【数学】2018届一轮复习人教A版平面向量的数量积教案 8页

高三 一轮复习 第四章　平面向量与复数 ‎ ‎ 4.3　平面向量的数量积 ‎【教学目标】‎ ‎1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．　‎ ‎2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系．‎ ‎3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．　‎ ‎4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.‎ ‎【重点难点】‎ ‎ 1.教学重点 理解平面向量数量积的含义，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；‎ ‎2.教学难点学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；‎ ‎【教学策略与方法】‎ 自主学习、小组讨论法、师生互动法 ‎【教学过程】‎ 教学流程 教师活动 学生活动 设计意图 考纲传真 ‎1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．　‎ ‎2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系．‎ ‎3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．　4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.‎ 真题再现;‎ ‎1.(2016·全国Ⅲ)已知向量＝，＝，则∠ABC＝(　　)‎ A.30° B.45° C.60° D.120°‎ 解析　||＝1，||＝1，cos∠ABC＝＝.答案　A ‎2.(2013·全国Ⅰ，13)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝________.‎ 解析　∵b·c＝0，∴b·[ta＋(1－t)b]＝0，ta·b＋(1－‎ ‎。‎ 学生通过对高考真题的解决，发现自己对知识的掌握情况。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 通过对考纲的解读和分析。让学生明确考试要求，做到有的放矢 t)·b2＝0，又∵|a|＝|b|＝1，a，b＝60°，∴t＋1－t＝0，t＝2.答案　2‎ ‎3．(2015·重庆高考)已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(‎2a＋b)，则a与b的夹角为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】　∵a⊥(‎2a＋b)，∴a·(‎2a＋b)＝0，∴2|a|2＋a·b＝0，即2|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0.∵|b|＝4|a|，∴2|a|2＋4|a|2cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝－，∴〈a，b〉＝π.【答案】　C ‎4．(2015·安徽高考)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝‎2a，＝‎2a＋b，则下列结论正确的是(　　)‎ A．|b|＝1 B．a⊥b C．a·b＝1 D．(‎4a＋b)⊥ ‎【解析】　在△ABC中，由＝－＝‎2a＋b－‎2a＝b，得|b|＝2.又|a|＝1，所以a·b＝|a||b|cos 120°＝－1，所以(‎4a＋b)·＝(‎4a＋b)·b＝‎4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(‎4a＋b)⊥，故选D.【答案】　D 知识梳理 知识点　平面向量的数量积 ‎1．向量的夹角 定义 图示 范围 共线与垂直 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是a与b的夹角 ‎[0°，180°]‎ ‎∠AOB＝0°或180°⇔a∥b；∠AOB＝90°⇔a⊥b ‎2.平面向量的数量积 定义 ‎ 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a|·|b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b 学生通过对高考真题的解决，感受高考题的考察视角。‎ 投影 ‎|a|·cos θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|·cos θ叫做向量b在a方向上的投影 几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|·cos θ的乘积 ‎3.平面向量数量积的运算律 ‎(1)a·b＝b·a(交换律)．‎ ‎(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)．‎ ‎(3)a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．‎ ‎4．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．‎ 结论 几何表示 坐标表示 数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2‎ 模 ‎|a|＝ ‎|a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b a·b＝0‎ x1x2＋y1y2＝0‎ ‎|a·b|与|a||b|的关系 ‎|a·b|≤|a||b|‎ ‎|x1x2＋y1y2|≤· ‎1．必会结论；(1)当a与b同向时，a·b＝|a||b|.‎ ‎(2)当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.(3)a·a＝a2＝|a|2.‎ ‎2．必清误区；(1)数量积运算律要准确理解、应用，例如，由a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量．‎ ‎(2)向量a，b的夹角为锐角，则有a·b>0，若a·b>0，则向量a，b的夹角为锐角或0°.‎ ‎(3)向量a，b的夹角为钝角，则有a·b<0，若a·b<0，则向量a，b的夹角为钝角或180°.‎ 考点分项突破 考点一平面向量数量积的运算 ‎1．(2015·全国卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(‎2a＋b)·a＝(　　)‎ A．－1 B．0 ‎ C．1 D．2‎ 环节二 ‎【解析】　法一　∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴a2＝2，a·b＝－3，从而(‎2a＋b)·a＝‎2a2＋a·b＝4－3＝1.