【数学】2019届一轮复习人教A版（文）大题冲关系列（六）概率与统计的综合问题学案 26页

概率与统计的综合问题 命题动向：统计与概率的综合是历年高考的热点内容之一，主要考查古典概型、频率分布直方图、抽样方法、数据的数字特征、统计案例等知识，命题的热点主要有概率与统计的综合、概率与独立性检验的综合等，试题多以生活中的实际问题为背景，考查学生的数据处理能力、基本运算能力、分析问题及解决问题能力．‎ 题型1 古典概型的概率计算 例1　　[2017·山东高考]某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．‎ ‎(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；‎ ‎(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．‎ 解题视点　(1)先列举出从6个国家中任选2个国家的一切可能的结果(基本事件)，再套用古典概型的概率计算公式求解；(2)利用列举法列出所有的基本事件，再数出符合题意的基本事件的个数，然后套用古典概型的概率计算公式解决．‎ 解　(1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，‎ ‎{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15个．‎ 所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3个，则所求事件的概率为P＝＝.‎ ‎(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9个．‎ 包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个，则所求事件的概率为P＝.‎ 冲关策略 一般来说，对于古典概型的考查要先对事件中的所有元素进行设元或编号，再按照要求把所有的基本事件一一列举出来，从中找到满足所研究事件的基本事件，最后根据古典概型的概率计算公式求解概率.‎ 变式训练1‎ ‎[2018·沈阳模拟]随着手机上网的普及，部分高中生过度使用手机上网严重影响了其身心健康发展，这已经成为高中教育中日益严重的问题．某学校为了解学生使用手机上网情况，从甲、乙两个班级中各抽取了10名学生，得到他们每天使用手机上网时长(单位：小时)的统计表如下：‎ ‎(1)依据上述数据，估计甲班这10名学生每天使用手机上网的平均时长(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；‎ ‎(2)若把每天使用手机上网时长超过3小时的定义为“非常过度上网”．‎ ‎①从甲、乙两班每天使用手机上网时长超过2小时的学生中任取2人，求至少有1人为“非常过度上网”的概率；‎ ‎②以频率估计概率，如果以甲、乙两班的20名学生为样本估计全校学生每天使用手机上网的情况，该校有2000名学生，估计该校学生中“非常过度上网”的人数．‎ 解　(1)甲班这10名学生每天使用手机上网的平均时长的估计值为＝1.9(小时)．‎ ‎(2)①甲、乙两班中上网时长超过2小时的学生有7人，其中3人为“非常过度上网”，记该3人分别为A，B，C，其余4人分别为1,2,3,4，则任取2人的基本事件为AB，AC，A1，A2，A3，A4，BC，B1，B2，B3，B4，C1，C2，C3，C4,12,13,14,23,24,34，共21个．‎ 记“至少有1人为‘非常过度上网’”为事件M，则包含的基本事件有12,13,14,23,24,34，共6个．‎ 故所求的概率P(M)＝1－＝.‎ ‎②甲、乙两班的20名学生中，“非常过度上网”的频率为，以此作为该校任取1名学生，该学生为“非常过度上网”的概率，则该校2000名学生中“非常过度上网”的人数为2000×＝300.‎ 题型2 几何概型的概率计算 例2　　[2018·湖南模拟]某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在8.0米以上(四舍五入，精确到0.1米)‎ 的进入决赛，把所得数据进行整理后，分成6组，画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04,0.10,0.14,0.28,0.30，第6小组的频数是7.‎ ‎(1)求进入决赛的人数；‎ ‎(2)经过多次测试发现，甲的成绩均匀分布在8～10米之间，乙的成绩均匀分布在9.5～10.5米之间，现甲、乙各跳一次，求甲比乙跳得远的概率．‎ 解题视点　第(1)问根据频率及频数计算出总人数；第(2)问根据几何概型计算出概率．‎ 解　(1)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14.∴总人数为＝50.‎ 易知第4,5,6组的学生均进入决赛，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36，即进入决赛的人数为36.‎ ‎(2)设甲、乙各跳一次的成绩分别为x，y米，则作出不等式组表示的平面区域如图中长方形ABCD.‎ 设事件M表示“甲比乙跳得远”，则x>y，满足的区域如图中阴影部分所示．‎ 由几何概型得P(M)＝‎ ＝，即甲比乙跳得远的概率为.‎ 冲关策略 当基本事件受两个连续变量控制时，一般是把两个连续变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决．