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  • 2021-06-16 发布

【数学】2019届一轮复习(理)人教B版推理与证明、算法、复数第1节学案

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第 1 节 合情推理与演绎推理 最新考纲 1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解 合情推理在数学发现中的作用;2.了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本 模式,并能运用它们进行一些简单推理;3.了解合情推理和演绎推理之间的联系 和差异. 知 识 梳 理 1.合情推理 类型 定义 特点 归纳推理 根据一类事物的部分对象具有某种 性质,推出这类事物的全部对象都 具有这种性质的推理 由部分到整体、由个别到一 般 类比推理 根据两类事物之间具有某些类似 (一致)性,推测一类事物具有另一 类事物类似(或相同)的性质的推理 由特殊到特殊 2.演绎推理 (1) 定义:由概念的定义或一些真命题,依照一定的逻辑规则得到正确结论的过 程,通常叫做演绎推理.简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理. (2)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括: ①大前提——已知的一般原理; ②小前提——所研究的特殊情况; ③结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断. 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正确.(  ) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质,这是一种合情推理.(  ) (3)在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合 适.(  ) (4)在演绎推理中,只要符合演绎推理的形式,结论就一定正确.(  ) 解析 (1)类比推理的结论不一定正确. (3)平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适. (4)演绎推理是在大前提、小前提和推理形式都正确时,得到的结论一定正确. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× 2.数列 2,5,11,20,x,47,…中的 x 等于(  ) A.28 B.32 C.33 D.27 解析 5-2=3,11-5=6,20-11=9, 推出 x-20=12,所以 x=32. 答案 B 3.正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此 f(x)=sin(x2+1)是奇函数, 以上推理(  ) A.结论正确 B.大前提不正确 C.小前提不正确 D.全不正确 解析 f(x)=sin(x2+1)不是正弦函数,所以小前提不正确. 答案 C 4.(2018·咸阳模拟)观察下列式子: 1 × 2<2, 1 × 2+ 2 × 3< 9 2, 1 × 2 + 2 × 3+ 3 × 4<8, 1 × 2+ 2 × 3+ 3 × 4+ 4 × 5< 25 2 ,…,根据 以上规律,第 n(n∈N+)个不等式是 . 解 析   根 据 所 给 不 等 式 可 得 第 n 个 不 等 式 是 1 × 2+ 2 × 3+ … + n·(n+1)< (n+1)2 2 . 答案  1 × 2+ 2 × 3+…+ n·(n+1)< (n+1)2 2 5.(教材习题改编)在等差数列{an}中,若 a10=0,则有 a1+a2+…+an=a1+a2+… +a19-n(n<19,n∈N+)成立,类比上述性质,在等比数列{bn}中,若 b9=1,则 b1b2b3…bn= . 答案 b1b2b3…b17-n(n<17,n∈N+) 考点一 归纳推理 【例 1】 (1)(2018·烟台一模)所有真约数(除本身之外的正约数)的和等于它本身 的正整数叫做完全数(也称为完备数、完美数),如 6=1+2+3;28=1+2+4+7 +14;496=1+2+4+8+16+31+62+124+248,…,此外,它们都可以表示 为 2 的一些连续正整数次幂之和,如 6=21+22,28=22+23+24,…,按此规律, 8 128 可表示为 . (2)(2018·济宁模拟)已知 ai>0(i=1,2,3,…,n),观察下列不等式: a1+a2 2 ≥ a1a2; a1+a2+a3 3 ≥3 a1a2a3; a1+a2+a3+a4 4 ≥4 a1a2a3a4; …… 照此规律,当 n∈N+,n≥2 时,a1+a2+…+an n ≥ . 