【数学】2018届一轮复习北师大版（理）平面向量基本定理及坐标表示教案 14页

1．平面向量基本定理 如果 e1、e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，存在唯一 一对实数λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共线的向量 e1、e2 叫作表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1)，|a|＝ x21＋y21. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝ x2－x12＋y2－y12. 3．平面向量共线的坐标表示 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0.a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 【知识拓展】 1．若 a 与 b 不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. 2．设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果 x2≠0，y2≠0，则 a∥b⇔x1 x2 ＝y1 y2 . 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( × ) (2)若 a，b 不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( √ ) (3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表 示．( √ ) (4)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件可表示成x1 x2 ＝y1 y2 .( × ) (5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( √ ) 1．设 e1，e2 是平面内一组基底，那么( ) A．若实数λ1，λ2 使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0 B．空间内任一向量 a 可以表示为 a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2 为实数) C．对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2 不一定在该平面内 D．对平面内任一向量 a，使 a＝λ1e1＋λ2e2 的实数λ1，λ2 有无数对 答案 A 2．(教材改编)已知 a1＋a2＋…＋an＝0，且 an＝(3,4)，则 a1＋a2＋…＋an－1 的坐标为( ) A．(4,3) B．(－4，－3) C．(－3，－4) D．(－3,4) 答案 C 解析 a1＋a2＋…＋an－1＝－an＝(－3，－4)． 3．(2015·课标全国Ⅰ)已知点 A(0,1)，B(3,2)，向量AC→＝(－4，－3)，则向量BC→等于( ) A．(－7，－4) B．(7,4) C．(－1,4) D．(1,4) 答案 A 解析 AB→＝(3,1)，AC→＝(－4，－3)， BC→＝AC→－AB→＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)． 4．已知向量 a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若 ma＋nb 与 a－2b 共线，则m n ＝________. 答案 －1 2 解析 由已知条件可得 ma＋nb＝(2m,3m)＋(－n,2n)＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(2,3)－(－2,4) ＝(4，－1)．∵ma＋nb 与 a－2b 共线，∴2m－n 4 ＝3m＋2n －1 ，即 n－2m＝12m＋8n，∴m n ＝－1 2. 5．(教材改编)已知▱ABCD 的顶点 A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点 D 的坐标为________． 答案 (1,5) 解析 设 D(x，y)，则由AB→＝DC→ ，得(4,1)＝(5－x,6－y)， 即 4＝5－x， 1＝6－y， 解得 x＝1， y＝5. 题型一 平面向量基本定理的应用 例 1 在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，E 是线段 OD 的中点，AE 的延长线与 CD 交于点 F.若AC→＝a，BD→ ＝b，则AF→等于( ) A.1 4a＋1 2b B.1 2a＋1 4b C.2 3a＋1 3b D.1 3a＋2 3b 答案 C 解析 ∵AC→＝a，BD→ ＝b， ∴AD→ ＝AO→ ＋OD→ ＝1 2AC→＋1 2BD→ ＝1 2a＋1 2b. ∵E 是 OD 的中点，∴DE EB ＝1 3 ， ∴DF＝1 3AB. ∴DF→ ＝1 3AB→＝1 3(OB→ －OA→ ) ＝1 3 ×[－1 2BD→ －(－1 2AC→)] ＝1 6AC→－1 6BD→ ＝1 6a－1 6b， ∴AF→＝AD→ ＋DF→ ＝1 2a＋1 2b＋1 6a－1 6b ＝2 3a＋1 3b， 故选 C. 