·(n－8)＝0， 所以 n＝8，故共有 8 层. 答案　C 二、填空题 9. 仔 细 观 察 下 面 ○ 和 ● 的 排 列 规 律 ： ○ ● ○○ ● ○○○ ● ○○○○ ● ○○○○○ ● ○○○○○○ ●…，若依此规律继续下去，得到一系列的○和 ●，那么在前 120 个○和●中，●的个数是 . 解析　进行分组 ○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|…， 则前 n 组两种圈的总数是 f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝n（n＋3） 2 ，易知 f(14)＝ 119，f(15)＝135，故 n＝14. 答案　14 10.观察下列等式：1 3＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝ 102，…，根据上述规律，第 n 个等式为 . 解析　观察所给等式左右两边的构成易得第 n 个等式为 13＋23＋…＋n 3＝ [n（n＋1） 2 ] 2 ＝n2（n＋1）2 4 . 答案　13＋23＋…＋n3＝n2（n＋1）2 4 11.(2018·重庆模拟)在等差数列{an}中，若公差为 d，且 a1＝d，那么有 am＋an＝ am ＋ n ， 类 比 上 述 性 质 ， 写 出 在 等 比 数 列 {an} 中 类 似 的 性 质： . 解析　等差数列中两项之和类比等比数列中两项之积，故在等比数列中，类似的 性质是“在等比数列{an}中，若公比为 q，且 a1＝q，则 am·an＝am＋n.” 答案　在等比数列{an}中，若公比为 q，且 a1＝q，则 am·an＝am＋n 12.已知点 A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函数 y＝ax(a＞1)的图象上任意不同两点，依 据图象可知，线段 AB 总是位于 A，B 两点之间函数图象的上方，因此有结论 ax1＋ax2 2 ＞a x1＋x2 2 成立.运用类比思想方法可知，若点 A(x1，sin x1)，B(x2，sin x2) 是函数 y＝sin x(x∈(0，π))的图象上任意不同两点，则类似地有 成立. 解析　对于函数 y＝ax(a＞1)的图象上任意不同两点 A， B，依据图象可知，线段 AB 总是位于 A，B 两点之间函数图象的上方，因此有结 论ax1＋ax2 2 ＞a x1＋x2 2 成立；对于函数 y＝sin x(x∈(0，π))的图象上任意不同的 两点 A(x1，sin x1)，B(x2，sin x2)，线段 AB 总是位于 A，B 两点之间函数图象的 下方， 类比可知应有sin x1＋sin x2 2 ＜sin x1＋x2 2 成立. 答案　sin x1＋sin x2 2 ＜sin x1＋x2 2 能力提升题组 (建议用时：15 分钟) 13.(2018·包头调研)设等比数列{an}的公比为 q，其前 n 项和为 Sn，前 n 项之积为 Tn，并且满足条件：a1>1，a2 016a2 017>1，a2 016－1 a2 017－1<0，下列结论中正确的是(　　) A.q<0 B.a2 016a2 018－1>0 C.T2 016 是数列{Tn}中的最大项 D.S2 016>S2 017 解析　由 a1>1，a2 016a2 017>1 得 q>0，由a2 016－1 a2 017－1<0，a1>1 得 a2 016>1，a2 017<1， 0b>0)外，过 P0 作椭圆的两条切线的切点为 P1，P2，则切点弦 P1P2 所在的直线方程是x0x a2 ＋y0y b2 ＝1，那么对于双曲线则有如 下命题：若 P0(x0，y0)在双曲线x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)外，过 P0 作双曲线的两条切 线，切点为 P1，P2，则切点弦 P1P2 所在直线的方程是 . 解析　设 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 则 P1，P2 的切线方程分别是x1x a2 －y1y b2 ＝1，x2x a2 －y2y b2 ＝1. 因为 P0(x0，y0)在这两条切线上， 故有x1x0 a2 －y1y0 b2 ＝1，x2x0 a2 －y2y0 b2 ＝1， 这说明 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线x0x a2 －y0y b2 ＝1 上， 故切点弦 P1P2 所在的直线方程是x0x a2 －y0y b2 ＝1. 答案　x0x a2 －y0y b2 ＝1 16.(2017·北京卷)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条 件： (1)男学生人数多于女学生人数； (2)女学生人数多于教师人数； (3)教师人数的两倍多于男学生人数. ①若教师人数为 4，则女学生人数的最大值为 . ②该小组人数的最小值为 . 解析　设男学生人数为 x，女学生人数为 y，教师人数为 ，由已知得{x > y， y > z， 2z > x， 且 x，y， 均为正整数. ①当 ＝4 时，8>x>y>4，∴x 的最大值为 7，y 的最大值为 6，故女学生人数的最 大值为 6. ②x>y> > x 2 ，当 x＝3 时，条件不成立，当 x＝4 时，条件不成立，当 x＝5 时，5>y> > 5 2，此时 ＝3，y＝4. ∴该小组人数的最小值为 12. 答案　①6　②12