解析 (1)由题意,如果 2n-1 是质数,则 2n-1(2n-1)是完全数,例如:6=21+22 =21(22-1),28=22+23+24=22(23-1),…;若 2n-1(2n-1)=8 128,解得 n= 7,所以 8 128 可表示为 26(27-1)=26+27+…+212. (2)根据题意有a1+a2+…an n ≥n a1a2…an(n∈N+,n≥2). 答案 (1)26+27+…+212 (2)n a1a2…an 规律方法 归纳推理问题的常见类型及解题策略 (1)与数字有关的等式的推理.观察数字特点,找出等式左右两侧的规律及符号可 解. (2)与不等式有关的推理.观察每个不等式的特点,注意是纵向看,找到规律后可 解. (3)与数列有关的推理.通常是先求出几个特殊现象,采用不完全归纳法,找出数 列的项与项数的关系,列出即可. (4)与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理得出结论,并用赋值检验 法验证其真伪性. 【训练 1】 (1)(2018·郑州一模)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研 究数,例如: 他们研究过图中的 1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,故将其称 为三角形数,由以上规律,知这些三角形数从小到大形成一个数列{an},那么 a10 的值为(  ) A.45 B.55 C.65 D.66 (2)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如三角形数 1,3,6, 10,…,第 n 个三角形数为 n(n+1) 2 =1 2n2+1 2n,记第 n 个 k 边形数为 N(n, k)(k≥3),以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式: 三角形数     N(n,3)=1 2n2+1 2n, 正方形数 N(n,4)=n2, 五边形数 N(n,5)=3 2n2-1 2n, 六边形数 N(n,6)=2n2-n …… 可以推测 N(n,k)的表达式,由此计算 N(10,24)= . 解析 (1)第 1 个图中,小石子有 1 个, 第 2 个图中,小石子有 3=1+2 个, 第 3 个图中,小石子有 6=1+2+3 个, 第 4 个图中,小石子有 10=1+2+3+4 个, …… 故第 10 个图中,小石子有 1+2+3+…+10=10 × 11 2 =55 个,即 a10=55. (2)三角形数 N(n,3)=1 2n2+1 2n=n2+n 2 , 正方形数 N(n,4)=n2=2n2-0·n 2 , 五边形数 N(n,5)=3 2n2-1 2n=3n2-n 2 , 六边形数 N(n,6)=2n2-n=4n2-2n 2 , k 边形数 N(n,k)=(k-2)n2-(k-4)n 2 , 所以 N(10,24)=22 × 102-20 × 10 2 =2 200-200 2 =1 000. 答案 (1)B (2)1 000 考点二 类比推理 【例 2】 (1)(一题多解)若数列{an}是等差数列,则数列{bn}(bn=a1+a2+…+an n ) 也为等差数列.类比这一性质可知,若正项数列{cn}是等比数列,且{dn}也是等比 数列,则 dn 的表达式应为(  ) A.dn=c1+c2+…+cn n B.dn=c1·c2·…·cn n C.dn=n c+c+…+c n D.dn=n c1·c2·…·cn (2)(2018·湖北八校联考)祖暅是我国南北朝时代的数学家,是祖冲 之的儿子.他提出了一条原理:“幂势既同,则积不容异.”这里的 “幂”指水平截面的面积,“势”指高.这句话的意思是:两个等高 的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何 体体积相等.设由椭圆y2 a2+x2 b2=1(a>b>0)所围成的平面图形绕 y 轴旋转一周后, 得一橄榄状的几何体(称为椭球体)(如图),课本中介绍了应用祖暅原理求球体体 积公式的方法,请类比此法,求出椭球体体积,其体积等于 . 解析 (1)法一 从商类比开方,从和类比积,则算术平均数可以类比几何平均 数,故 dn 的表达式为 dn=n c1·c2·…·cn. 法二 若{an}是等差数列,则 a1+a2+…+a n=na1+n(n-1) 2 d,∴bn=a1+ (n-1) 2 d = d 2n + a1 - d 2, 即 {bn} 为 等 差 数 列 ; 若 {cn} 是 等 比 数 列 , 则 c1·c2·…·cn=cn1·q1+2+…+(n-1)=cn1·q n(n-1) 2 ,∴dn=n c1·c2·…·cn= c1·q n-1 2 ,即{dn}为等比数列,故选 D. (2)椭圆的长半轴长为 a,短半轴长为 b,现构造两个底面半径为 b,高为 a 的圆 柱,然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥, 根 据 祖 暅 原 理 得 出 椭 球 体 的 体 积 V = 2(V 圆 柱 - V 圆 锥 ) = 2 (π × b2 × a-1 3π × b2a)= 4 3πb2a. 