思维升华 平面向量基本定理应用的实质和一般思路 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的 加、减或数乘运算． (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示 成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 如图，在△ABC 中，AN→＝1 3NC→ ，P 是 BN 上的一点，若AP→＝mAB→＋ 2 11AC→，则实 数 m 的值为________． 答案 3 11 解析 设BP→＝kBN→，k∈R. 因为AP→＝AB→＋BP→＝AB→＋kBN→ ＝AB→＋k(AN→－AB→)＝AB→＋k(1 4AC→－AB→) ＝(1－k)AB→＋k 4AC→， 且AP→＝mAB→＋ 2 11AC→， 所以 1－k＝m，k 4 ＝ 2 11 ， 解得 k＝ 8 11 ，m＝ 3 11. 题型二 平面向量的坐标运算 例 2 (1)已知 a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若 a－2b＋3c＝0，则 c 等于( ) A. 1，8 3 B. －13 3 ，8 3 C. 13 3 ，4 3 D. －13 3 ，－4 3 (2)已知向量 a＝(1，－2)，b＝(m,4)，且 a∥b，则 2a－b 等于( ) A．(4,0) B．(0,4) C．(4，－8) D．(－4,8) 答案 (1)D (2)C 解析 (1)由已知 3c＝－a＋2b ＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)． 所以 c＝ －13 3 ，－4 3 . (2)因为向量 a＝(1，－2)，b＝(m,4)，且 a∥b， 所以 1×4＋2m＝0，即 m＝－2， 所以 2a－b＝2×(1，－2)－(－2,4)＝(4，－8)． 思维升华 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算．若已知有向线段两 端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法 则． (1)(2016·北京东城区模拟)向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示，若 c ＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则λ μ ＝________. (2)已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且BC→＝2AD→ ，则顶点 D 的 坐标为( ) A．(2，7 2) B．(2，－1 2) C．(3,2) D．(1,3) 答案 (1)4 (2)A 解析 (1)以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为 1)， 则 A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)， ∴a＝AO→ ＝(－1,1)，b＝OB→ ＝(6,2)，c＝BC→＝(－1，－3)． ∵c＝λa＋μb， ∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)， 即 －λ＋6μ＝－1， λ＋2μ＝－3， 解得λ＝－2，μ＝－1 2 ，∴λ μ ＝4. (2)设 D(x，y)，AD→ ＝(x，y－2)，BC→＝(4,3)， 又BC→＝2AD→ ，∴ 4＝2x， 3＝2y－2， ∴ x＝2， y＝7 2 ， 故选 A. 题型三 向量共线的坐标表示 命题点 1 利用向量共线求向量或点的坐标 例 3 已知点 A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则 AC 与 OB 的交点 P 的坐标为________． 答案 (3,3) 解析 方法一 由 O，P，B 三点共线，可设OP→ ＝λOB→ ＝(4λ，4λ)，则AP→＝OP→ －OA→ ＝(4λ－4,4λ)． 又AC→＝OC→ －OA→ ＝(－2,6)， 由AP→与AC→共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0， 解得λ＝3 4 ， 所以OP→ ＝3 4OB→ ＝(3,3)， 所以点 P 的坐标为(3,3)． 方法二 设点 P(x，y)，则OP→ ＝(x，y)，因为OB→ ＝(4,4)，且OP→ 与OB→ 共线，所以x 4 ＝y 4 ，即 x＝ y. 又AP→＝(x－4，y)，AC→＝(－2,6)，且AP→与AC→共线， 所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得 x＝y＝3， 所以点 P 的坐标为(3,3)． 命题点 2 利用向量共线求参数 例 4 (2016·郑州模拟)已知向量 a＝(1－sin θ，1)，b＝(1 2 ，1＋sin θ)，若 a∥b，则锐角θ＝ ________. 答案 45° 解析 由 a∥b，得(1－sin θ)(1＋sin θ)＝1 2 ， 所以 cos2θ＝1 2 ，∴cos θ＝ 2 2 或 cos θ＝－ 2 2 ， 又θ为锐角，∴θ＝45°. 