‎ 法二　∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴‎2a＋b＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，从而(‎2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C.【答案】　C ‎2．(2015·山东高考)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·＝(　　)‎ A．－a2 B．－a2 ‎ C.a2 D.a2‎ ‎【解析】　由已知条件得·＝·＝a·acos 30°＝a2，故选D.【答案】　D ‎3．(2015·四川高考)设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4.若点M，N满足＝3，＝2，则·＝(　　)‎ A．20 B．15 ‎ C．9 D．6‎ ‎【解析】　如图所示，由题设知 ＝＋＝＋，＝－，‎ ‎∴·＝·＝||2－||2＋·－·＝×36－×16＝9.‎ ‎【答案】　C 归纳 1．向量数量积的两种计算方法 ‎(1)当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos θ.‎ ‎ 教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。‎ ‎(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.‎ ‎2．转化法求数量积 若向量的模与夹角不能确定，则应把向量用已知模或夹角的向量表示，然后再求数量积．‎ 考点二 平面向量数量积的性质 ‎●命题角度1　平面向量的模 ‎1．(2015·浙江高考)已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝.若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________.‎ ‎【解析】　∵e1·e2＝，∴|e1||e2|cos〈e1，e2〉＝，∴〈e1，e2〉＝60°.又∵b·e1＝b·e2＝1>0，∴〈b，e1〉＝〈b，e2〉＝30°.由b·e1＝1，得|b||e1|cos 30°＝1，∴|b|＝＝.【答案】　 ‎2．已知平面向量a·b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝‎2a＋2b，＝‎2a－6b，D为BC的中点，则||＝________.‎ ‎【解析】　＝(＋)＝(‎2a＋2b＋‎2a－6b)＝‎2a－2b，所以||2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2)＝4×＝4，所以||＝2.‎ ‎【答案】　2‎ ‎●命题角度2　平面向量的夹角 ‎3．(2015·重庆高考)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(‎3a＋2b)，则a与b的夹角为(　　)‎ A. B. C. D．π ‎【解析】　由(a－b)⊥(‎3a＋2b)得(a－b)·(‎3a＋2b)＝0‎ 引导学生通过对基础知识的逐点扫描，来澄清概念，加强理解。从而为后面的练习奠定基础.‎ 由常见问题的解决和总结，使学生形成解题模块，提高模式识别能力和解题效率。‎ 教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。‎ ‎，即‎3a2－a·b－2b2＝0.又∵|a|＝|b|，设〈a，b〉＝θ，即3|a|2－|a|·|b|·cos θ－2|b|2＝0，∴|b|2－|b|2·cos θ－2|b|2＝0.∴cos θ＝.又∵0≤θ≤π，∴θ＝.‎ ‎【答案】　A ‎4．设向量a、b的夹角为θ，a＝(2,1)，a＋3b＝(5,4)，则sin θ＝________.‎ ‎【解析】　设b＝(x，y)，由已知得a＋3b＝(2＋3x,1＋3y)＝(5,4)，∴∴∴b＝(1,1)，从而|a|＝，|b|＝.又a·(a＋3b)＝|a|2＋‎3a·b＝5＋3|a||b|·cos θ＝5＋3××cos θ＝2×5＋1×4，‎ 所以cos θ＝，sin θ＝.【答案】　 ‎●命题角度3　平面向量的垂直 ‎5．(2015·福建高考)设a＝(1,2)，b＝(1,1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于(　　)‎ A．－ B．－ C. D. ‎【解析】　c＝a＋kb＝(1＋k,2＋k)，又b⊥c，‎ 所以1×(1＋k)＋1×(2＋k)＝0，解得k＝－.【答案】　A ‎6．(2015·湖北高考)已知向量⊥，||＝3，则·＝________.‎ ‎【解析】　因为⊥，所以·＝·(－)＝·－||2＝0，所以·＝||2＝||2＝9，即·＝9.【答案】　9‎ 跟踪训练 ‎1.设单位向量e1，e2的夹角是60°，a＝e1＋e2，b＝e1＋te2，若向量a，b的夹角为锐角，则实数t的取值范围是________．‎ 在解题中注意引导学生自主分析和解决问题，教师及时点拨从而提高学生的解题能力和兴趣。‎ 教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。‎ 引导学生对所学的知识进行小结，由利于学生对已有的知识结构进行编码处理，加强理解记忆，提高解题技能。‎ ‎【解析】　由题意知a·b>0，即(e1＋e2)·(e1＋te2)>0，化简得t＋>0，解得t>－1，由向量a，b的夹角为锐角，得b≠λa，即t≠1.综上知，t>－1且t≠1.‎ ‎【答案】　(－1,1)∪(1，＋∞)‎ ‎2．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b⊥c，则t＝________.‎ ‎【解析】　|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°.‎ ‎∵c＝ta＋(1－t)b，∴b·c＝ta·b＋(1－t)b2＝t×1×1×＋(1－t)×1＝＋1－t＝1－.又∵b·c＝0，∴1－＝0，∴t＝2.【答案】　2‎ 归纳平面向量数量积求解问题的策略 ‎1．求两向量的夹角cos θ＝，要注意θ∈[0，π]．‎ ‎2．两向量垂直的应用两非零向量垂直的充要条件是a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.‎ ‎3．求向量的模利用数量积求解长度问题的处理方法有(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝.‎ ‎(2)|a±b|＝＝.‎ ‎(3)若a＝(x，y)，则|a|＝.‎ 环节三 课堂小结 ‎1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．　‎ ‎2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系．‎ ‎3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．　‎ ‎4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.‎ 学生回顾，总结.‎ 引导学生对学习过程进行反思，为在今后的学习中，进行有效调控打下良好的基础。‎ 环节四 课后作业学生版练与测 学生通过作业进行课外反思，通过思考发散巩固所学的知识。‎ ‎ ‎