答案 (1)D (2) 4 3πb2a 规律方法 1.进行类比推理,应从具体问题出发,通过观察、分析、联想进行类 比,提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键. 2.类比推理常见的情形有平面与空间类比;低维的与高维的类比;等差数列与等 比数列类比;数的运算与向量的运算类比;圆锥曲线间的类比等. 【训练 2】 (1)(2017·安徽江南十校联考)我国古代数学名著《九章算术》中割圆 术有:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所 失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程,比如在 2+ 2+ 2+…中“…” 即代表无限次重复,但原式却是个定值 x,这可以通过方程 2+x=x 确定出来 x= 2,类似地不难得到 1+ 1 1+ 1 1+… =(  ) A. - 5-1 2 B. 5-1 2 C. 1+ 5 2 D. 1- 5 2 (2)如图(1)所示,点 O 是△ABC 内任意一点,连接 AO,BO,CO,并延长交对边 于 A1,B1,C1,则OA1 AA1+OB1 BB1+OC1 CC1=1,类比猜想:点 O 是空间四面体 VBCD 内的 任意一点,如图(2)所示,连接 VO,BO,CO,DO 并延长分别交面 BCD,VCD, VBD,VBC 于点 V1,B1,C1,D1,则有 . 解析 (1)令 1+ 1 1+ 1 1+… =x(x>0),即 1+1 x=x,即 x2-x-1=0,解得 x=1+ 5 2 (x=1- 5 2 舍),故 1+ 1 1+ 1 1+… =1+ 5 2 ,故选 C. (2)利用类比推理,猜想应有OV1 VV1 +OB1 BB1+OC1 CC1+OD1 DD1 =1. 用“体积法”证明如下: OV1 VV1+OB1 BB1+OC1 CC1+OD1 DD1=VO -BCD VV-BCD +VO -VCD VB-VCD +VO -VBD VC-VBD +VO -VBC VD-VBC =VV-BCD VV-BCD =1. 答案 (1)C (2) OV1 VV1+OB1 BB1+OC1 CC1+OD1 DD1=1 考点三 演绎推理 【例 3】 数列{an}的前 n 项和记为 Sn,已知 a1=1,an+1=n+2 n Sn(n∈N+).证明: (1)数列{Sn n }是等比数列; (2)Sn+1=4an. 证明 (1)∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=n+2 n Sn, ∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),即 nSn+1=2(n+1)Sn. ∴Sn+1 n+1 =2· Sn n ,又S1 1 =1≠0,(小前提) 故{Sn n }是以 1 为首项,2 为公比的等比数列.(结论) (大前提是等比数列的定义,这里省略了) (2)由(1)可知Sn+1 n+1 =4· Sn-1 n-1(n≥2), ∴Sn+1=4(n+1)· Sn-1 n-1 =4· n-1+2 n-1 ·Sn-1 =4an(n≥2),(小前提) 又 a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,(小前提) ∴对于任意正整数 n,都有 Sn+1=4an.(结论) (第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件) 规律方法 演绎推理是从一般到特殊的推理;其一般形式是三段论,应用三段论 解决问题时,应当首先明确什么是大前提和小前提,如果前提是显然的,则可以 省略. 【训练 3】 (2017·全国Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞 赛的成绩.老师说:你们四人中有 2 位优秀,2 位良好,我现在给甲看乙、丙的成 绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成 绩.根据以上信息,则(  ) A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩 解析 由甲说:“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1 个 优秀,1 个良好”.乙看丙的成绩,结合甲的说法,丙为“优秀”时,乙为“良 好”;丙为“良好”时,乙为“优秀”,可得乙可以知道自己的成绩、丁看甲的成 绩,结合甲的说法,甲为“优秀”时,丁为“良好”;甲为“良好”时,丁为“优 秀”,可得丁可以知道自己的成绩. 