‎ 变式训练2‎ ‎[2018·郑州模拟]某港口有一个泊位，现统计了某月100艘轮船在该泊位停靠的时间(单位：小时)，如果停靠时间不足半小时按半小时计时，超过半小时不足1小时按1小时计时，依此类推，统计结果如下表：‎ 停靠时间 ‎2.5‎ ‎3‎ ‎3.5‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎5‎ ‎5.5‎ ‎6‎ 轮船数量 ‎12‎ ‎12‎ ‎17‎ ‎20‎ ‎15‎ ‎13‎ ‎8‎ ‎3‎ ‎(1)设该月100艘轮船在该泊位的平均停靠时间为a小时，求a的值；‎ ‎(2)假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠a 小时，且在一昼夜的时间段中随机到达，求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率．‎ 解　(1)a＝×(2.5×12＋3×12＋3.5×17＋4×20＋4.5×15＋5×13＋5.5×8＋6×3)＝4.‎ ‎(2)设甲船到达的时间为x，乙船到达的时间为y，则 若这两艘轮船在停靠该泊位时至少有一艘船需要等待，则|y－x|<4，‎ 所以必须等待的概率P＝1－＝，‎ 故这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率为.‎ 题型3 概率与统计的综合问题 例3　　[2017·北京高考]某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：‎ ‎(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；‎ ‎(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数；‎ ‎(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．‎ 解题视点　(1)利用频率分布直方图估计其分数小于70的概率；(2)求分数不小于50的频率，再根据条件可估计人数；(3)计算出100人中男生和女生人数的比例，再估计总体中男生和女生人数的比例．‎ 解　(1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，‎ 所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4，‎ 所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4.‎ ‎(2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，‎ 分数在区间[40,50)内的人数为100－100×0.9－5＝5，‎ 所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400×＝20.‎ ‎(3)由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.02＋0.04)×10×100＝60，‎ 所以样本中分数不小于70的男生人数为60×＝30，‎ 所以样本中的男生人数为30×2＝60，‎ 女生人数为100－60＝40，‎ 所以样本中男生和女生人数的比例为60∶40＝3∶2，‎ 所以根据分层抽样原理，估计总体中男生和女生人数的比例为3∶2.‎ 冲关策略 概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．统计以考查抽样方法、样本的频率分布、样本特征数的计算为主，概率以考查概率计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来，只有这样才能有效地解决问题．‎ 变式训练3为了参加某数学竞赛，某高级中学对高二年级理科、文科两个数学兴趣小组的同学进行了赛前模拟测试，成绩(单位：分)记录如下．‎ 理科：79,81,81,79,94,92,85,89‎ 文科：94,80,90,81,73,84,90,80‎ ‎(1)画出理科、文科两组同学成绩的茎叶图；‎ ‎(2)计算理科、文科两组同学成绩的平均数和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在此次模拟测试中发挥比较好；‎ ‎(3)若在成绩不低于90分的同学中随机抽出3人进行培训，求抽出的3人中既有理科组同学又有文科组同学的概率．‎ ‎(参考公式：样本数据x1，x2，…，xn的方差：‎ s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中为样本平均数)‎ 解　(1)理科、文科两组同学成绩的茎叶图如下：‎ ‎(2)从平均数和方差的角度看，理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好. 理由如下：‎ 理＝× (79＋81＋81＋79＋94＋92＋85＋89) ＝85，‎ 文＝×(94＋80＋90＋81＋73＋84＋90＋80)＝ 84.‎ s＝×[(79－85)2＋(81－85)2＋(81－85)2＋(79－85)2＋(94－85)2＋(92－85)2＋(85－85)2＋(89－85)2]＝31.25，‎ s＝×[(94－84)2＋(80－84)2＋(90－84)2＋(81－84)2＋(73－84)2＋(84－84)2＋(90－84)2＋(80－84)2]＝41.75.‎ 由于理>文，s10.828.‎ 因此，可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为生产能力与培训时间长短有关．‎