思维升华 平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略 (1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若 a＝(x1， y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件是 x1y2＝x2y1”解题比较方便． (2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量 a 共线的向量时，可设 所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所 求的向量． (1)已知梯形 ABCD，其中 AB∥CD，且 DC＝2AB，三个顶点 A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)， 则点 D 的坐标为________． (2)设OA→ ＝(－2,4)，OB→ ＝(－a,2)，OC→ ＝(b,0)，a>0，b>0，O 为坐标原点，若 A，B，C 三点共 线，则1 a ＋1 b 的最小值为________． 答案 (1)(2,4) (2)3＋2 2 2 解析 (1)∵在梯形 ABCD 中，AB∥CD，DC＝2AB， ∴DC→ ＝2AB→. 设点 D 的坐标为(x，y)， 则DC→ ＝(4,2)－(x，y)＝(4－x,2－y)， AB→＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)， ∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)， ∴ 4－x＝2， 2－y＝－2， 解得 x＝2， y＝4， 故点 D 的坐标为(2,4)． (2)由已知得AB→＝(－a＋2，－2)，AC→＝(b＋2，－4)， 又AB→∥AC→，所以(－a＋2，－2)＝λ(b＋2，－4)， 即 －a＋2＝λb＋2， －2＝－4λ， 整理得 2a＋b＝2， 所以1 a ＋1 b ＝1 2(2a＋b)(1 a ＋1 b) ＝1 2(3＋2a b ＋b a)≥1 2(3＋2 2a b ·b a) ＝3＋ 2 2 2 (当且仅当 b＝ 2a 时，等号成立)． 11．解析法(坐标法)在向量中的应用 典例 (12 分)给定两个长度为 1 的平面向量OA→ 和OB→ ，它们的夹角为2π 3 .如图所示，点 C 在以 O 为圆心的 AB 上运动．若OC→ ＝xOA→ ＋yOB→ ，其中 x，y∈R，求 x＋y 的最大值． 思想方法指导 建立平面直角坐标系，将向量坐标化，将向量问题转化为函数问题更加凸显 向量的代数特征． 规范解答 解 以 O 为坐标原点，OA→ 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，如图所示， 则 A(1,0)，B(－1 2 ， 3 2 )．[4 分] 设∠AOC＝α(α∈[0，2π 3 ])，则 C(cos α，sin α)， 由OC→ ＝xOA→ ＋yOB→ ，得 cos α＝x－1 2y， sin α＝ 3 2 y， 所以 x＝cos α＋ 3 3 sin α，y＝2 3 3 sin α，[8 分] 所以 x＋y＝cos α＋ 3sin α＝2sin(α＋π 6)，[10 分] 又α∈[0，2π 3 ]， 所以当α＝π 3 时，x＋y 取得最大值 2.[12 分] 1．(2016·江西玉山一中期考)如图，在平行四边形 ABCD 中，M 为 CD 的中点，若AC→＝λAM→ ＋ μAB→，则μ的值为( ) A.1 4 B.1 3 C.1 2 D．1 答案 C 解析 ∵在平行四边形 ABCD 中，M 为 CD 的中点， ∴AM→ ＝AD→ ＋DM→ ＝AD→ ＋1 2AB→， ∵AC→＝λAM→ ＋μAB→， ∴AC→＝λ(AD→ ＋1 2AB→)＋μAB→ ＝λAD→ ＋(1 2λ＋μ)AB→， ∵AC→＝AD→ ＋AB→， ∴λ＝1，1 2λ＋μ＝1，∴μ＝1 2. 2．已知点 A(－1,5)和向量 a＝(2,3)，若AB→＝3a，则点 B 的坐标为( ) A．(7,4) B．(7,14) C．(5,4) D．(5,14) 答案 D 解析 设点 B 的坐标为(x，y)，则AB→＝(x＋1，y－5)． 由AB→＝3a，得 x＋1＝6， y－5＝9， 解得 x＝5， y＝14. 3．已知向量 a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ等于( ) A.1 4 B.1 2 C．1 D．2 答案 B 解析 ∵a＋λb＝(1＋λ，2)，c＝(3,4)， 且(a＋λb)∥c，∴1＋λ 3 ＝2 4 ，∴λ＝1 2 ，故选 B. 4．已知 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则 c 等于( ) A．－1 2a＋3 2b B.1 2a－3 2b C．－3 2a－1 2b D．－3 2a＋1 2b 答案 B 解析 设 c＝λa＋μb，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)， ∴ －1＝λ＋μ， 2＝λ－μ， ∴ λ＝1 2 ， μ＝－3 2 ， ∴c＝1 2a－3 2b. 5．(2016·淮南一模)已知平行四边形 ABCD 中，AD→ ＝(3,7)，AB→＝(－2,3)，对角线 AC 与 BD 交于点 O，则CO→ 的坐标为( ) A．(－1 2 ，5) B．(1 2 ，5) C．(1 2 ，－5) D．(－1 2 ，－5) 答案 D 解析 ∵AC→＝AB→＋AD→ ＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)， ∴OC→ ＝1 2AC→＝(1 2 ，5)，∴CO→ ＝(－1 2 ，－5)． 6．