答案 D 基础巩固题组 (建议用时:30 分钟) 一、选择题 1.观察一列算式:1⊗1,1⊗2,2⊗1,1⊗3,2⊗2,3⊗1,1⊗4,2⊗3,3⊗2,4⊗1,…, 则式子 3⊗5 是第(  ) A.22 项 B.23 项 C.24 项 D.25 项 解析 两数和为 2 的有 1 个,和为 3 的有 2 个,和为 4 的有 3 个,和为 5 的有 4 个,和为 6 的有 5 个,和为 7 的有 6 个,前面共有 21 个,3⊗5 为和为 8 的第 3 项,所以为第 24 项,故选 C. 答案 C 2.命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数” 是假命题,推理错误的原因是(  ) A.使用了归纳推理 B.使用了类比推理 C.使用了“三段论”,但推理形式错误 D.使用了“三段论”,但小前提错误 解析 由“三段论”的推理方式可知,该推理的错误原因是推理形式错误. 答案 C 3.观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cos x)′=-sin x,由归纳推理得:若定义在 R 上的 函数 f(x)满足 f(-x)=f(x),记 g(x)为 f(x)的导函数,则 g(-x)=(  ) A.f(x) B.-f(x) C.g(x) D.-g(x) 解析 由已知得偶函数的导函数为奇函数,故 g(-x)=-g(x). 答案 D 4.观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…, 则 a10+b10 等于(  ) A.28 B.76 C.123 D.199 解析 观察规律,归纳推理. 从给出的式子特点观察可推知,等式右端的值,从第三项开始,后一个式子的右 端值等于它前面两个式子右端值的和,照此规律,则 a10+b10=123. 答案 C 5.老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试,考试结束后老师向四名 学生了解考试情况,四名学生回答如下: 甲说:“我们四人都没考好”; 乙说:“我们四人中有人考的好”; 丙说:“乙和丁至少有一人没考好”; 丁说:“我没考好”. 结果,四名学生中有两人说对了,则四名学生中说对的两人是(  ) A.甲,丙 B.乙,丁 C.丙,丁 D.乙,丙 解析 甲与乙的关系是对立事件,二人说话矛盾,必有一对一错,如果丁正确, 则丙也是对的,所以丁错误,可得丙正确,此时乙正确. 答案 D 6.(2018·郑州调研)平面内凸四边形有 2 条对角线,凸五边形有 5 条对角线,凸六 边形有 9 条对角线,以此类推,凸 13 边形对角线的条数为(  ) A.42 B.65 C.143 D.169 解析 可以通过列表归纳分析得到. 凸多边形 4 5 6 7 8 … 对角线条数 2 2+3 2+3+4 2+3+4+5 2+3+4+5+ 6 … ∴凸 13 边形有 2+3+4+…+11=13 × 10 2 =65 条对角线. 答案 B 7.(2018·青岛模拟)如图所示,椭圆中心在坐标原点,F 为左 焦点,当FB→ ⊥AB→ 时,其离心率为 5-1 2 ,此类椭圆被称为“黄金 椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率 e 等于(  ) A. 5+1 2 B. 5-1 2 C. 5-1 D. 5+1 解析 设“黄金双曲线”方程为x2 a2-y2 b2=1, 则 B(0,b),F(-c,0),A(a,0). 在“黄金双曲线”中,因为FB→ ⊥AB→ , 所以FB→ ·AB→ =0. 又FB→ =(c,b),AB→ =(-a,b). 所以 b2=ac. 又 b2=c2-a2, 所以 c2-a2=ac. 在等号两边同除以 a2,得 e= 5+1 2 . 答案 A 8.如图,有一个六边形的点阵,它的中心是 1 个点(算第 1 层),第 2 层每边有 2 个点,第 3 层每边有 3 个点,…,依此类推,如果一个六 边形点阵共有 169 个点,那么它的层数为(  ) A.6 B.7 C.8 D.9 解析 由题意知,第 1 层的点数为 1,第 2 层的点数为 6,第 3 层的点数为 2×6,第 4 层的点数为 3×6,第 5 层的点数为 4×6,…,第 n(n≥2,n∈N+)层 的点数为 6(n-1).设一个点阵有 n(n≥2,n∈N+)层,则共有的点数为 1+6+6×2 +…+6(n-1)=1+6+6(n-1) 2 ×(n-1)=3n2-3n+1,由题意得 3n2-3n+1 =169,即(n+7)·(n-8)=0, 所以 n=8,故共有 8 层. 答案 C 二、填空题 9. 仔 细 观 察 下 面 ○ 和 ● 的 排 列 规 律 : ○ ● ○○ ● ○○○ ● ○○○○ ● ○○○○○ ● ○○○○○○ ●…,若依此规律继续下去,得到一系列的○和 ●,那么在前 120 个○和●中,●的个数是 . 解析 进行分组 ○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|…, 则前 n 组两种圈的总数是 f(n)=2+3+4+…+(n+1)=n(n+3) 2 ,易知 f(14)= 119,f(15)=135,故 n=14. 答案 14 10.观察下列等式:1 3=12,13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43= 102,…,根据上述规律,第 n 个等式为 . 解析 观察所给等式左右两边的构成易得第 n 个等式为 13+23+…+n 3= [n(n+1) 2 ] 2 =n2(n+1)2 4 . 答案 13+23+…+n3=n2(n+1)2 4 11.(2018·重庆模拟)在等差数列{an}中,若公差为 d,且 a1=d,那么有 am+an= am + n , 类 比 上 述 性 质 , 写 出 在 等 比 数 列 {an} 中 类 似 的 性 质: . 解析 等差数列中两项之和类比等比数列中两项之积,故在等比数列中,类似的 性质是“在等比数列{an}中,若公比为 q,且 a1=q,则 am·an=am+n.” 答案 在等比数列{an}中,若公比为 q,且 a1=q,则 am·an=am+n 12.已知点 A(x1,ax1),B(x2,ax2)是函数 y=ax(a>1)的图象上任意不同两点,依 据图象可知,线段 AB 总是位于 A,B 两点之间函数图象的上方,因此有结论 ax1+ax2 2 >a x1+x2 2 成立.运用类比思想方法可知,若点 A(x1,sin x1),B(x2,sin x2) 是函数 y=sin x(x∈(0,π))的图象上任意不同两点,则类似地有 成立. 解析 对于函数 y=ax(a>1)的图象上任意不同两点 A, B,依据图象可知,线段 AB 总是位于 A,B 两点之间函数图象的上方,因此有结 论ax1+ax2 2 >a x1+x2 2 成立;对于函数 y=sin x(x∈(0,π))的图象上任意不同的 两点 A(x1,sin x1),B(x2,sin x2),线段 AB 总是位于 A,B 两点之间函数图象的 下方, 类比可知应有sin x1+sin x2 2 <sin x1+x2 2 成立. 答案 sin x1+sin x2 2 <sin x1+x2 2 能力提升题组 (建议用时:15 分钟) 13.(2018·包头调研)设等比数列{an}的公比为 q,其前 n 项和为 Sn,前 n 项之积为 Tn,并且满足条件:a1>1,a2 016a2 017>1,a2 016-1 a2 017-1<0,下列结论中正确的是(  ) A.q<0 B.a2 016a2 018-1>0 C.T2 016 是数列{Tn}中的最大项 D.S2 016>S2 017 解析 由 a1>1,a2 016a2 017>1 得 q>0,由a2 016-1 a2 017-1<0,a1>1 得 a2 016>1,a2 017<1, 0b>0)外,过 P0 作椭圆的两条切线的切点为 P1,P2,则切点弦 P1P2 所在的直线方程是x0x a2 +y0y b2 =1,那么对于双曲线则有如 下命题:若 P0(x0,y0)在双曲线x2 a2-y2 b2=1(a>0,b>0)外,过 P0 作双曲线的两条切 线,切点为 P1,P2,则切点弦 P1P2 所在直线的方程是 . 解析 设 P1(x1,y1),P2(x2,y2), 则 P1,P2 的切线方程分别是x1x a2 -y1y b2 =1,x2x a2 -y2y b2 =1. 因为 P0(x0,y0)在这两条切线上, 故有x1x0 a2 -y1y0 b2 =1,x2x0 a2 -y2y0 b2 =1, 这说明 P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线x0x a2 -y0y b2 =1 上, 故切点弦 P1P2 所在的直线方程是x0x a2 -y0y b2 =1. 答案 x0x a2 -y0y b2 =1 16.(2017·北京卷)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条 件: (1)男学生人数多于女学生人数; (2)女学生人数多于教师人数; (3)教师人数的两倍多于男学生人数. ①若教师人数为 4,则女学生人数的最大值为 . ②该小组人数的最小值为 . 解析 设男学生人数为 x,女学生人数为 y,教师人数为 ,由已知得{x > y, y > z, 2z > x, 且 x,y, 均为正整数. ①当 =4 时,8>x>y>4,∴x 的最大值为 7,y 的最大值为 6,故女学生人数的最 大值为 6. ②x>y> > x 2 ,当 x=3 时,条件不成立,当 x=4 时,条件不成立,当 x=5 时,5>y> > 5 2,此时 =3,y=4. ∴该小组人数的最小值为 12. 答案 ①6 ②12

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