已知|OA→ |＝1，|OB→ |＝ 3，OA→ ·OB→ ＝0，点 C 在∠AOB 内，且OC→ 与OA→ 的夹角为 30°，设OC→ ＝mOA→ ＋nOB→ (m，n∈R)，则m n 的值为( ) A．2 B.5 2 C．3 D．4 答案 C 解析 ∵OA→ ·OB→ ＝0，∴OA→ ⊥OB→ ， 以 OA 为 x 轴，OB 为 y 轴建立直角坐标系(图略)， OA→ ＝(1,0)，OB→ ＝(0， 3)，OC→ ＝mOA→ ＋nOB→ ＝(m， 3n)． ∵tan 30°＝ 3n m ＝ 3 3 ， ∴m＝3n，即m n ＝3，故选 C. 7．在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB→＝(2,4)，AC→＝(1,3)，则向量BD→ 的坐标为__________． 答案 (－3，－5) 解析 ∵AB→＋BC→＝AC→，∴BC→＝AC→－AB→＝(－1，－1)， ∴BD→ ＝AD→ －AB→＝BC→－AB→＝(－3，－5)． 8．设 0＜θ＜π 2 ，向量 a＝(sin 2θ，cos θ)，b＝(cos θ，1)，若 a∥b，则 tan θ＝________. 答案 1 2 解析 ∵a∥b，∴sin 2θ×1－cos2θ＝0， ∴2sin θcos θ－cos2θ＝0， ∵0＜θ＜π 2 ，∴cos θ＞0，∴2sin θ＝cos θ，∴tan θ＝1 2. 9．在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是 CD 和 BC 的中点．若AC→＝λAE→＋μAF→，其中λ，μ∈R， 则λ＋μ＝________. 答案 4 3 解析 选择AB→，AD→ 作为平面向量的一组基底， 则AC→＝AB→＋AD→ ，AE→＝1 2AB→＋AD→ ，AF→＝AB→＋1 2AD→ ， 又AC→＝λAE→＋μAF→＝(1 2λ＋μ)AB→＋(λ＋1 2μ)AD→ ， 于是得 1 2λ＋μ＝1， λ＋1 2μ＝1， 解得 λ＝2 3 ， μ＝2 3 ， 所以λ＋μ＝4 3. 10.如图所示，A，B，C 是圆 O 上的三点，线段 CO 的延长线与 BA 的延长线交于圆 O 外的 一点 D，若OC→ ＝mOA→ ＋nOB→ ，则 m＋n 的取值范围是________． 答案 (－1,0) 解析 由题意得，OC→ ＝kOD→ (k＜0)， 又|k|＝|OC→ | |OD→ | ＜1，∴－1＜k＜0. 又∵B，A，D 三点共线， ∴OD→ ＝λOA→ ＋(1－λ)OB→ ， ∴mOA→ ＋nOB→ ＝kλOA→ ＋k(1－λ)OB→ ， ∴m＝kλ，n＝k(1－λ)， ∴m＋n＝k，从而 m＋n∈(－1,0)． 11．已知 A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)． (1)若 A，B，C 三点共线，求 a，b 的关系式； (2)若AC→＝2AB→，求点 C 的坐标． 解 (1)由已知得AB→＝(2，－2)，AC→＝(a－1，b－1)， ∵A，B，C 三点共线，∴AB→∥AC→. ∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即 a＋b＝2. (2)∵AC→＝2AB→，∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)． ∴ a－1＝4， b－1＝－4， 解得 a＝5， b＝－3. ∴点 C 的坐标为(5，－3)． 12．已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB→＝a，BC→＝b，CA→＝c，且CM→ ＝3c，CN→ ＝ －2b. (1)求 3a＋b－3c； (2)求满足 a＝mb＋nc 的实数 m，n； (3)求 M，N 的坐标及向量MN→ 的坐标． 解 (1)由已知得 a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． 3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)， ∴ －6m＋n＝5， －3m＋8n＝－5， 解得 m＝－1， n＝－1. (3)设 O 为坐标原点，∵CM→ ＝OM→ －OC→ ＝3c， ∴OM→ ＝3c＋OC→ ＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)， ∴M(0,20)． 又∵CN→ ＝ON→ －OC→ ＝－2b， ∴ON→ ＝－2b＋OC→ ＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N(9,2)，∴MN→ ＝(9，－18)． 13.如图所示，G 是△OAB 的重心，P，Q 分别是边 OA、OB 上的动点，且 P，G，Q 三点 共线． (1)设PG→ ＝λPQ→ ，将OG→ 用λ，OP→ ，OQ→ 表示； (2)设OP→ ＝xOA→ ，OQ→ ＝yOB→ ，证明：1 x ＋1 y 是定值． (1)解 OG→ ＝OP→ ＋PG→ ＝OP→ ＋λPQ→ ＝OP→ ＋λ(OQ→ －OP→ )＝(1－λ)OP→ ＋λOQ→ . (2)证明 一方面，由(1)，得 OG→ ＝(1－λ)OP→ ＋λOQ→ ＝(1－λ)xOA→ ＋λyOB→ ；① 另一方面，∵G 是△OAB 的重心， ∴OG→ ＝2 3OM→ ＝2 3 ×1 2(OA→ ＋OB→ )＝1 3OA→ ＋1 3OB→ .② 由①②得 1－λx＝1 3 ， λy＝1 3. ∴1 x ＋1 y ＝3(1－λ)＋3λ＝3(定值)．